Нулевая бесконечность

Граничная область асимптотически плоского пространства-времени в общей теории относительности

В теоретической физике нулевая бесконечность — это область на границе асимптотически плоских пространств-времен . В общей теории относительности прямые пути в пространстве-времени, называемые геодезическими , могут быть пространственно-подобными, времени-подобными или светоподобными (также называемыми нулевыми). Различие между этими путями вытекает из того, является ли пространственно-временной интервал пути положительным (соответствующим пространственно-подобному), отрицательным (соответствующим времени-подобному) или нулевым (соответствующим нулю). Светоподобные пути физически соответствуют физическим явлениям, которые распространяются в пространстве со скоростью света , таким как электромагнитное излучение и гравитационное излучение . Граница плоского пространства-времени известна как конформная бесконечность и может рассматриваться как конечные точки всех геодезических, уходящих в бесконечность. ^[1] Область нулевой бесконечности соответствует конечной точке всех нулевых геодезических в плоском пространстве Минковского . Различные области конформной бесконечности чаще всего визуализируются на диаграмме Пенроуза , где они составляют границу диаграммы. Существуют две отдельные области нулевой бесконечности, называемые прошлой и будущей нулевой бесконечностью, которые можно обозначить с помощью скрипта ' I ' как и . Эти две области часто называют 'scri-plus' и 'scri-minus' соответственно. ^[2] Геометрически каждая из этих областей фактически имеет структуру топологически цилиндрической трехмерной области. ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{-}}$

Изучение нулевой бесконечности возникло из необходимости описать глобальные свойства пространства-времени. В то время как ранние методы в общей теории относительности были сосредоточены на локальной структуре, построенной вокруг локальных систем отсчета, работа, начавшаяся в 1960-х годах, начала анализировать глобальные описания общей теории относительности, анализируя структуру пространства-времени в целом. ^[3] Первоначальное изучение нулевой бесконечности возникло в работе Роджера Пенроуза, анализирующей пространство-время черной дыры . ^[4] Нулевая бесконечность является полезным математическим инструментом для анализа поведения в асимптотически плоских пространствах, когда необходимо принять пределы нулевых путей. Например, пространство-время черной дыры является асимптотически плоским, и нулевая бесконечность может быть использована для характеристики излучения в пределе, когда оно распространяется наружу от черной дыры. ^[5] Нулевая бесконечность также может рассматриваться в контексте пространства-времени, которое не обязательно является асимптотически плоским, например, в космологии FLRW. ^[2]

Конформная компактификация в пространстве-времени Минковского

Диаграмма Пенроуза для пространства-времени Минковского. Радиальное положение находится на горизонтальной оси, а время — на вертикальной оси. Нулевая бесконечность — диагональная граница диаграммы, обозначенная буквой «I».

Метрика для плоского пространства-времени Минковского в сферических координатах равна . Конформная компактификация индуцирует преобразование, которое сохраняет углы, но изменяет локальную структуру метрики и добавляет границу многообразия, таким образом делая его компактным . ^[6] Для заданной метрики конформная компактификация масштабирует всю метрику на некоторый конформный множитель таким образом, что все точки на бесконечности уменьшаются до конечного значения. ^[3] Обычно радиальные и временные координаты преобразуются в нулевые координаты и . Затем они преобразуются как и для того, чтобы использовать свойства функции обратного тангенса для отображения бесконечности в конечное значение. ^[2] Типичные временные и пространственные координаты могут быть введены как и . После этих преобразований координат вводится конформный множитель, что приводит к новой нефизической метрике для пространства Минковского: ^[7] ${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {\overline {g_{ij}}}=\Omega ^{2}g_{ij}}$ ${\displaystyle u=t+r}$ ${\displaystyle v=t-r}$ ${\displaystyle p=\tan ^{-1}u}$ ${\displaystyle q=\tan ^{-1}v}$ ${\displaystyle T=p+q}$ ${\displaystyle R=p-q}$

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dR^{2}+(\sin ^{2}R)d\Omega ^{2}}$.

