Роллинг

Качение — это тип движения , сочетающий вращение (обычно осесимметричного объекта) и поступательное движение этого объекта относительно поверхности (движется либо один, либо другой объект) таким образом, что при наличии идеальных условий они соприкасаются друг с другом без скольжения .

Качение без скольжения называется чистым качением . По определению, скольжение отсутствует, когда есть система отсчета , в которой все точки контакта на катящемся объекте имеют ту же скорость, что и их аналоги на поверхности, по которой катится объект; в частности, для системы отсчета, в которой катящаяся плоскость находится в состоянии покоя (см. анимацию), мгновенная скорость всех точек контакта (например, образующего отрезка цилиндра) катящегося объекта равна нулю.

На практике из-за небольших деформаций вблизи области контакта происходит некоторое скольжение и рассеивание энергии. Тем не менее, результирующее сопротивление качению намного ниже, чем трение скольжения , и, таким образом, катящимся объектам обычно требуется гораздо меньше энергии для перемещения, чем скользящим. В результате такие объекты будут легче перемещаться, если они испытывают силу с компонентом вдоль поверхности, например, гравитацию на наклонной поверхности, ветер, толкание, тягу или крутящий момент от двигателя. В отличие от цилиндрических осесимметричных объектов, движение качения конуса таково, что при качении по плоской поверхности его центр тяжести совершает круговое движение , а не линейное . Катящиеся объекты не обязательно являются осесимметричными. Два хорошо известных неаксиально-симметричных ролика — это треугольник Рело и тела Мейсснера . Олоид и сферикон являются членами особого семейства развертывающихся роликов , которые развертывают всю свою поверхность при качении по плоской плоскости. Объекты с углами, такие как игральные кости , катятся путем последовательных вращений вокруг края или угла, который соприкасается с поверхностью. Конструкция определенной поверхности позволяет даже идеальному квадратному колесу катиться с его центроидом на постоянной высоте над опорной плоскостью.

Приложения

Большинство наземных транспортных средств используют колеса и, следовательно, качение для перемещения. Скольжение должно быть сведено к минимуму (приблизительно чистое качение), в противном случае возможна потеря управления и авария. Это может произойти, когда дорога покрыта снегом, песком или маслом, при повороте на высокой скорости или при попытке резко затормозить или ускориться.

Одним из наиболее практичных применений катящихся объектов является использование подшипников качения , таких как шарикоподшипники , во вращающихся устройствах. Изготовленные из металла, катящиеся элементы обычно заключены между двумя кольцами, которые могут вращаться независимо друг от друга. В большинстве механизмов внутреннее кольцо прикреплено к неподвижному валу (или оси). Таким образом, в то время как внутреннее кольцо неподвижно, внешнее кольцо может свободно перемещаться с очень небольшим трением . Это основа, на которой основаны почти все двигатели (например, те, которые используются в потолочных вентиляторах, автомобилях, дрелях и т. д.) для работы. В качестве альтернативы внешнее кольцо может быть прикреплено к неподвижному опорному кронштейну, позволяя внутреннему кольцу поддерживать ось, обеспечивая свободу вращения оси . Величина трения на деталях механизма зависит от качества шарикоподшипников и количества смазки в механизме.

Катящиеся объекты также часто используются в качестве средств транспортировки . Один из самых простых способов — это размещение (обычно плоского) объекта на ряде выстроенных в линию роликов или колес . Объект на колесах может перемещаться по ним по прямой линии, пока колеса непрерывно заменяются спереди (см. историю подшипников ). Этот метод примитивной транспортировки эффективен, когда нет другой техники. Сегодня наиболее практичным применением объектов на колесах являются автомобили , поезда и другие транспортные средства для людей.

Прокатка используется для приложения нормальных сил к движущейся линии контакта в различных процессах, например, в металлообработке , полиграфии , производстве резины , покраске .

Твёрдые тела

Скорости точек катящегося тела равны скоростям вращения вокруг точки контакта.

Простейшим случаем качения является качение твердого тела без скольжения по плоской поверхности, ось которого параллельна поверхности (или, что то же самое, перпендикулярна нормали к поверхности ).

Траектория любой точки является трохоидой ; в частности, траектория любой точки на оси объекта является линией, в то время как траектория любой точки на окружности объекта является циклоидой .

Скорость любой точки катящегося объекта определяется выражением , где — смещение между частицей и точкой (или линией) контакта катящегося объекта с поверхностью, а ω — вектор угловой скорости . ^[1] Таким образом, несмотря на то, что качение отличается от вращения вокруг фиксированной оси , мгновенная скорость всех частиц катящегося объекта такая же, как если бы он вращался вокруг оси, проходящей через точку контакта с той же угловой скоростью. $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\mathbf {r}$

Любая точка катящегося объекта, расположенная дальше от оси, чем точка контакта, будет временно перемещаться в направлении, противоположном общему движению, если она находится ниже уровня поверхности качения (например, любая точка в части гребня колеса поезда, которая находится ниже рельса).

Энергия

Поскольку кинетическая энергия полностью зависит от массы и скорости объекта, приведенный выше результат можно использовать вместе с теоремой о параллельных осях для получения кинетической энергии, связанной с простым качением.

