Обобщенный ряд Фурье

Разложения пространств скалярного произведения по ортонормированным базисам

Обобщенный ряд Фурье — это разложение квадратно-интегрируемой функции в сумму квадратно-интегрируемых ортогональных базисных функций . Стандартный ряд Фурье использует ортонормированный базис тригонометрических функций , а разложение ряда применяется к периодическим функциям. Напротив, обобщенный ряд Фурье использует любой набор ортогональных базисных функций и может применяться к любой квадратно-интегрируемой функции . ^{[1] [2]}

Определение

Рассмотрим набор квадратично-интегрируемых комплекснозначных функций , определенных на замкнутом интервале , которые попарно ортогональны относительно взвешенного скалярного произведения : ${\displaystyle \Phi =\{\phi _{n}:[a,b]\to \mathbb {C} \}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}w(x)dx,}$

где — весовая функция , а — комплексно сопряженная функция . Тогда обобщенный ряд Фурье функции имеет вид: где коэффициенты определяются как: ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle {\overline {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\phi _{n}(x),}$$ $${\displaystyle c_{n}={\langle f,\phi _{n}\rangle _{w} \over \|\phi _{n}\|_{w}^{2}}.}$$

Задачи Штурма-Лиувилля

Учитывая пространство квадратично интегрируемых функций, определенных на заданном интервале, можно найти ортогональные базисы, рассматривая класс краевых задач на интервале, называемых регулярными задачами Штурма-Лиувилля . Они определяются следующим образом, где и являются действительными и непрерывными на и на , а являются самосопряженными граничными условиями, а является положительной непрерывной функцией на . ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle (rf')'+pf+\lambda wf=0}$$ $${\displaystyle B_{1}(f)=B_{2}(f)=0}$$ ${\displaystyle r,r'}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle [a,b]}$

При наличии регулярной задачи Штурма-Лиувилля, определенной выше, набор собственных функций, соответствующих различным решениям собственных значений задачи, образует ортогональный базис для относительно взвешенного скалярного произведения . ^[3] Мы также имеем, что для функции , которая удовлетворяет граничным условиям этой задачи Штурма-Лиувилля, ряд равномерно сходится к . ^[4] ${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{1}^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{w}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\langle f,\phi _{n}\rangle \phi _{n}}$ ${\displaystyle f}$

Примеры

Ряд Фурье–Лежандра

Функция, определенная на всей числовой прямой, называется периодической с периодом, если существует число такое, что для любого действительного числа выполняется равенство . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x+T)=f(x)}$

Если функция периодична с периодом , то она также периодична с периодами , , и т. д. Обычно под периодом функции понимают наименьшее такое число . Однако для некоторых функций существуют сколь угодно малые значения . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2T}$ ${\displaystyle 3T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Последовательность функций известна как тригонометрическая система. Любая линейная комбинация функций тригонометрической системы, включая бесконечную комбинацию (то есть сходящийся бесконечный ряд ), является периодической функцией с периодом 2π. ${\displaystyle 1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx),...}$

На любом отрезке длины 2π (например, на отрезках [−π,π] и [0,2π]) тригонометрическая система является ортогональной системой . Это означает, что для любых двух функций тригонометрической системы интеграл их произведения по отрезку длины 2π равен нулю. Этот интеграл можно рассматривать как скалярное произведение в пространстве функций, интегрируемых на заданном отрезке длины 2π.

Пусть функция определена на отрезке [−π, π]. При соответствующих условиях гладкости и дифференцируемости может быть представлена ​​на этом отрезке в виде линейной комбинации функций тригонометрической системы, называемой также разложением функции в тригонометрический ряд Фурье. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Полиномы Лежандра являются решениями задачи Штурма–Лиувилля на собственные значения. ${\displaystyle P_{n}(x)}$

${\displaystyle \left((1-x^{2})P_{n}'(x)\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$

Как следствие теории Штурма-Лиувилля, эти многочлены являются ортогональными собственными функциями относительно внутреннего произведения с единичным весом. Это можно записать как обобщенный ряд Фурье (известный в этом случае как ряд Фурье–Лежандра), включающий многочлены Лежандра, так что

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}P_{n}(x),}$

${\displaystyle c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\|_{w}^{2}}}$

Например, ряд Фурье–Лежандра может быть рассчитан для более . Тогда ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\int _{-1}^{1}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}(1)^{2}\,dx}=\sin {1}\\c_{1}&={\int _{-1}^{1}x\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx}={0 \over 2/3}=0\\c_{2}&={\int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx}={6\cos {1}-4\sin {1} \over 2/5}\end{aligned}}}$

и усеченный ряд, включающий только эти члены, будет

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin 1\\&=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin {1}-{15 \over 2}\cos {1}\end{aligned}}}$

что отличается от примерно на 0,003. В вычислительных приложениях может быть выгоднее использовать такие ряды Фурье–Лежандра, а не ряды Фурье, поскольку базисные функции для разложения ряда являются все полиномами, и, следовательно, интегралы и, следовательно, коэффициенты могут быть проще для вычисления. ${\displaystyle \cos x}$

Теоремы о коэффициентах

Вот некоторые теоремы о коэффициентах ряда : ${\displaystyle c_{n}}$

Неравенство Бесселя

Неравенство Бесселя — это утверждение о коэффициентах элемента в гильбертовом пространстве относительно ортонормированной последовательности . Неравенство было выведено Ф. В. Бесселем в 1828 году: ^[5] ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.}$

Теорема Парсеваля

Теорема Парсеваля обычно относится к результату, что преобразование Фурье является унитарным ; в более широком смысле, что сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. ^[6]

Если Φ — полный базис, то:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.}$

Смотрите также

• Банахово пространство
• Собственные функции
• Дробное преобразование Фурье
• Функциональное пространство
• Гильбертово пространство
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Ортогональная функция
• Ортогональность
• Топологическое векторное пространство
• Вектор пространства

Ссылки

1. Герман, стр. 82
2. Фолланд стр.84
3. Фолланд стр.89
4. Фолланд стр.90
5. "Неравенство Бесселя - Энциклопедия математики".
6. Парсеваль де Шен, Марк-Антуан «Мемуар о сериях и полной интеграции уравнений с разностями линейных частей второго порядка, константы коэффициентов», представленный перед Академией наук (Париж) 5 апреля 1799 года. Эта статья был опубликован в журнале Mémoires presentés à l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées Sciences, mathématiques et Physiques (Savants étrangers.) , vol. 638–648 (1806).

• Обобщенные ряды Фурье в MathWorld
• Герман, Рассел (2016). Введение в Фурье-анализ и комплексный анализ с приложениями к спектральному анализу сигналов (PDF) . стр. 73-112.
• Фолланд, Джеральд Б. (1992). Анализ Фурье и его приложения (PDF) . Пасифик Гроув, Калифорния: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. стр. 62-97.