Знак (математика)

Символы плюс и минус используются для обозначения знака числа.

В математике знак действительного числа — это его свойство быть либо положительным, либо отрицательным , либо .

В некоторых контекстах имеет смысл рассматривать ноль со знаком (например, представление действительных чисел с плавающей запятой в компьютерах). В зависимости от местных соглашений ноль может считаться ни положительным, ни отрицательным (не имеющим знака или уникального третьего знака) или может считаться одновременно положительным и отрицательным (имеющим оба знака). Если не указано иное, эта статья придерживается первого соглашения (ноль имеет неопределенный знак).

В математике и физике фраза «смена знака» связана с генерацией аддитивного обратного (отрицание или умножение на -1 ) любого объекта, допускающего эту конструкцию, и не ограничивается действительными числами. Он применяется, среди других объектов, к векторам, матрицам и комплексным числам, которым не предписано быть только положительными, отрицательными или нулевыми.

Слово «знак» также часто используется для обозначения других бинарных аспектов математических объектов, которые напоминают положительность и отрицательность, например, нечетность и четность ( знак перестановки ), смысл ориентации или вращения ( cw/ccw ), односторонние пределы , и другие понятия, описанные в § Другие значения ниже.

Знак числа

Числа из различных систем счисления, таких как целые числа , рациональные числа , комплексные числа , кватернионы , октонионы ... могут иметь несколько атрибутов, которые фиксируют определенные свойства числа. Система счисления, имеющая структуру упорядоченного кольца, содержит уникальное число, которое при добавлении к любому числу оставляет последнее неизменным. Этот уникальный номер известен как аддитивный идентификационный элемент системы . Например, целые числа имеют структуру упорядоченного кольца. Это число обычно обозначается как $0.$ Из-за общего порядка в этом кольце есть числа больше нуля, называемые положительными числами. Еще одно свойство, необходимое для упорядочения кольца, заключается в том, что для каждого положительного числа существует уникальное соответствующее число меньше $0$ , сумма которого с исходным положительным числом равна $0.$ Эти числа меньше $0$ называются отрицательными числами. Числа в каждой такой паре являются соответствующими аддитивными обратными числами . Этот атрибут числа, являющийся исключительно нулевым $(0)$ , положительным $(+)$ или отрицательным $(-)$ , называется его знаком и часто кодируется действительными числами $0$ , $1$ и $-1$ соответственно (аналогично способ определения знаковой функции ). ^[1] Поскольку рациональные и действительные числа также представляют собой упорядоченные кольца (фактически упорядоченные поля ), атрибут знака также применим к этим системам счисления.

Когда знак минус используется между двумя числами, он представляет собой двоичную операцию вычитания. Когда знак минус пишется перед одним числом, он представляет собой унарную операцию получения аддитивного обратного операнда (иногда называемого отрицанием ). Если абстрактно, то разница двух чисел представляет собой сумму вычитаемого с аддитивным обратным вычитаемым. Хотя $0$ является собственным аддитивным обратным числом ( $-0 = 0$ ), аддитивное обратное положительному числу отрицательно, а аддитивное обратное отрицательному числу положительно. Двойное применение этой операции записывается как $-(-3) = 3$ . Знак плюс преимущественно используется в алгебре для обозначения бинарной операции сложения и лишь изредка для подчеркивания положительности выражения.

В общепринятой записи чисел (используемой в арифметике и других местах) знак числа часто указывается путем помещения знака плюс или минус перед числом. Например, $+3$ обозначает «положительную тройку», а $-3$ обозначает «отрицательную тройку» (алгебраически: аддитивная обратная $3$ ). Без определенного контекста (или когда не указан явный знак) число по умолчанию интерпретируется как положительное. Это обозначение устанавливает сильную связь знака минус « $-$ » с отрицательными числами, а знака плюс «+» с положительными числами.

Знак нуля

В рамках соглашения о том, что ноль не является ни положительным, ни отрицательным, конкретное значение знака $0$ может быть присвоено числовому значению $0$ . Это используется в -функции , определенной для действительных чисел. ^[1] В арифметике $+0$ и $-0$ обозначают одно и то же число $0$ . Как правило, нет опасности спутать значение с его знаком, хотя соглашение о присвоении обоим знакам значения $0$ не позволяет сразу сделать это различие. $\operatorname {sgn}$

В некоторых контекстах, особенно в вычислениях , полезно рассматривать знаковые версии нуля, причем знаковые нули относятся к различным представлениям дискретных чисел ( подробнее см . Представления чисел со знаком).

Символы $+0$ и $-0$ редко появляются вместо $0 +$ и $0 -$ , используемых в исчислении и математическом анализе для односторонних пределов (правосторонний предел и левосторонний предел соответственно). Это обозначение относится к поведению функции, когда ее реальная входная переменная приближается к $0$ вдоль положительных (соответственно, отрицательных) значений; эти два предела не обязательно должны существовать или согласовываться.

