Точка перегиба

Точка, где кривизна кривой меняет знак

График зависимости y = x ³ с точкой перегиба (0,0), которая также является стационарной точкой .

Корни , стационарные точки , точка перегиба и вогнутость кубического многочлена x 3 ⁻ 6 x ² + 9 x − 4 (сплошная черная кривая) и его первая (штриховая красная) и вторая (пунктирная оранжевая ) производные .

В дифференциальном исчислении и дифференциальной геометрии точка перегиба , точка перегиба , изгиб или перегиб (редко перегиб ) — это точка на гладкой плоской кривой , в которой кривизна меняет знак. В частности, в случае графика функции это точка, в которой функция меняет форму с вогнутой (вогнутой вниз) на выпуклую (вогнутую вверх) или наоборот.

Для графика функции f класса дифференцируемости C2 ( ее первая производная ^f ' и ее вторая производная f'' существуют и непрерывны) условие f'' = 0 также может быть использовано для нахождения точки перегиба, поскольку для изменения f'' с положительного значения (вогнутости вверх) на отрицательное значение (вогнутости вниз) или наоборот необходимо пройти точку f'' = 0, поскольку f'' непрерывна; точка перегиба кривой находится там, где f'' = 0 и меняет свой знак в этой точке (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный). ^[1] Точка, в которой вторая производная обращается в нуль, но не меняет свой знак, иногда называется точкой волнообразности или точкой волнообразности .

В алгебраической геометрии точка перегиба определяется несколько более обобщенно, как обычная точка , в которой касательная пересекает кривую порядка не ниже 3, а точка волнообразной формы или гиперфлексия определяется как точка, в которой касательная пересекает кривую порядка не ниже 4.

Определение

Точки перегиба в дифференциальной геометрии — это точки кривой, в которых кривизна меняет знак. ^{[2] [3]}

Например, график дифференцируемой функции имеет точку перегиба в точке ( x , f ( x )) тогда и только тогда, когда ее первая производная f' имеет изолированный экстремум в точке x . (это не то же самое, что сказать, что f имеет экстремум). То есть, в некоторой окрестности x является единственной точкой, в которой f' имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы f ' являются изолированными , то точка перегиба — это точка на графике f, в которой касательная пересекает кривую.

Точка перегиба падения — это точка перегиба, где производная отрицательна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция убывает. Точка перегиба роста — это точка, где производная положительна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция возрастает.

Для гладкой кривой, заданной параметрическими уравнениями , точка является точкой перегиба, если ее знаковая кривизна изменяется с плюса на минус или с минуса на плюс, т. е. меняет знак .

Для гладкой кривой, являющейся графиком дважды дифференцируемой функции, точка перегиба — это точка на графике, в которой вторая производная имеет изолированный ноль и меняет знак.

В алгебраической геометрии неособая точка алгебраической кривой является точкой перегиба тогда и только тогда, когда число пересечений касательной и кривой (в точке касания) больше 2. Основная мотивация этого другого определения заключается в том, что в противном случае множество точек перегиба кривой не было бы алгебраическим множеством . Фактически, множество точек перегиба плоской алгебраической кривой — это в точности ее неособые точки , которые являются нулями определителя Гессе ее проективного завершения .

График функции f ( x ) = sin(2 x ) от − π /4 до 5 π /4; вторая производная равна f″ ( x ) = –4sin(2 x ) , и ее знак, таким образом, противоположен знаку f . Тангенс синий, где кривая выпуклая (выше своей касательной ), зеленый, где вогнутая (ниже своей касательной), и красный в точках перегиба: 0, π /2 и π

Условия

Необходимое, но недостаточное условие

Для функции f , если ее вторая производная f″ ( x ) существует в точке x ₀ и x ₀ является точкой перегиба для f , то f″ ( x ₀ ) = 0 , но этого условия недостаточно для наличия точки перегиба, даже если существуют производные любого порядка. В этом случае также необходимо, чтобы производная низшего порядка (выше второго) ненулевая была нечетного порядка (третьего, пятого и т. д.). Если производная низшего порядка ненулевая имеет четный порядок, точка не является точкой перегиба, а точкой волнообразности . Однако в алгебраической геометрии как точки перегиба, так и точки волнообразности обычно называются точками перегиба . Примером точки волнообразности является x = 0 для функции f , заданной формулой f ( x ) = x ⁴ .

