Нормальная подгруппа

Подгруппа, инвариантная относительно сопряжения

В абстрактной алгебре нормальная подгруппа ( также известная как инвариантная подгруппа или самосопряженная подгруппа ) ^[1] — это подгруппа , которая инвариантна относительно сопряжения членами группы , частью которой она является. Другими словами, подгруппа группы является нормальной в тогда и только тогда, когда для всех и . Обычное обозначение для этого отношения — . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle N\triangleleft G}$

Нормальные подгруппы важны, поскольку они (и только они) могут быть использованы для построения факторгрупп данной группы. Более того, нормальные подгруппы группы являются в точности ядрами групповых гомоморфизмов с областью определения , что означает, что их можно использовать для внутренней классификации этих гомоморфизмов. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп. ^[2]

Определения

Подгруппа группы называется нормальной подгруппой группы , если она инвариантна относительно сопряжения ; то есть сопряжение элемента группы с элементом группы всегда выполняется в . ^[3] Обычное обозначение для этого отношения — . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\triangleleft G}$

Эквивалентные условия

Для любой подгруппы группы следующие условия эквивалентны тому, чтобы быть нормальной подгруппой группы . Поэтому любое из них можно принять за определение. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

• Образ сопряжения любым элементом из является подмножеством , ^[4] т.е. для всех . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$ ${\displaystyle g\in G}$
• Образ сопряжения любым элементом равен ^[4] т.е. для всех . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$ ${\displaystyle g\in G}$
• Для всех левые и правые смежные классы и равны. ^[4] ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle Ng}$
• Множества левых и правых смежных классов в совпадают . ^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$
• Умножение в сохраняет отношение эквивалентности «находится в том же левом смежном классе, что и». То есть, для любого удовлетворяющего и , мы имеем . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g,g',h,h'\in G}$ ${\displaystyle gN=g'N}$ ${\displaystyle hN=h'N}$ ${\displaystyle (gh)N=(g'h')N}$
• На множестве левых смежных классов существует группа , где умножение любых двух левых смежных классов и дает левый смежный класс (эта группа называется факторгруппой по модулю и обозначается ). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$
• ${\displaystyle N}$является объединением классов сопряженности . [ ² ] ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle N}$сохраняется внутренними автоморфизмами . [ ^5] ${\displaystyle G}$
• Существует некоторый групповой гомоморфизм , ядром которого является . ^[2] ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$
• Существует групповой гомоморфизм , слои которого образуют группу, в которой единичным элементом является , а умножение любых двух слоев дает слой (эта группа является той же группой, что и упомянутая выше). ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1})}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{2})}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1}h_{2})}$ ${\displaystyle G/N}$
• Существует некоторое отношение конгруэнтности , для которого класс эквивалентности единичного элемента равен . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$
• Для всех и . коммутатор находится в . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$ ${\displaystyle N}$
• Любые два элемента коммутируют по модулю нормального отношения принадлежности к подгруппе. То есть, для всех , тогда и только тогда, когда . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle g,h\in G}$ ${\displaystyle gh\in N}$ ${\displaystyle hg\in N}$

Примеры

Для любой группы , тривиальная подгруппа, состоящая только из единичного элемента из , всегда является нормальной подгруппой из . Аналогично, сама по себе всегда является нормальной подгруппой из (если это единственные нормальные подгруппы, то говорят, что она проста ). ^[6] Другие именованные нормальные подгруппы произвольной группы включают центр группы (множество элементов, которые коммутируют со всеми другими элементами) и коммутантную подгруппу . ^{[7] [8]} В более общем смысле, поскольку сопряжение является изоморфизмом, любая характеристическая подгруппа является нормальной подгруппой. ^[9] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G,G]}$

Если — абелева группа , то каждая подгруппа из нормальна, поскольку . В более общем смысле, для любой группы каждая подгруппа центра из нормальна в (в частном случае, когда группа абелева, центром являются все группы , отсюда следует, что все подгруппы абелевой группы нормальны). Группа, которая не является абелевой, но для которой каждая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой группой . ^[10] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Конкретным примером нормальной подгруппы является подгруппа симметрической группы , состоящая из единицы и обоих трициклов. В частности, можно проверить, что каждый смежный класс либо равен самому себе, либо равен . С другой стороны, подгруппа не является нормальной в , поскольку . ^[11] Это иллюстрирует общий факт, что любая подгруппа индекса два является нормальной. ${\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}}$ ${\displaystyle H=\{(1),(12)\}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123)}$ ${\displaystyle H\leq G}$

В качестве примера нормальной подгруппы в матричной группе рассмотрим общую линейную группу всех обратимых матриц с действительными элементами относительно операции умножения матриц и ее подгруппу всех матриц определителя 1 ( специальную линейную группу ). Чтобы понять, почему подгруппа является нормальной в , рассмотрим любую матрицу в и любую обратимую матрицу . Затем, используя два важных тождества и , получаем, что , и поэтому также. Это означает замкнуто относительно сопряжения в , поэтому это нормальная подгруппа. ^[a] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$ ${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$ ${\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1}$ ${\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$

