Овал (проективная плоскость)

Точка, подобная окружности, на геометрической плоскости

К определению овала:
e: внешняя (проходящая) линия,
t: касательная,
s: секущая.

В проективной геометрии овал — это множество точек на плоскости, определяемое свойствами инцидентности . Стандартными примерами являются невырожденные коники . Однако коника определена только в паппиевой плоскости , тогда как овал может существовать в любом типе проективной плоскости. В литературе существует множество критериев, которые подразумевают, что овал является коникой, но есть много примеров, как бесконечных, так и конечных, овалов в паппиевых плоскостях, которые не являются кониками.

Как уже упоминалось, в проективной геометрии овал определяется свойствами инцидентности, но в других областях овалы могут определяться так, чтобы удовлетворять другим критериям, например, в дифференциальной геометрии — условиями дифференцируемости в действительной плоскости .

Аналогом овала большей размерности является овоид в проективном пространстве .

Обобщением концепции овала является абстрактный овал , который является структурой, которая не обязательно вложена в проективную плоскость. Действительно, существуют абстрактные овалы, которые не могут лежать ни в какой проективной плоскости.

Определение овала

• В проективной плоскости множество Ω точек называется овалом , если:

1. Любая прямая l пересекает Ω не более чем в двух точках, и
2. Для любой точки P ∈ Ω существует ровно одна касательная прямая t, проходящая через P , т. е. t ∩ Ω = { P }.

Когда | l ∩ Ω | = 0, прямая l является внешней прямой (или проходной ), ^[1] если | l ∩ Ω | = 1, то касательной прямой , а если | l ∩ Ω | = 2, то прямой является секущей прямой .

Для конечных плоскостей (т.е. множество точек конечно) мы имеем более удобную характеристику: ^[2]

• Для конечной проективной плоскости порядка n (т.е. любая прямая содержит n + 1 точек) множество Ω точек является овалом тогда и только тогда, когда | Ω | = n + 1 и никакие три точки не лежат на одной прямой ( коллинеарны ).

Множество точек в аффинной плоскости, удовлетворяющее приведенному выше определению, называется аффинным овалом .

Аффинный овал всегда является проективным овалом в проективном замыкании (добавлении линии на бесконечности) базовой аффинной плоскости.

Овал также можно рассматривать как особое квадратичное множество . ^[3]

Примеры

Конические сечения

проективная коника в неоднородных координатах: парабола плюс точка на бесконечности оси

проективная коника в неоднородных координатах: гипербола плюс точки на бесконечности асимптот

В любой папповской проективной плоскости существуют невырожденные проективные конические сечения, и любое невырожденное проективное коническое сечение является овалом. Это утверждение можно проверить простым вычислением для любой из коник (например, параболы или гиперболы ).

Невырожденные коники — это овалы со специальными свойствами:

• Теорема Паскаля и ее различные вырождения верны.
• Существует много проективностей , которые оставляют конический инвариант.

Овалы, которые не являются кониками

в реальной плоскости

1. Если гладко склеить половину круга и половину эллипса , то получится неконический овал.
2. Если взять неоднородное представление конического овала в виде параболы плюс бесконечно удаленная точка и заменить выражение x ² на x ⁴ , то получится овал, который не является коническим.
3. Если взять неоднородное представление конического овала в виде гиперболы плюс две точки на бесконечности и заменить выражение ⁠1/х⁠ от ⁠1/х ³⁠ , то получится овал, который не является коникой.
4. Неявная кривая x ⁴ + y ⁴ = 1 является неконическим овалом.

в конечной плоскости четного порядка

1. В конечной папповой плоскости четного порядка невырожденная коника имеет ядро ​​(единственную точку, через которую проходит каждая касательная), которое можно поменять местами с любой точкой коники, чтобы получить овал, который не является коникой.
2. Для поля K = GF(2 ^m ) с 2 ^m элементами пусть

${\displaystyle \Omega =\{(x,y)\in K^{2}\;|y=x^{2^{k}}\;\}\;\cup \;\{(\infty )\}}$

Для k ∈ {2,..., m − 1} и взаимно простых k и m множество Ω является овалом, который не является коникой. ^{[4] [5]}

Дополнительные конечные примеры можно найти здесь: ^[6]

Критерии того, чтобы овал был коническим

Чтобы овал был коническим, овал и/или плоскость должны удовлетворять дополнительным условиям. Вот некоторые результаты:

