Ньютоновская динамика

Формулировка физики

В физике ньютоновская динамика (также известная как ньютоновская механика ) — это изучение динамики частицы или малого тела в соответствии с законами движения Ньютона . ^{[1] [2] [3]}

Математические обобщения

Обычно ньютоновская динамика происходит в трехмерном евклидовом пространстве , которое является плоским. Однако в математике законы движения Ньютона могут быть обобщены на многомерные и искривленные пространства. Часто термин ньютоновская динамика сужается до второго закона Ньютона . ${\displaystyle \displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F} }$

Второй закон Ньютона в многомерном пространстве

Рассмотрим частицы с массами в обычном трехмерном евклидовом пространстве . Пусть — их радиус-векторы в некоторой инерциальной системе координат. Тогда движение этих частиц подчиняется второму закону Ньютона, примененному к каждой из них. ${\displaystyle \displaystyle N}$ ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$

Трехмерные радиус-векторы можно построить в одномерный радиус-вектор. Аналогично трехмерные векторы скорости можно построить в одномерный вектор скорости: ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle n=3N}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle n=3N}$

В терминах многомерных векторов ( 2 ) уравнения ( 1 ) записываются как

т.е. они принимают форму второго закона Ньютона, примененного к отдельной частице с единичной массой . ${\displaystyle \displaystyle m=1}$

Определение . Уравнения ( 3 ) называются уравнениями ньютоновской динамической системы в плоском многомерном евклидовом пространстве , которое называется конфигурационным пространством этой системы. Его точки отмечены радиус-вектором . Пространство, точки которого отмечены парой векторов, называется фазовым пространством динамической системы ( 3 ). ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

Евклидова структура

Конфигурационное пространство и фазовое пространство динамической системы ( 3 ) являются евклидовыми пространствами, т.е. они снабжены евклидовой структурой. Их евклидова структура определяется так, что кинетическая энергия отдельной многомерной частицы с единичной массой равна сумме кинетических энергий трехмерных частиц с массами : ${\displaystyle \displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$

Ограничения и внутренние координаты

В некоторых случаях движение частиц с массами может быть ограничено. Типичные ограничения выглядят как скалярные уравнения вида ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$

Связи вида ( 5 ) называются голономными и склерономными . В терминах радиус-вектора ньютоновской динамической системы ( 3 ) они записываются как ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$

Каждое такое ограничение уменьшает на единицу число степеней свободы ньютоновской динамической системы ( 3 ). Следовательно, ограниченная система имеет степени свободы. ${\displaystyle \displaystyle n=3\,N-K}$

Определение . Уравнения ограничений ( 6 ) определяют -мерное многообразие в конфигурационном пространстве ньютоновской динамической системы ( 3 ). Это многообразие называется конфигурационным пространством связанной системы. Его касательное расслоение называется фазовым пространством связанной системы. ${\displaystyle \displaystyle n}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle TM}$

Пусть — внутренние координаты точки . Их использование типично для механики Лагранжа . Радиус-вектор выражается некоторой определенной функцией от : ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$

Вектор-функция ( 7 ) разрешает уравнения связей ( 6 ) в том смысле, что при подстановке ( 7 ) в ( 6 ) уравнения ( 6 ) выполняются тождественно в . ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$

Внутреннее представление вектора скорости

Вектор скорости связанной ньютоновской динамической системы выражается через частные производные вектор-функции ( 7 ):

Величины называются внутренними компонентами вектора скорости. Иногда их обозначают отдельным символом ${\displaystyle \displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}}$

и затем рассматриваются как независимые переменные. Величины

используются как внутренние координаты точки фазового пространства связанной ньютоновской динамической системы. ${\displaystyle \displaystyle TM}$

Вложение и индуцированная риманова метрика

Геометрически вектор-функция ( 7 ) реализует вложение конфигурационного пространства ограниченной ньютоновской динамической системы в -мерное плоское конфигурационное пространство неограниченной ньютоновской динамической системы ( 3 ). Благодаря этому вложению евклидова структура окружающего пространства индуцирует риманову метрику на многообразии . Компоненты метрического тензора этой индуцированной метрики задаются формулой ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle 3\,N}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$

где — скалярное произведение, связанное с евклидовой структурой ( 4 ). ${\displaystyle \displaystyle (\ ,\ )}$

Кинетическая энергия связанной ньютоновской динамической системы

Поскольку евклидова структура неограниченной системы частиц вводится через их кинетическую энергию, индуцированная риманова структура на конфигурационном пространстве ограниченной системы сохраняет эту связь с кинетической энергией: ${\displaystyle \displaystyle N}$ ${\displaystyle \displaystyle N}$

Формула ( 12 ) получена путем подстановки ( 8 ) в ( 4 ) и учета ( 11 ).

Силы ограничения

Для связанной ньютоновской динамической системы ограничения, описанные уравнениями ( 6 ), обычно реализуются некоторой механической структурой. Эта структура создает некоторые вспомогательные силы, включая силу, которая удерживает систему в ее конфигурационном многообразии . Такая удерживающая сила перпендикулярна . Она называется нормальной силой . Сила из ( 6 ) подразделяется на две составляющие ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} }$

Первая компонента в ( 13 ) касается конфигурационного многообразия . Вторая компонента перпендикулярна . В совпадает с нормальной силой . Как и вектор скорости ( 8 ), касательная сила имеет свое внутреннее представление ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {N} }$
${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$

Величины в ( 14 ) называются внутренними компонентами вектора силы. ${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$

Второй закон Ньютона в искривленном пространстве

Ньютоновская динамическая система ( 3 ), ограниченная конфигурационным многообразием уравнениями связей ( 6 ), описывается дифференциальными уравнениями ${\displaystyle \displaystyle M}$

где — символы Кристоффеля метрической связности , создаваемой римановой метрикой ( 11 ). ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}}$

Связь с уравнениями Лагранжа

Механические системы с ограничениями обычно описываются уравнениями Лагранжа :

где — кинетическая энергия связанной динамической системы, заданной формулой ( 12 ). Величины в ( 16 ) — это внутренние ковариантные компоненты вектора касательной силы (см. ( 13 ) и ( 14 )). Они производятся из внутренних контравариантных компонентов вектора посредством стандартной процедуры понижения индекса с использованием метрики ( 11 ): ${\displaystyle T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})}$ ${\displaystyle Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$ ${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$

Уравнения ( 16 ) эквивалентны уравнениям ( 15 ). Однако метрика ( 11 ) и другие геометрические характеристики конфигурационного многообразия не являются явными в ( 16 ). Метрика ( 11 ) может быть восстановлена ​​из кинетической энергии с помощью формулы ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle T}$

Смотрите также

• Модифицированная ньютоновская динамика

Ссылки

1. Фицпатрик, Ричард (2021-12-22). Ньютоновская динамика: введение. CRC Press . Предисловие. ISBN 978-1-000-50957-1.
2. Кэсдин, Н. Джереми; Пейли, Дерек А. (2011-02-22). Инженерная динамика: всеобъемлющее введение. Princeton University Press . стр. 11. ISBN 978-1-4008-3907-0.
3. Барбур, Джулиан Б. (2001). Открытие динамики: исследование с махистской точки зрения открытия и структуры динамических теорий. Oxford University Press . стр. 19. ISBN 978-0-19-513202-1.