В дифференциальной геометрии , области математики , нормальное расслоение — это особый вид векторного расслоения , дополнительного к касательному расслоению и полученного в результате вложения (или погружения ).
Пусть будет римановым многообразием , и римановым подмногообразием . Определим для заданного вектор , который будет нормален к всякий раз, когда для всех (так что ортогонален к ). Множество всех таких тогда называется нормальным пространством к при .
Так же, как полное пространство касательного расслоения к многообразию строится из всех касательных пространств к многообразию, полное пространство нормального расслоения [1] к определяется как
Конормальное расслоение определяется как двойственное расслоение к нормальному расслоению. Оно может быть естественным образом реализовано как подрасслоение кокасательного расслоения .
Более абстрактно, учитывая погружение (например, вложение), можно определить нормальное расслоение N в M , в каждой точке N взяв факторпространство касательного пространства на M по касательному пространству на N. Для риманова многообразия можно отождествить это факторпространство с ортогональным дополнением, но в общем случае это невозможно (такой выбор эквивалентен сечению проекции ) .
Таким образом, нормальное расслоение в общем случае является фактором касательного расслоения объемлющего пространства, ограниченного подпространством.
Формально нормальное расслоение [2] к N в M является фактор-расслоением касательного расслоения на M : имеется короткая точная последовательность векторных расслоений на N :
где — ограничение касательного расслоения на M на N (точнее, обратный прообраз касательного расслоения на M в векторное расслоение на N посредством отображения ). Слой нормального расслоения в называется нормальным пространством в ( в ).
Если является гладким подмногообразием многообразия , мы можем выбрать локальные координаты вокруг так, что локально определяется как ; тогда при таком выборе координат
и идеальный пучок локально порождается . Поэтому мы можем определить невырожденное спаривание
что индуцирует изоморфизм пучков . Мы можем перефразировать этот факт, введя конормальное расслоение, определяемое через конормальную точную последовательность
тогда , а именно, сечения конормального расслоения являются кокасательными векторами к , обращающимися в нуль на .
Когда — точка, то идеальный пучок — это пучок гладких ростков, исчезающих в точке , и изоморфизм сводится к определению касательного пространства через ростки гладких функций на
Абстрактные многообразия имеют каноническое касательное расслоение, но не имеют нормального расслоения: только вложение (или погружение) многообразия в другое дает нормальное расслоение. Однако, поскольку каждое многообразие может быть вложено в , по теореме Уитни о вложении , каждое многообразие допускает нормальное расслоение при таком вложении.
В общем случае нет естественного выбора вложения, но для заданного M любые два вложения в для достаточно большого N являются регулярными гомотопными и, следовательно, индуцируют одно и то же нормальное расслоение. Результирующий класс нормальных расслоений (это класс расслоений, а не конкретное расслоение, поскольку N может меняться) называется стабильным нормальным расслоением .
Нормальное расслоение двойственно касательному расслоению в смысле К-теории : согласно приведенной выше короткой точной последовательности,
в группе Гротендика . В случае погружения в касательное расслоение объемлющего пространства тривиально (так как стягиваемо, следовательно, параллелизуемо ), поэтому , и, таким образом , .
Это полезно при вычислении характеристических классов и позволяет доказать нижние границы погружаемости и вложимости многообразий в евклидово пространство .
Предположим, что многообразие вложено в симплектическое многообразие , так что обратный образ симплектической формы имеет постоянный ранг на . Тогда можно определить симплектическое нормальное расслоение к X как векторное расслоение над X со слоями
где обозначает вложение. Обратите внимание, что условие постоянного ранга гарантирует, что эти нормальные пространства подходят друг другу, образуя расслоение. Более того, любое волокно наследует структуру симплектического векторного пространства. [3]
По теореме Дарбу вложение постоянного ранга локально определяется . Изоморфизм
симплектических векторных расслоений над подразумевает, что симплектическое нормальное расслоение уже определяет вложение постоянного ранга локально. Эта особенность аналогична риманову случаю.