1. Овал в произвольной проективной плоскости, удовлетворяющий условию инцидентности теоремы Паскаля или ее 5-точечному вырождению, является невырожденной коникой. ^[7]
2. Если Ω — овал в папповской проективной плоскости, а группа проективностей, которые оставляют Ω инвариантной, является 3-транзитивной, т. е. для 2 троек A ₁ , A ₂ , A ₃  ; B ₁ , B ₂ , B ₃ точек существует проективность π с π( A _i ) = B _i , i = 1,2,3 . В конечном случае достаточно 2-транзитивности . ^[8]
3. Овал Ω в папповской проективной плоскости характеристики ≠ 2 является коникой тогда и только тогда, когда для любой точки P касательной существует инволютивная перспективность (симметрия) с центром P , которая оставляет Ω инвариантным. ^[9]
4. Если Ω — овал в конечной дезарговой ^[10] (папповой) проективной плоскости нечетного порядка, PG(2, q ) , то Ω — коника по теореме Сегре ^[11 ] . Это означает, что после возможной замены координат каждый овал PG(2, q ) с нечетным q имеет параметризацию:

${\displaystyle \{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}.}$

Для топологических овалов справедливы следующие простые критерии:

5. Любой замкнутый овал комплексной проективной плоскости является коникой. ^[12]

Дальнейшие результаты об овалах в конечных плоскостях

Овал в конечной проективной плоскости порядка q — это ( q + 1, 2 ) -дуга , другими словами, множество из q + 1 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Овалы в дезарговой (папповой) проективной плоскости PG(2, q ) для нечетного q — это просто неособые коники. Однако овалы в PG(2, q ) для четного q еще не классифицированы.

В произвольной конечной проективной плоскости нечетного порядка q не существует множеств с числом точек больше q + 1 , никакие три из которых не лежат на одной прямой, как впервые указал Бозе в статье 1947 года о приложениях такого рода математики к статистическому планированию экспериментов. Более того, по теореме Квиста , через любую точку, не лежащую на овале, проходит либо ноль, либо две касательные линии этого овала.

Гиперовал (4 красные точки) в 7-точечной плоскости Фано.

Когда q четное, ситуация совершенно иная.

В этом случае множества из q + 2 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, могут существовать в конечной проективной плоскости порядка q , и они называются гиперовалами ; это максимальные дуги степени 2.

Если овал задан, то через каждую точку проходит единственная касательная, и если q четно, то теорема Квиста ^[13] показывает, что все эти касательные пересекаются в точке P вне овала. Добавление этой точки (называемой ядром овала или иногда узлом ) к овалу дает гиперовал. И наоборот, удаление любой одной точки из гиперовала немедленно дает овал.

Так как все овалы в случае четного порядка содержатся в гиперовалах, описание (известных) гиперовалов неявно дает все (известные) овалы. Овалы, полученные путем удаления точки из гиперовала, проективно эквивалентны тогда и только тогда, когда удаленные точки находятся в одной и той же орбите группы автоморфизмов гиперовала. Существует только три небольших примера (в дезарговых плоскостях), где группа автоморфизмов гиперовала транзитивна на своих точках ^[14], поэтому, в общем случае, существуют различные типы овалов, содержащихся в одном гиперовале.

Дезарговский случай: PG(2,2час)

Это наиболее изученный случай, поэтому об этих гиперовалах известно больше всего.

Каждая неособая коника в проективной плоскости вместе со своим ядром образует гиперовал. Их можно назвать гиперкониками , но более традиционный термин — регулярные гиперовалы . Для каждого из этих множеств существует система координат, такая что множество имеет вид:

${\displaystyle \{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0)\}.}$

Однако можно найти много других типов гиперовалов PG(2,  q ), если q  > 8. Гиперовалы PG(2,  q ) для q даже были классифицированы только для q  < 64 на сегодняшний день.

В PG(2,2 ^h ), h > 0, гиперовал содержит по крайней мере четыре точки, никакие три из которых не коллинеарны. Таким образом, по основной теореме проективной геометрии мы всегда можем предположить, что точки с проективными координатами (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) и (1,1,1) содержатся в любом гиперовале. Остальные точки гиперовала (при h > 1) будут иметь вид (t, f(t),1), где t пробегает значения конечного поля GF(2 ^h ), а f — функция на этом поле, которая представляет собой перестановку и может быть однозначно выражена как многочлен степени не выше 2 ^h - 2, т. е. это многочлен перестановки . Обратите внимание, что f(0) = 0 и f(1) = 1 навязаны предположением о включении указанных точек. Другие ограничения на f навязаны условием отсутствия трех точек на коллинеарности. Функция f , которая таким образом создает гиперовал, называется o-полиномом . В следующей таблице перечислены все известные гиперовалы (по состоянию на 2011 год) PG(2,2 ^h ) с указанием o-полинома и любых ограничений на значение h , необходимых для того, чтобы отображаемая функция была o-полиномом. Обратите внимание, что все показатели степени должны быть взяты по модулю (2 ^h - 1).

