В математике множество A называется дедекиндово-бесконечным (названным в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда ), если некоторое собственное подмножество B множества A равночисленно множеству A. Явно это означает, что существует биективная функция из A на некоторое собственное подмножество B множества A. Множество называется дедекиндово-конечным, если оно не является дедекиндово-бесконечным (т. е. такой биекции не существует). Предложенное Дедекиндом в 1888 году определение дедекиндово-бесконечности было первым определением «бесконечности», которое не опиралось на определение натуральных чисел . [ 1]
Простым примером является множество натуральных чисел . Из парадокса Галилея следует, что существует биекция, которая отображает каждое натуральное число n в его квадрат n 2 . Поскольку множество квадратов является собственным подмножеством , является дедекиндово-бесконечным.
До тех пор, пока фундаментальный кризис математики не показал необходимость более тщательного подхода к теории множеств, большинство математиков предполагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно бесконечно по Дедекинду. В начале двадцатого века теория множеств Цермело–Френкеля , сегодня наиболее часто используемая форма аксиоматической теории множеств , была предложена в качестве аксиоматической системы для формулирования теории множеств, свободной от парадоксов, таких как парадокс Рассела . Используя аксиомы теории множеств Цермело–Френкеля с изначально весьма спорной включенной аксиомой выбора ( ZFC ), можно показать, что множество конечно по Дедекинду тогда и только тогда, когда оно конечно в обычном смысле. Однако существует модель теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора ( ZF ), в которой существует бесконечное, конечное по Дедекинду множество, показывающая, что аксиомы ZF недостаточно сильны, чтобы доказать, что каждое множество, конечное по Дедекинду, конечно. [2] [1] Существуют определения конечности и бесконечности множеств помимо определения, данного Дедекиндом, которые не зависят от аксиомы выбора.
Смутно родственное понятие — это понятие конечного по Дедекинду кольца .
Это определение « бесконечного множества » следует сравнить с обычным определением: множество A бесконечно, если его нельзя поставить в биекцию с конечным ординалом , а именно с множеством вида {0, 1, 2, ..., n −1} для некоторого натурального числа n – бесконечное множество – это такое множество, которое буквально «не конечно» в смысле биекции.
Во второй половине XIX века большинство математиков просто предполагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно бесконечно по Дедекинду. Однако эта эквивалентность не может быть доказана с помощью аксиом теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора (AC) (обычно обозначаемой « ZF »). Полная сила AC не нужна для доказательства эквивалентности; на самом деле эквивалентность двух определений строго слабее, чем аксиома счетного выбора (CC). (См. ссылки ниже.)
Множество A является бесконечным по Дедекинду, если оно удовлетворяет любому, а затем всем, из следующих эквивалентных (над ZF ) условий:
он дуально дедекиндово-бесконечен, если:
он слабо дедекиндово-бесконечен, если он удовлетворяет любому, а затем всем, из следующих эквивалентных (над ZF ) условий:
и оно бесконечно, если:
Затем ZF доказывает следующие импликации: Дедекиндово-бесконечное ⇒ дуально Дедекиндово-бесконечное ⇒ слабо Дедекиндово-бесконечное ⇒ бесконечное.
Существуют модели ZF, имеющие бесконечное дедекиндово-конечное множество. Пусть A — такое множество, а B — множество конечных инъективных последовательностей из A . Поскольку A бесконечно, функция «отбросить последний элемент» из B в себя сюръективна, но не инъективна, поэтому B дуально дедекиндово-бесконечно. Однако поскольку A дедекиндово-конечно, то и B тоже (если бы B имело счетно-бесконечное подмножество, то, используя тот факт, что элементы B являются инъективными последовательностями, можно было бы показать счетно-бесконечное подмножество A ).
Когда множества имеют дополнительные структуры, оба вида бесконечности иногда могут быть доказаны эквивалентными над ZF . Например, ZF доказывает, что вполне упорядоченное множество является бесконечным по Дедекинду тогда и только тогда, когда оно бесконечно.
Термин назван в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда , который первым явно ввел это определение. Примечательно, что это определение было первым определением «бесконечности», которое не опиралось на определение натуральных чисел (если только не следовать Пуанкаре и не считать понятие числа предшествующим даже понятию множества). Хотя такое определение было известно Бернарду Больцано , ему не позволили опубликовать свою работу в каких-либо журналах, кроме самых малоизвестных, условия его политического изгнания из Пражского университета в 1819 году. Более того, определение Больцано было более точным отношением, которое имело место между двумя бесконечными множествами, а не определением бесконечного множества как такового .
