Векторная область

В трехмерной геометрии и векторном исчислении вектор площади — это вектор , сочетающий величину площади с направлением , таким образом представляющий ориентированную область в трех измерениях.

Каждой ограниченной поверхности в трех измерениях можно сопоставить уникальный вектор площади, называемый ее векторной площадью . Он равен поверхностному интегралу нормали к поверхности и отличается от обычной ( скалярной ) площади поверхности .

Векторную область можно рассматривать как трехмерное обобщение знаковой области в двух измерениях.

Определение

Для конечной плоской поверхности со скалярной площадью S и единичной нормалью n̂ векторная площадь S определяется как единичная нормаль, масштабированная по площади:

$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S}$$

Для ориентируемой поверхности S _, состоящей из набора Si плоских фасетных площадей, векторная площадь поверхности определяется выражением

$${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}}$$

n̂i _{—площади} Si

Для ограниченных, ориентированных криволинейных поверхностей, которые ведут себя достаточно хорошо , мы все равно можем определить векторную площадь. Сначала мы разбиваем поверхность на бесконечно малые элементы, каждый из которых фактически плоский. Для каждого бесконечно малого элемента площади у нас есть вектор площади, также бесконечно малый.

$${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS}$$

n̂dS

$${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$$

Характеристики

Векторную площадь поверхности можно интерпретировать как проецируемую площадь (со знаком) или «тень» поверхности в той плоскости, в которой она наибольшая; его направление задается нормалью этой плоскости.

Для изогнутой или граненой (то есть неплоской) поверхности векторная площадь меньше по величине, чем фактическая площадь поверхности . Крайний пример: замкнутая поверхность может иметь сколь угодно большую площадь, но ее векторная площадь обязательно равна нулю. ^[1] Поверхности, имеющие общую границу, могут иметь очень разные площади, но они должны иметь одну и ту же векторную площадь — векторная площадь полностью определяется границей. Это следствия теоремы Стокса .

Векторная площадь параллелограмма определяется векторным произведением двух векторов, охватывающих его; это вдвое больше (векторной) площади треугольника, образованного теми же векторами. В общем, векторная площадь любой поверхности, граница которой состоит из последовательности отрезков прямых линий (аналог двумерного многоугольника ), может быть рассчитана с использованием серии векторных произведений, соответствующих триангуляризации поверхности . Это обобщение формулы шнурка на три измерения.

Используя теорему Стокса , примененную к правильно выбранному векторному полю, можно вывести граничный интеграл для векторной площади:

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r} }$$

Sкривыхвычислению площади с использованием теоремы Грина ${\displaystyle \partial S}$

Приложения

Векторы площадей используются при вычислении поверхностных интегралов , например, при определении потока векторного поля через поверхность. Поток задается интегралом скалярного произведения поля и (бесконечно малого) вектора площади. Когда поле постоянно по поверхности, интеграл упрощается до скалярного произведения поля и векторной площади поверхности.

Проекция площади на плоскости

Площадь проецирования на плоскость определяется скалярным произведением векторной площади S и нормали единицы целевой плоскости m̂ :

$${\displaystyle A_{\parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}}$$

xyz

$${\displaystyle \mathbf {S} _{z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta }$$

θn̂z

Смотрите также

• Бивектор , представляющий ориентированную область в любом количестве измерений.
• Теорема Де Гуа о разложении векторной площади на ортогональные компоненты.
• Перекрестное произведение
• Поверхность нормальная
• Поверхностный интеграл

Примечания

1. Шпигель, Мюррей Р. (1959). Теория и проблемы векторного анализа . Серия набросков Шаума. МакГроу Хилл. п. 25.