В группе кубика Рубика подгруппы, состоящие из операций, которые влияют только на ориентацию угловых или рёберных элементов, являются нормальными. ^[12]

Группа трансляций является нормальной подгруппой евклидовой группы в любой размерности. ^[13] Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует трансляция, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перенос. Напротив, подгруппа всех вращений вокруг начала координат не является нормальной подгруппой евклидовой группы, пока размерность не менее 2: сначала перенос, затем вращение вокруг начала координат, а затем обратный перенос, как правило, не фиксируют начало координат и, следовательно, не будут иметь того же эффекта, что и одиночный поворот вокруг начала координат.

Характеристики

• Если — нормальная подгруппа группы , а — подгруппа группы , содержащая , то — нормальная подгруппа группы . ^[14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязана быть нормальной в группе. То есть нормальность не является транзитивным отношением . Наименьшая группа, демонстрирующая это явление, — это диэдральная группа порядка 8. ^[15] Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной. ^[16] Группа, в которой нормальность транзитивна, называется T-группой . ^[17]
• Две группы и являются нормальными подгруппами своего прямого произведения . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times H}$
• Если группа является полупрямым произведением , то является нормальной в , хотя не обязательно нормальной в . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=N\rtimes H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$
• Если и являются нормальными подгруппами аддитивной группы, такими что и , то . ^[18] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=M+N}$ ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$ ${\displaystyle G=M\oplus N}$
• Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах; ^[19] то есть, если — сюръективный групповой гомоморфизм и является нормальным в , то образ является нормальным в . ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle H}$
• Нормальность сохраняется при взятии обратных образов ; ^[19] то есть, если — групповой гомоморфизм и является нормальным в , то обратный образ является нормальным в . ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ ${\displaystyle G}$
• Нормальность сохраняется при взятии прямых произведений ; ^[20] то есть, если и , то . ${\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2}}$ ${\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}}$
• Каждая подгруппа индекса 2 является нормальной. В более общем случае подгруппа, , конечного индекса, , в содержит подгруппу, нормальную в и индекса, делящего, называемого нормальным ядром . В частности, если — наименьшее простое число, делящее порядок , то каждая подгруппа индекса является нормальной. ^[21] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$
• Тот факт, что нормальные подгруппы группы являются в точности ядрами групповых гомоморфизмов, определенных на , объясняет некоторую важность нормальных подгрупп; они являются способом внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных на группе. Например, нетождественная конечная группа является простой тогда и только тогда, когда она изоморфна всем своим нетождественным гомоморфным образам, ^[22] конечная группа является совершенной тогда и только тогда, когда она не имеет нормальных подгрупп простого индекса , а группа является несовершенной тогда и только тогда, когда производная подгруппа не дополняется никакой собственной нормальной подгруппой. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Решетка нормальных подгрупп

Если даны две нормальные подгруппы и , то их пересечение и их произведение также являются нормальными подгруппами . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\cap M}$ ${\displaystyle NM=\{nm:n\in N\;{\text{ and }}\;m\in M\}}$ ${\displaystyle G}$

Нормальные подгруппы группы образуют решетку относительно включения подмножеств с наименьшим элементом , и наибольшим элементом , . Пересечение двух нормальных подгрупп и в этой решетке является их пересечением, а соединение — их произведением. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Решетка является полной и модульной . ^[20]

Нормальные подгруппы, факторгруппы и гомоморфизмы

Если — нормальная подгруппа, то можно определить умножение на смежных классах следующим образом: Это отношение определяет отображение . Чтобы показать, что это отображение корректно определено, нужно доказать, что выбор репрезентативных элементов не влияет на результат. Для этого рассмотрим некоторые другие репрезентативные элементы . Тогда существуют такие, что . Отсюда следует, что где мы также использовали тот факт, что — нормальная подгруппа, и, следовательно, существует такое, что . Это доказывает, что это произведение является корректно определенным отображением между смежными классами. ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N}$$ ${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$ ${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}}$ $${\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n_{1}'\in N}$ ${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'}$

При этой операции множество смежных классов само является группой, называемой факторгруппой и обозначаемой Существует естественный гомоморфизм , , заданный формулой . Этот гомоморфизм отображается в единичный элемент , который является смежным классом , ^[23] то есть . ${\displaystyle G/N.}$ ${\displaystyle f:G\to G/N}$ ${\displaystyle f(a)=aN}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle eN=N}$ ${\displaystyle \ker(f)=N}$

