В математической области алгебраической геометрии особой точкой алгебраического многообразия V называется точка P , которая является «специальной» (то есть особой), в геометрическом смысле, что в этой точке касательное пространство к многообразию может быть нерегулярно определено. В случае многообразий, определенных над действительными числами , это понятие обобщает понятие локальной неплоскостности . Точка алгебраического многообразия, которая не является особой, называется регулярной . Алгебраическое многообразие, которое не имеет особой точки, называется неособым или гладким . Это понятие обобщается на гладкие схемы в современном языке теории схем .
Плоская кривая, определяемая неявным уравнением
где F — гладкая функция , называется сингулярной в точке, если ряд Тейлора функции F имеет порядок не менее 2 в этой точке.
Причина этого в том, что в дифференциальном исчислении касательная в точке ( x0 , y0 ) такой кривой определяется уравнением
левая часть которого является членом степени один разложения Тейлора. Таким образом, если этот член равен нулю, тангенс не может быть определен стандартным способом, либо потому, что он не существует, либо должно быть предоставлено специальное определение.
В общем случае для гиперповерхности
особые точки — это те, в которых все частные производные одновременно обращаются в нуль. Общее алгебраическое многообразие V определяется как общие нули нескольких многочленов , условие того, что точка P многочлена V является особой точкой, заключается в том, что матрица Якоби частных производных первого порядка многочленов имеет ранг в точке P , который ниже ранга в других точках многообразия.
Точки V , не являющиеся особыми, называются неособыми или регулярными . Всегда верно, что почти все точки неособые, в том смысле, что неособые точки образуют множество, которое одновременно открыто и плотно в многообразии (для топологии Зарисского , а также для обычной топологии в случае многообразий, определенных над комплексными числами ). [1]
В случае действительного многообразия (то есть множества точек с действительными координатами многообразия, определяемого полиномами с действительными коэффициентами), многообразие является многообразием вблизи каждой регулярной точки. Но важно отметить, что действительное многообразие может быть многообразием и иметь особые точки. Например, уравнение y 3 + 2 x 2 y − x 4 = 0 определяет действительное аналитическое многообразие, но имеет особую точку в начале координат. [2] Это можно объяснить, сказав, что кривая имеет две комплексно сопряженные ветви , которые пересекают действительную ветвь в начале координат.
Поскольку понятие особых точек является чисто локальным свойством, приведенное выше определение можно расширить, чтобы охватить более широкий класс гладких отображений (функций из M в R n , где существуют все производные). Анализ этих особых точек можно свести к случаю алгебраического многообразия, рассмотрев струи отображения . k -я струя представляет собой ряд Тейлора отображения, усеченный в степени k и удаленный постоянный член .
В классической алгебраической геометрии некоторые особые особые точки также назывались узлами . Узел — это особая точка, где матрица Гессе неособенная; это означает, что особая точка имеет кратность два, а касательный конус неособенный вне своей вершины.