Это метрика на диаграмме Пенроуза , проиллюстрированная. В отличие от исходной метрики, эта метрика описывает многообразие с границей, заданной ограничениями на и . На этой границе есть две нулевые поверхности , соответствующие прошлой и будущей нулевой бесконечности. В частности, будущая нулевая бесконечность состоит из всех точек, где и , а прошедшая нулевая бесконечность состоит из всех точек, где и . ^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=\pi -R}$ ${\displaystyle 0<R<\pi }$ ${\displaystyle T=R-\pi }$ ${\displaystyle 0<R<\pi }$

Из ограничений координат нулевая бесконечность представляет собой трехмерную нулевую поверхность с цилиндрической топологией . ^{[1] [8]} ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{2}}$

Конструкция, данная здесь, специфична для плоской метрики пространства Минковского. Однако такая конструкция обобщается и на другие асимптотически плоские пространства. В таких сценариях нулевая бесконечность все еще существует как трехмерная нулевая поверхность на границе пространственно-временного многообразия, но общая структура многообразия может быть иной. Например, в пространстве Минковского все нулевые геодезические начинаются в прошлой нулевой бесконечности и заканчиваются в будущей нулевой бесконечности. Однако в пространстве-времени черной дыры Шварцшильда горизонт событий черной дыры приводит к двум возможностям: геодезические могут заканчиваться в нулевой бесконечности, но также могут заканчиваться в будущей сингулярности черной дыры. Наличие нулевой бесконечности (вместе с другими областями конформной бесконечности) гарантирует геодезическое завершение на пространственно-временном многообразии, где все геодезические заканчиваются либо в истинной сингулярности, либо пересекают границу бесконечности. ^[7]

Другие физические применения

Симметрии нулевой бесконечности характерно отличаются от симметрий типичных областей пространства-времени. В то время как симметрии плоского пространства-времени Минковского задаются группой Пуанкаре , симметрии нулевой бесконечности задаются группой Бонди–Мецнера–Сакса (БМС) . ^{[9] [10]} Работа Бонди , Метцнера и Сакса охарактеризовала гравитационное излучение с использованием анализов, связанных с нулевой бесконечностью, тогда как предыдущие работы, такие как структура ADM, имели дело с характеристиками пространственноподобной бесконечности. ^[8] В последние годы возрос интерес к изучению гравитонов на границе нулевой бесконечности. ^{[8] [11]} Используя группу БМС, кванты на нулевой бесконечности можно охарактеризовать как безмассовые частицы со спином 2 , что согласуется с тем, что кванты общей теории относительности являются гравитонами. ^[8]

Ссылки

1. Хокинг, SW ; Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембриджские монографии по математической физике. Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511524646. ISBN 978-0-521-09906-6.
2. Кэрролл, Шон М. (2019). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности. Cambridge University Press. Bibcode : 2019sgai.book.....C. doi : 10.1017/9781108770385. ISBN 9781108488396. S2CID  126323605 . Получено 2023-05-08 .
3. Misner, CW ; Thorne, KS ; Wheeler, JA ; Chandrasekhar, S. (1 августа 1974 г.). " Гравитация ". Physics Today . 27 (8): 47–48. Bibcode :1974PhT....27h..47M. doi :10.1063/1.3128805. ISSN  0031-9228.
4. Пенроуз, Роджер (18 января 1965 г.). «Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени». Physical Review Letters . 14 (3): 57–59. Bibcode : 1965PhRvL..14...57P. doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
5. Ленер, Луис (декабрь 1998 г.). Гравитационное излучение из пространства-времени черной дыры (диссертация на соискание ученой степени доктора философии). Университет Питтсбурга. Bibcode :1998PhDT.........6L.
6. Стюарт, Джон (1991). Расширенная общая теория относительности. Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511608179. ISBN 978-0-521-44946-5.
7. D'Inverno, RA (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна (1-е изд.). Clarendon Press. ISBN 978-0198596868.
8. Аштекар, Абхай (2015). «Геометрия и физика нулевой бесконечности». Обзоры по дифференциальной геометрии . 20 (1): 99–122. arXiv : 1409.1800 . doi :10.4310/SDG.2015.v20.n1.a5. ISSN  2164-4713. S2CID  54611087.
9. Бонди, Х.; Ван дер Бург, MGJ; Мецнер, А. (1962-08-21). «Гравитационные волны в общей теории относительности, VII. Волны из осесимметричной изолированной системы». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 269 (1336): 21–52. Bibcode : 1962RSPSA.269...21B. doi : 10.1098/rspa.1962.0161. ISSN  0080-4630. S2CID  120125096.
10. Dray, T; Streubel, M (1984-01-11). "Угловой момент на нулевой бесконечности". Классическая и квантовая гравитация . 1 (1): 15–26. Bibcode :1984CQGra...1...15D. doi :10.1088/0264-9381/1/1/005. ISSN  0264-9381. S2CID  250751212.
11. Адамо, Тим; Касали, Эдуардо; Скиннер, Дэвид (2014-04-15). "Струны Амбитвистора и уравнения рассеяния в одной петле". Журнал физики высоких энергий . 2014 (4): 104. arXiv : 1312.3828 . Bibcode : 2014JHEP...04..104A. doi : 10.1007/JHEP04(2014)104. ISSN  1029-8479. S2CID  119194796.