В предыдущих утверждениях предполагается, что f имеет некоторую производную более высокого порядка, отличную от нуля, в точке x , что не обязательно так. Если это так, то условие, что первая ненулевая производная имеет нечетный порядок, подразумевает, что знак f '(x) одинаков по обе стороны от x в окрестности x . Если этот знак положительный , точка является восходящей точкой перегиба ; если он отрицательный , точка является нисходящей точкой перегиба .

Достаточные условия

1. Достаточным условием существования точки перегиба в случае, когда f ( x ) k раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x ₀ с нечетным k и k ≥ 3 , является то, что f ^{( n )} ( x ₀ ) = 0 для n = 2, ..., k − 1 и f ^{( k )} ( x ₀ ) ≠ 0. Тогда f ( x ) имеет точку перегиба в точке x ₀ .
2. Другое более общее достаточное условие существования требует, чтобы f″ ( x ₀ + ε ) и f″ ( x ₀ − ε ) имели противоположные знаки в окрестности  x ₀ ( Бронштейн и Семендяев 2004, с. 231).

Категоризация точек перегиба

y = x ⁴ – x имеет вторую производную, равную нулю в точке (0,0), но это не точка перегиба, поскольку четвертая производная является первой производной высшего порядка, отличной от нуля (третья производная также равна нулю).

Точки перегиба также можно классифицировать в зависимости от того, является ли f ' ( x ) нулем или ненулевым значением.

• если f ' ( x ) равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба
• если f ' ( x ) не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба

Стационарная точка перегиба не является локальным экстремумом . В более общем смысле, в контексте функций нескольких действительных переменных , стационарная точка, не являющаяся локальным экстремумом, называется седловой точкой .

Примером стационарной точки перегиба является точка (0, 0) на графике y = x ³ . Касательной является ось x , которая пересекает график в этой точке.

Примером нестационарной точки перегиба является точка (0, 0) на графике y = x ³ + ax для любого ненулевого a . Касательная в начале координат — это линия y = ax , которая пересекает график в этой точке.

Функции с разрывами

Некоторые функции изменяют вогнутость, не имея точек перегиба. Вместо этого они могут изменять вогнутость вокруг вертикальных асимптот или разрывов. Например, функция вогнута для отрицательных x и выпукла для положительных x , но у нее нет точек перегиба, потому что 0 не находится в области определения функции. ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

Функции с точками перегиба, вторая производная которых не обращается в нуль

Некоторые непрерывные функции имеют точку перегиба, даже если вторая производная никогда не равна 0. Например, функция кубического корня вогнута вверх, когда x отрицателен, и вогнута вниз, когда x положителен, но не имеет производных любого порядка в начале координат.

Смотрите также

• Критическая точка (математика)
• Экологический порог
• Конфигурация Гессе, образованная девятью точками перегиба эллиптической кривой
• Ogee , архитектурная форма с точкой перегиба
• Вершина (кривая) , локальный минимум или максимум кривизны

Ссылки

1. Стюарт, Джеймс (2015). Calculus (8-е изд.). Бостон: Cengage Learning. стр. 281. ISBN 978-1-285-74062-1.
2. задач по математическому анализу . Бараненков Г.С. М.: Мир. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC  21598952.{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )
3. Бронштейн; Семендяев (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Берлин: Springer. С. 231. ISBN 3-540-43491-7.

Источники

• Вайсштейн, Эрик В. «Точка перегиба». Математический мир .
• «Точка перегиба», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]