$K_{\text{качение}}=K_{\text{перемещение}}+K_{\text{вращение}}$

Силы и ускорение

Дифференцируя соотношение между линейной и угловой скоростью , , по времени, получаем формулу, связывающую линейное и угловое ускорение . Применяем второй закон Ньютона : $v_{\text{com}}=r\omega$ $a=r\альфа$

$a={\frac {F_{\text{net}}}{m}}=r\alpha ={\frac {r\tau }{I}}.$

Из этого следует, что для ускорения объекта требуются как чистая сила, так и крутящий момент . Когда внешняя сила без крутящего момента действует на систему катящийся объект–поверхность, в точке контакта между поверхностью и катящимся объектом будет тангенциальная сила, которая обеспечивает требуемый крутящий момент, пока движение является чистым качением; эта сила обычно является статическим трением , например, между дорогой и колесом или между дорожкой для боулинга и шаром для боулинга. Когда статического трения недостаточно, трение становится динамическим трением и происходит скольжение. Тангенциальная сила противоположна по направлению внешней силе и, следовательно, частично ее нейтрализует. Результирующие чистая сила и ускорение равны:

${\begin{aligned}F_{\text{net}}&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}\\[1ex]a&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{I}/{r^{2}}}}\end{aligned}}$

${\tfrac {I}{r^{2}}}$ имеет размерность массы, и это масса, которая будет иметь вращательную инерцию на расстоянии от оси вращения. Следовательно, этот термин можно рассматривать как массу с линейной инерцией, эквивалентную вращательной инерции катящегося объекта (вокруг его центра масс). Действие внешней силы на объект при простом вращении можно концептуализировать как ускорение суммы реальной массы и виртуальной массы, которая представляет вращательную инерцию, которая равна . Поскольку работа, выполняемая внешней силой, делится между преодолением поступательной и вращательной инерции, внешняя сила приводит к меньшей чистой силе на безразмерный мультипликативный коэффициент , где представляет собой отношение вышеупомянутой виртуальной массы к фактической массе объекта и он равен , где - радиус инерции, соответствующий вращательной инерции объекта при чистом вращении (а не вращательной инерции при чистом качении). Квадратная степень обусловлена тем, что вращательная инерция точечной массы изменяется пропорционально квадрату ее расстояния до оси. $I$ $r$ ${\tfrac {I}{r^{2}}}$ $m+{\tfrac {I}{r^{2}}}$ $1/\left(1+{\tfrac {I}{mr^{2}}}\right)$ ${\tfrac {I}{mr^{2}}}$ ${\textstyle \left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}$ $r_{\text{g}}$

Четыре объекта в чистом качении, мчащиеся вниз по плоскости без сопротивления воздуха. Сзади вперед: сферическая оболочка (красная), сплошная сфера (оранжевая), цилиндрическое кольцо (зеленое) и сплошной цилиндр (синий). Время достижения финишной черты полностью зависит от распределения массы объекта, наклона и ускорения свободного падения. Подробности см . в анимированной версии GIF .

В частном случае катящегося по наклонной плоскости объекта, испытывающего только трение покоя, нормальную силу и собственный вес ( сопротивление воздуха отсутствует), ускорение в направлении катящегося вниз по склону равно:

$a={\frac {g\sin(\theta )}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}$

${r_{\text{g}}}/{r}$ специфичен для формы объекта и распределения массы, он не зависит от масштаба или плотности. Однако он будет меняться, если объект катится с разными радиусами; например, он меняется между колесной парой поезда, катящейся нормально (по шине), и по оси. Из этого следует, что при наличии эталонного катящегося объекта другой объект большего размера или с другой плотностью будет катиться с тем же ускорением. Это поведение такое же, как у объекта в свободном падении или объекта, скользящего без трения (вместо качения) по наклонной плоскости.

Деформируемые тела

Когда осесимметричное деформируемое тело контактирует с поверхностью, образуется интерфейс , через который могут передаваться нормальные и сдвигающие силы. Например, шина , контактирующая с дорогой, несет вес (нормальную нагрузку) автомобиля, а также любые сдвигающие силы, возникающие из-за ускорения, торможения или рулевого управления. Деформации и движения в устойчиво катящемся теле можно эффективно охарактеризовать с помощью эйлерова описания вращения жесткого тела и лагранжева описания деформации. ^[2]^[3] Такой подход значительно упрощает анализ, устраняя зависимость от времени, что приводит к полям смещения, скорости, напряжения и деформации, которые изменяются только пространственно. Процедуры анализа для конечно-элементного анализа стационарного качения были впервые разработаны Падованом и в настоящее время представлены в нескольких коммерческих кодах.

Смотрите также

Ссылки

^ Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (13 августа 2013 г.). Основы физики, Глава 9 (10-е изд.). Wiley. ISBN 9781118230718. Получено 13 января 2024 г. .
^ Padovan, J.; Zeid, I. (1980). «Конечно-элементное моделирование контакта качения». Computers & Structures . 12 (1): 77–83. doi :10.1016/0045-7949(80)90095-4 . Получено 28 декабря 2022 г. .
^ Qi, J.; Herron, JR; Sansalone, KH; Mars, WV; Du, ZZ; Snyman, M.; Surendranath, H. (2007). «Проверка анализа стационарного транспорта для катящихся протекторных шин». Tire Science and Technology . 35 (3): 183–208. doi :10.2346/1.2768974 . Получено 28 декабря 2022 г. .