Терминология знаков

Когда говорят, что $0$ не является ни положительным, ни отрицательным, следующие фразы могут относиться к знаку числа:

Число считается положительным , если оно больше нуля.
Число является отрицательным , если оно меньше нуля.
Число является неотрицательным, если оно больше или равно нулю.
Число является неположительным, если оно меньше или равно нулю.

Когда $0$ считается одновременно положительным и отрицательным ^,^для обозначения знака числа используются модифицированные фразы ^:

Число строго положительное, если оно больше нуля.
Число строго отрицательное, если оно меньше нуля.
Число считается положительным, если оно больше или равно нулю.
Число является отрицательным, если оно меньше или равно нулю.

Например, абсолютное значение действительного числа всегда «неотрицательно», но не обязательно «положительно» в первой интерпретации, тогда как во второй интерпретации оно называется «положительным», хотя и не обязательно «строго положительным». .

Та же терминология иногда используется для функций , которые возвращают действительные или другие значения со знаком. Например, функцию можно назвать положительной функцией , если ее значения положительны для всех аргументов ее области определения, или неотрицательной функцией, если все ее значения неотрицательны.

Комплексные числа

Комплексные числа невозможно упорядочить, поэтому они не могут нести структуру упорядоченного кольца и, соответственно, не могут быть разбиты на положительные и отрицательные комплексные числа. Однако они имеют общий атрибут с реальными числами, который называется абсолютным значением или величиной . Величины всегда являются неотрицательными действительными числами, и любому ненулевому числу принадлежит положительное действительное число, его абсолютное значение .

Например, абсолютное значение $-3$ и абсолютное значение $3$ равны $3$ . Это записывается символами как $| -3 | = 3$ и $| 3 | = 3$ .

В общем, любую произвольную действительную величину можно определить по ее величине и знаку. При использовании стандартной кодировки любое действительное значение определяется произведением величины и знака в стандартной кодировке. Это соотношение можно обобщить для определения знака комплексных чисел.

Поскольку действительные и комплексные числа образуют поле и содержат положительные действительные числа, они также содержат обратные величины всех ненулевых чисел. Это означает, что любое ненулевое число можно умножить на величину, обратную его величине, то есть разделить на ее величину. Очевидно, что частное любого ненулевого действительного числа к его величине дает в точности его знак. По аналогии знак комплексного числа $z$ можно определить как частное z $и$ его величины $| г |$ . Знаком комплексного числа является экспонента произведения его аргумента на мнимую единицу. представляет в некотором смысле его сложный аргумент. Его следует сравнивать со знаком действительных чисел, за исключением определения комплексной знаковой функции. см. § Комплексную знаковую функцию ниже. $e^{i\pi}=-1.$

Знаковые функции

При работе с числами часто бывает удобно иметь их знак в виде числа. Это достигается с помощью функций, которые извлекают знак любого числа и сопоставляют его с предопределенным значением, прежде чем сделать его доступным для дальнейших вычислений. Например, может быть полезно сформулировать сложный алгоритм только для положительных значений и только потом позаботиться о знаке.

Действительная знаковая функция

Функция знака или функция Signum извлекает знак действительного числа путем сопоставления набора действительных чисел с набором трех действительных чисел. Его можно определить следующим образом: ^[1] $\{-1,\;0,\;1\}.$

{\begin{aligned}\operatorname {sgn} :{}&\mathbb {R} \to \{-1,0,1\}\\&x\mapsto \operatorname {sgn}(x)={ \begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\~~\,0&{\text{if }}x=0,\\~~\,1&{\text{if }} x>0.\end{cases}}\end{aligned}}

Sign(x)

x

Sign(x)

x

x

\operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}},

| х |

значение

.

Сложная знаковая функция

В то время как действительное число имеет одномерное направление, комплексное число имеет двумерное направление. Комплексная знаковая функция требует величины своего аргумента $z = x + iy$ , которую можно рассчитать как

|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Аналогично вышеизложенному, комплексная знаковая функция извлекает комплексный знак комплексного числа путем сопоставления набора ненулевых комплексных чисел с набором унимодулярных комплексных чисел и от $0$ до $0$ : ее можно определить следующим образом: $\{z\in \mathbb {C}:|z|=1\}\чашка \{0\}.$

Пусть $z$ также выражается через свою величину и один из аргументов $φ$ как $z = | z |\cdot e iφ,$ то ^[2]

\operatorname {sgn}(z)={\begin{cases}0&{\text{for }}z=0\\{\dfrac {z}{|z|}}=e^{i\varphi }&{\text{иначе}}.\end{случаи}}

Это определение также можно рассматривать как нормализованный вектор, то есть вектор, направление которого неизменно и длина которого фиксирована и равна единице . Если исходное значение было R,θ в полярной форме, то знак(R, θ) равен 1 θ. Расширение Sign() или Signum() на любое количество измерений очевидно, но это уже было определено как нормализация вектора.