В общем случае гомоморфизм групп переводит подгруппы из в подгруппы из . Кроме того, прообраз любой подгруппы из является подгруппой из . Мы называем прообраз тривиальной группы в ядре гомоморфизма и обозначаем его через . Как оказывается, ядро ​​всегда нормально, а образ , всегда изоморфен ( первая теорема об изоморфизме ). ^{[24] Фактически,} это соответствие является биекцией между множеством всех фактор-групп , , и множеством всех гомоморфных образов ( с точностью до изоморфизма). ^[25] Также легко видеть, что ядро ​​фактор-отображения , является им самим, поэтому нормальные подгруппы являются в точности ядрами гомоморфизмов с областью определения . ^[26] ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle G,f(G)}$ ${\displaystyle G/\ker f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Смотрите также

Операции по переводу подгрупп в подгруппы

• Нормализатор
• Сопряженное закрытие
• Нормальное ядро

Свойства подгруппы, дополнительные (или противоположные) нормальности

• Ненормальная подгруппа
• Контранормальная подгруппа
• Аномальная подгруппа
• Самонормализующаяся подгруппа

Свойства подгруппы сильнее нормальности

• Характерная подгруппа
• Полностью характерная подгруппа

Свойства подгруппы слабее нормы

• Субнормальная подгруппа
• Восходящая подгруппа
• Подгруппа потомков
• Квазинормальная подгруппа
• Полунормальная подгруппа
• Сопряженная перестановочная подгруппа
• Модульная подгруппа
• Пронормальная подгруппа
• Паранормальная подгруппа
• Полинормальная подгруппа
• C-нормальная подгруппа

Связанные понятия в алгебре

• Идеал (теория колец)
• Полугрупповой идеал

Примечания

1. Другими словами: является гомоморфизмом из в мультипликативную подгруппу , а является ядром. Оба аргумента также работают над комплексными числами , или даже над произвольным полем . ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$

Ссылки

1. Брэдли 2010, стр. 12.
2. Cantrell 2000, стр. 160.
3. Даммит и Фут 2004.
4. Хангерфорд 2003, стр. 41.
5. Фрейли 2003, стр. 141.
6. Робинсон 1996, стр. 16.
7. Хангерфорд 2003, стр. 45.
8. Холл 1999, стр. 138.
9. Холл 1999, стр. 32.
10. Холл 1999, стр. 190.
11. Джадсон 2020, Раздел 10.1.
12. Бергвалл и др. 2010, с. 96.
13. Терстон 1997, стр. 218.
14. Хангерфорд 2003, стр. 42.
15. Робинсон 1996, стр. 17.
16. Робинсон 1996, стр. 28.
17. Робинсон 1996, стр. 402.
18. Хангерфорд 2013, стр. 290.
19. Hall 1999, стр. 29.
20. Hungerford 2003, стр. 46.
21. Робинсон 1996, стр. 36.
22. Дымõси и Неханив 2004, с. 7.
23. Хангерфорд 2003, стр. 42–43.
24. Хангерфорд 2003, стр. 44.
25. Робинсон 1996, стр. 20.
26. Холл 1999, стр. 27.

Библиография

• Бергвалль, Олоф; Хиннинг, Элин; Хедберг, Микаэль; Микелин, Джоэл; Масаве, Патрик (16 мая 2010 г.). «О кубике Рубика» (PDF) . КТХ .
• Кантрелл, CD (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
• Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Алгебраическая теория сетей автоматов . Монографии SIAM по дискретной математике и приложениям. SIAM.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
• Фрейли, Джон Б. (2003). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-15608-2.
• Холл, Маршалл (1999). Теория групп . Провиденс: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Хангерфорд, Томас (2003). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Springer.
• Хангерфорд, Томас (2013). Абстрактная алгебра: Введение . Brooks/Cole Cengage Learning.
• Джадсон, Томас В. (2020). Абстрактная алгебра: теория и приложения.
• Робинсон, Дерек Дж. С. (1996). Курс теории групп . Выпускные тексты по математике. Т. 80 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-1-4612-6443-9. Збл  0836.20001.
• Терстон, Уильям (1997). Леви, Сильвио (ред.). Трехмерная геометрия и топология, т. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
• Брэдли, CJ (2010). Математическая теория симметрии в твердых телах: теория представлений для точечных групп и пространственных групп . Оксфорд, Нью-Йорк: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC  859155300.

Дальнейшее чтение

• И. Н. Херштейн , Топики по алгебре. Второе издание. Xerox College Publishing, Лексингтон, Массачусетс-Торонто, Онтарио, 1975. xi+388 стр.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальная подгруппа». Математический мир .
• Нормальная подгруппа в энциклопедии математики Springer
• Роберт Эш: Основы групп в абстрактной алгебре. Базовый выпускной год
• Тимоти Гауэрс, Нормальные подгруппы и факторгруппы
• Джон Баэз, Что такое нормальная подгруппа?