Обезьянье седло

Математическая поверхность, определяемая формулой z = x³ – 3xy²

В математике обезьянье седло — это поверхность , определяемая уравнением

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2},\,}$

или в цилиндрических координатах

${\displaystyle z=\rho ^{3}\cos(3\varphi ).}$

Обезьянье седло

Она принадлежит к классу седловых поверхностей , и ее название происходит от наблюдения, что седло для обезьяны потребовало бы двух углублений для ног и одного для хвоста. Точка ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0,0)}$ на седле обезьяны соответствует вырожденной критической точке функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle z(x,y)}$ в ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0)}$ . Седло обезьяны имеет изолированную омбилическую точку с нулевой гауссовой кривизной в начале координат, тогда как кривизна строго отрицательна во всех других точках.

Можно связать прямоугольные и цилиндрические уравнения, используя комплексные числа. ${\displaystyle x+iy=re^{i\varphi }:}$

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}=\operatorname {Re} [(x+iy)^{3}]=\operatorname {Re} [r^{3}e^{3i\varphi }]=r^{3}\cos(3\varphi ).}$

Заменив 3 в цилиндрическом уравнении любым целым числом ⁠ ⁠, ${\displaystyle k\geq 1,}$ можно создать седло с ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ углублениями. ^[1]

Другая ориентация седла обезьяны — это лепесток корюшки, определяемый таким образом, что ось z седла обезьяны соответствует направлению ⁠ ⁠ в лепестке корюшки. ^{[2] [3]} ${\displaystyle x+y+z+xyz=0,}$ ${\displaystyle (1,1,1)}$

Лепесток корюшки: x + y + z + xyz = 0

Седло для лошади

Термин «седло лошади» может использоваться в противопоставление «седлу обезьяны» для обозначения обычной седловой поверхности, в которой z ( x , y ) имеет седловую точку , локальный минимум или максимум в каждом направлении плоскости xy . Напротив, «седло обезьяны» имеет стационарную точку перегиба в каждом направлении.

Ссылки

1. Пекхэм, SD (2011) Седла обезьян, морских звезд и осьминогов, Труды Geomorphometry 2011 , Редлендс, Калифорния, стр. 31-34, https://www.researchgate.net/publication/256808897_Monkey_Starfish_and_Octopus_Saddles
2. J., Rimrott, FP (1989). Введение в динамику отношения . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. стр. 26. ISBN 9781461235026. OCLC  852789976.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
3. Chesser, H.; Rimrott, FPJ (1985). Rasmussen, H. (ред.). «Треугольник Магнуса и лепесток Смелта». CANCAM '85: Труды, Десятый канадский конгресс прикладной механики, 2-7 июня 1985 г., Университет Западного Онтарио, Лондон, Онтарио, Канада .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Обезьянье седло». MathWorld .