В математике собственная функция линейного оператора D , определенного в некотором функциональном пространстве, — это любая ненулевая функция в этом пространстве, которая под действием D только умножается на некоторый масштабный коэффициент, называемый собственным значением . В виде уравнения это условие можно записать как
Собственная функция — это разновидность собственного вектора .
В общем, собственный вектор линейного оператора D , определенного в некотором векторном пространстве, представляет собой ненулевой вектор в области определения D , который, когда D действует на него, просто масштабируется некоторым скалярным значением, называемым собственным значением. В особом случае, когда D определен в функциональном пространстве, собственные векторы называются собственными функциями . То есть функция f является собственной функцией D , если она удовлетворяет уравнению
где λ — скаляр. [1] [2] [3] На решения уравнения ( 1 ) также могут распространяться граничные условия. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничиваются, например, дискретным набором λ 1 , λ 2 , … или непрерывным набором в некотором диапазоне. Набор всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром , который может быть дискретным, непрерывным или комбинацией того и другого. [1]
Каждому значению λ соответствует одна или несколько собственных функций. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, собственное значение называется вырожденным , а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, представляет собой степень вырождения или геометрической кратности собственного значения . [4] [5]
Широко используемый класс линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, — это дифференциальные операторы в пространстве C∞ бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций вещественного или комплексного аргумента t . Например, рассмотрим производный оператор с уравнением собственных значений
Это дифференциальное уравнение можно решить путем умножения обеих частей и интегрирования. Ее решение – показательная функция
Предположим в примере, что f ( t ) подчиняется граничным условиям f (0) = 1 и . Затем мы находим, что
Собственные функции могут быть выражены как векторы-столбцы, а линейные операторы могут быть выражены как матрицы, хотя они могут иметь бесконечные размерности. В результате многие понятия, связанные с собственными векторами матриц, переносятся и на изучение собственных функций.
Определите внутренний продукт в функциональном пространстве, в котором D определяется как
Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис , заданный набором функций { u 1 ( t ), u 2 ( t ), …, un ( t ) }, где n может быть бесконечным. Для ортонормированного базиса
Функции можно записать как линейную комбинацию базисных функций:
Дополнительно определим матричное представление линейного оператора D с элементами
Мы можем записать функцию Df ( t ) либо как линейную комбинацию базисных функций, либо как D , действующую на разложение f ( t ),
Взяв скалярное произведение каждой части этого уравнения с произвольной базисной функцией ui ( t ) ,
Это матричное умножение Ab = c , записанное в виде суммирования, и является матричным эквивалентом оператора D , действующего на функцию f ( t ), выраженную в ортонормированном базисе. Если f ( t ) — собственная функция D с собственным значением λ, то Ab = λb .
Многие из операторов, встречающихся в физике, являются эрмитовыми . Предположим, что линейный оператор D действует в функциональном пространстве, которое является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, заданным набором функций { u 1 ( t ), u 2 ( t ), …, un ( t ) }, где n может быть бесконечным. В этом базисе оператор D имеет матричное представление A с элементами
По аналогии с эрмитовыми матрицами D является эрмитовым оператором, если A ij = A ji * , или: [6]
Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ 1 , λ 2 , … и соответствующими собственными функциями f 1 ( t ), f 2 ( t ), …. Этот эрмитовский оператор обладает следующими свойствами:
Второе условие всегда выполняется для λ i ≠ λ j . Для вырожденных собственных функций с одинаковым собственным значением λ i всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, которые охватывают собственное пространство, связанное с λ i , например, с помощью процесса Грама-Шмидта . [5] В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, установив скалярное произведение собственных функций равным либо дельта-функции Кронекера, либо дельта-функции Дирака соответственно. [8] [9]
Для многих эрмитовых операторов, особенно операторов Штурма – Лиувилля , третье свойство
Как следствие, во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена как линейная комбинация собственных функций эрмитова оператора.
Пусть h ( x , t ) обозначает поперечное смещение напряжённой упругой хорды, такой как колеблющаяся струна струнного инструмента , как функция положения x вдоль струны и времени t . Применяя законы механики к бесконечно малым частям струны, функция h удовлетворяет уравнению в частных производных
Эта задача поддается методу разделения переменных . Если предположить, что h ( x , t ) можно записать как произведение вида X ( x ) T ( t ) , мы можем сформировать пару обыкновенных дифференциальных уравнений:
Каждое из них представляет собой уравнение собственных значений с собственными значениями и − ω 2 соответственно. При любых значениях ω и c уравнениям удовлетворяют функции
Если мы наложим граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в точках x = 0 и x = L , а именно X (0) = X ( L ) = 0 , и что T (0) = 0 , мы ограничим собственные значения. Для этих граничных условий sin( φ ) = 0 и sin( ψ ) = 0 , поэтому фазовые углы φ = ψ = 0 и
Это последнее граничное условие вынуждает ω принимать значение ω n =ncπ/л, где n — любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида
На примере струнного инструмента частота ω n — это частота n -й гармоники , которая называется ( n − 1) -м обертоном .
В квантовой механике уравнение Шрёдингера
Оба этих дифференциальных уравнения являются уравнениями на собственные значения с собственным значением E . Как показано в предыдущем примере, решением уравнения ( 3 ) является экспоненциальная функция
Уравнение ( 2 ) представляет собой независимое от времени уравнение Шрёдингера. Собственные функции φ k оператора Гамильтона представляют собой стационарные состояния квантовомеханической системы, каждое из которых имеет соответствующую энергию E k . Они представляют собой допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.
Гамильтонов оператор H является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шредингера представляют собой линейные комбинации стационарных состояний, умноженные на колебательное T ( t ) , [11] или, для системы с непрерывным спектром,
Успех уравнения Шрёдингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших триумфов физики XX века.
При изучении сигналов и систем собственная функция системы — это сигнал f ( t ) , который при вводе в систему вызывает ответ y ( t ) = λf ( t ) , где λ — комплексное скалярное собственное значение. [12]