Долгое время многие математики даже не допускали мысли о том, что может существовать различие между понятиями бесконечного множества и дедекиндово-бесконечного множества. Фактически, это различие не было по-настоящему осознано до тех пор, пока Эрнст Цермело не сформулировал AC явно. Существование бесконечных, дедекиндово-конечных множеств изучалось Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом в 1912 году; эти множества сначала назывались опосредованными кардиналами или кардиналами Дедекинда .
С общим принятием аксиомы выбора в математическом сообществе эти вопросы, касающиеся бесконечных и дедекиндово-бесконечных множеств, стали менее центральными для большинства математиков. Однако изучение дедекиндово-бесконечных множеств сыграло важную роль в попытке прояснить границу между конечным и бесконечным, а также важную роль в истории АК.
Поскольку каждое бесконечное вполне упорядоченное множество является дедекиндово-бесконечным, и поскольку AC эквивалентно теореме о вполне упорядоченном множестве, утверждающей, что каждое множество может быть вполне упорядочено, очевидно, что общее AC подразумевает, что каждое бесконечное множество является дедекиндово-бесконечным. Однако эквивалентность двух определений намного слабее полной силы AC.
В частности, существует модель ZF , в которой существует бесконечное множество без счетно бесконечного подмножества. Следовательно, в этой модели существует бесконечное, конечное по Дедекинду множество. Согласно вышесказанному, такое множество не может быть вполне упорядоченным в этой модели.
Если мы предположим аксиому CC (т. е. AC ω ), то отсюда следует, что каждое бесконечное множество является дедекиндово-бесконечным. Однако эквивалентность этих двух определений на самом деле строго слабее, чем даже CC. Явно, существует модель ZF , в которой каждое бесконечное множество является дедекиндово-бесконечным, однако CC не выполняется (предполагая согласованность ZF ).
То, что каждое бесконечное по Дедекинду множество бесконечно, можно легко доказать в ZF: каждое конечное множество по определению имеет биекцию с некоторым конечным ординалом n , и можно доказать индукцией по n , что оно не является бесконечным по Дедекинду.
Используя аксиому счетного выбора (обозначение: аксиома CC), можно доказать обратное, а именно, что каждое бесконечное множество X является бесконечным по Дедекинду, следующим образом:
Сначала определим функцию над натуральными числами (то есть над конечными ординалами) f : N → Power(Power( X )) , так что для каждого натурального числа n , f ( n ) является множеством конечных подмножеств X размера n (то есть имеющих биекцию с конечным ординалом n ). f ( n ) никогда не бывает пустым, иначе X было бы конечным (что можно доказать индукцией по n ).
Образ f — это счетное множество { f ( n ) | n ∈ N }, элементы которого сами по себе являются бесконечными (и, возможно, несчетными) множествами. Используя аксиому счетного выбора, мы можем выбрать один элемент из каждого из этих множеств, и этот элемент сам по себе является конечным подмножеством X . Точнее, согласно аксиоме счетного выбора, существует (счетное) множество, G = { g ( n ) | n ∈ N }, так что для каждого натурального числа n , g ( n ) является элементом f ( n ) и, следовательно, является конечным подмножеством X размера n .
Теперь мы определяем U как объединение членов G . U является бесконечным счетным подмножеством X , и биекцию из натуральных чисел в U , h : N → U , можно легко определить. Теперь мы можем определить биекцию B : X → X \ h (0), которая переводит каждый член, не входящий в U , в себя и переводит h ( n ) для каждого натурального числа в h ( n + 1) . Следовательно, X является дедекиндово-бесконечным, и мы закончили.
Выражаясь в терминах теории категорий , множество A является конечным по Дедекинду, если в категории множеств каждый мономорфизм f : A → A является изоморфизмом . Регулярное кольцо фон Неймана R обладает аналогичным свойством в категории (левых или правых) R - модулей тогда и только тогда, когда в R из xy = 1 следует yx = 1. В более общем смысле, конечное по Дедекинду кольцо — это любое кольцо, удовлетворяющее последнему условию. Помните, что кольцо может быть конечным по Дедекинду, даже если его базовое множество является бесконечным по Дедекинду, например, целые числа .