Знаки на конвенцию

В ситуациях, когда для атрибута существует ровно две равноправные возможности, они часто условно обозначаются как плюс и минус соответственно. В некоторых контекстах выбор этого присвоения (т. е. какой диапазон значений считается положительным, а какой отрицательным) является естественным, тогда как в других контекстах выбор произволен, что делает необходимым явное соглашение о знаках, единственным требованием является последовательное использование конвенция.

Знак угла

Во многих контекстах принято ассоциировать знак с мерой угла , особенно ориентированного угла или угла поворота . В такой ситуации знак указывает, направлен ли угол по часовой стрелке или против часовой стрелки. Хотя можно использовать разные соглашения, в математике принято считать углы против часовой стрелки положительными, а углы по часовой стрелке - отрицательными. ^[3]

Также можно связать знак с углом поворота в трех измерениях, предполагая, что ось вращения ориентирована. В частности, вращение вправо вокруг ориентированной оси обычно считается положительным, а вращение влево считается отрицательным.

Угол, являющийся отрицательным по отношению к данному углу, имеет равную дугу, но противоположную ось . ^[4]

Знак перемен

Когда величина x изменяется с течением времени, изменение значения x обычно определяется уравнением

\Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.

Согласно этому соглашению, увеличение x считается положительным изменением, а уменьшение x – отрицательным. В исчислении то же самое соглашение используется при определении производной . В результате любая возрастающая функция имеет положительную производную, а любая убывающая функция имеет отрицательную производную.

Знак направления

При изучении одномерных смещений и движений в аналитической геометрии и физике принято обозначать два возможных направления как положительные и отрицательные. Поскольку числовая линия обычно рисуется с положительными числами справа и отрицательными числами слева, общепринятым соглашением является то, что движениям вправо присваивается положительный знак, а движениям влево — отрицательный знак.

На декартовой плоскости направления вправо и вверх обычно считаются положительными: вправо — положительное направление по оси X , а вверх — положительное направление по оси Y. Если вектор перемещения разделить на составляющие вектора , то горизонтальная часть будет положительной для движения вправо и отрицательной для движения влево, а вертикальная часть будет положительной для движения вверх и отрицательной для движения вниз.

Аналогично, отрицательная скорость (скорость изменения смещения) подразумевает скорость в противоположном направлении , т. е. отступление, а не продвижение; особым случаем является радиальная скорость .

В трехмерном пространстве понятия, связанные со знаком, можно найти в двух нормальных ориентациях и ориентируемости в целом.

Знаковость в вычислениях

При вычислениях целочисленное значение может быть как знаковым, так и беззнаковым, в зависимости от того, отслеживает ли компьютер знак числа. Ограничив целочисленную переменную только неотрицательными значениями, можно использовать еще один бит для хранения значения числа. Из-за способа выполнения целочисленной арифметики в компьютерах представления чисел со знаком обычно не хранят знак как один независимый бит, вместо этого используют, например, дополнение до двух .

Напротив, действительные числа хранятся и обрабатываются как значения с плавающей запятой . Значения с плавающей запятой представлены с использованием трех отдельных значений: мантиссы, показателя степени и знака. Учитывая этот отдельный знаковый бит, можно представлять как положительный, так и отрицательный ноль. Большинство языков программирования обычно рассматривают положительный ноль и отрицательный ноль как эквивалентные значения, хотя они предоставляют средства, с помощью которых можно обнаружить различие.

Другие значения

Помимо знака действительного числа, слово «знак» также используется различными способами в математике и других науках:

Слова до знака означают, что для величины $q$ известно, что либо $q = Q$ , либо $q = - Q$ для определенного $Q.$ Его часто выражают как $q = \pm Q.$ Для действительных чисел это означает, что только абсолютное значение $| д |$ количество известно. Для комплексных чисел и векторов величина, известная с точностью до знака, является более сильным условием, чем величина с известной величиной : помимо $Q$ и $- Q$ , существует много других возможных значений $q$ , таких что $| д | = | вопрос |$ .
Знак перестановки считается положительным, если перестановка четная, и отрицательным, если перестановка нечетная.
В теории графов знаковый граф — это граф, в котором каждое ребро отмечено положительным или отрицательным знаком.
В математическом анализе знаковая мера — это обобщение понятия меры , в котором мера множества может иметь положительные или отрицательные значения.
- Понятие знакового расстояния используется для обозначения стороны , внутри или снаружи.
- Идеи подписанной площади и подписанного объема иногда используются, когда определенные площади или объемы удобно считать отрицательными. Это особенно верно в теории детерминантов . В (абстрактном) ориентированном векторном пространстве каждый упорядоченный базис векторного пространства можно классифицировать как положительно или отрицательно ориентированный.
В представлении знаковых цифр каждая цифра числа может иметь положительный или отрицательный знак.
В физике любой электрический заряд имеет знак: положительный или отрицательный. Условно положительный заряд — это заряд того же знака, что и у протона , а отрицательный заряд — это заряд того же знака, что и у электрона .