Известные гиперовалы в PG(2,2час)

^a) o-полином Субиако задается как: всякий раз , когда , где tr — абсолютная функция следа GF(2 ^h ). Этот o-полином порождает уникальный гиперовал, если и два неэквивалентных гиперовала, если . ${\displaystyle f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \over {t^{4}+d^{2}t^{2}+1}}+t^{1/2},}$ ${\displaystyle tr(1/d)=1{\hbox{ and }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})}$ ${\displaystyle h\not \equiv 2({\bmod {4}})}$ ${\displaystyle h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2}$

^b) Чтобы описать гиперовалы Аделаиды, мы начнем с немного более общей ситуации. Пусть F = GF(q) и K = GF(q ² ) . Пусть будет элементом нормы 1, отличным от 1, т.е. b ^q+1 = 1, . Рассмотрим многочлен, для , ${\displaystyle b\in K}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle t\in F}$

f(t) = ( tr (b)) ⁻¹ tr (b ^m )(t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹ tr ((bt + b ^q ) ^m )(t + tr (b)t ^½ + 1) ^1−m + ^t½ ,

где tr (x) = tr _K/F (x) = x + x ^q . Когда q = 2 ^h , h четное и m = ±(q - 1)/3, указанное выше f(t) является о-полиномом для гиперовала Аделаиды.

^c) O-полином Пенттила-О'Кифа определяется по формуле:

f(t) = t4 ⁺ t16 ⁺ t28 ⁺ η11 ⁽ t6 ⁺ t10 ⁺ t14 ⁺ t18 ⁺ t22 ⁺ t26 ⁾ + ^η20 (t8 ⁺ t20 ⁾ + ^η6 ( ^t12 + t24 ⁾ ,

где η — примитивный корень GF(32), удовлетворяющий η ⁵ = η ² + 1.

Гиперовалы в PG(2, q), q четное, q ≤ 64

Поскольку все гиперовалы в дезарговых плоскостях порядков 2, 4 и 8 являются гиперконусами, мы рассмотрим только плоскости порядков 16, 32 и 64.

ПГ(2,16)

В (Lunelli & Sce 1958) приводятся подробности компьютерного поиска полных дуг в плоскостях малого порядка, выполненного по предложению Б. Сегре. В PG(2,16) они нашли ряд гиперовалов, которые не были гиперкониками. В 1975 году М. Холл-младший показал ^[15] , также с большой помощью компьютера, что в этой плоскости существует только два класса проективно неэквивалентных гиперовалов: гиперкониках и гиперовалах, найденных Лунелли и Сце. Из 2040 o-полиномов, которые дают гиперовал Лунелли-Сце , мы показываем только один:

f(x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ² ,

где η — примитивный элемент GF(16), удовлетворяющий η ⁴ = η + 1.

В своей статье 1975 года Холл описал ряд коллинеаций плоскости, которые стабилизировали гиперовал Лунелли-Сце, но не показал, что они порождали полную группу автоморфизмов этого гиперовала. Пейн и Конклин (1978), используя свойства связанного обобщенного четырехугольника , показали, что группа автоморфизмов не может быть больше группы, заданной Холлом. Корчмарош (1978) независимо дал конструктивное доказательство этого результата, а также показал, что в дезарговых плоскостях гиперовал Лунелли-Сце является единственным нерегулярным гиперовалом (негиперконическим), допускающим транзитивную группу автоморфизмов (и что единственные гиперконики, допускающие такую ​​группу, — это гиперконики порядков 2 и 4).

О'Киф и Пенттила (1991) переопровергли классификационный результат Холла без использования компьютера. Их аргумент состоит в нахождении верхней границы числа o-полиномов, определенных над GF(16) , а затем, путем изучения возможных групп автоморфизмов гиперовалов в этой плоскости, показывая, что если бы в этой плоскости существовал гиперовал, отличный от известных, то верхняя граница была бы превышена. Браун и Черовицо (2000) предлагают групповую конструкцию гиперовала Лунелли-Сце как объединения орбит группы, порожденной элациями PGU(3,4), рассматриваемой как подгруппа PGL(3,16). Также в эту статью включено обсуждение некоторых замечательных свойств, касающихся пересечений гиперовалов Лунелли-Сце и гиперконик. В Cherowitzo et al. (1996) показано, что гиперовал Лунелли-Сце является первым нетривиальным членом семейства Субиако ^[16]. В работе Черовицо, О'Кифа и Пенттила (2003) показано, что он является первым нетривиальным членом семейства Аделаиды.

ПГ(2,32)

Поскольку h = 5 нечетно, ряд известных семейств имеют здесь представителя, но из-за малого размера плоскости есть некоторые ложные эквивалентности, на самом деле, каждый из гиперовалов типа Глинна проективно эквивалентен трансляционному гиперовалу, а гиперовал Пейна проективно эквивалентен гиперовалу Субиако (это не происходит в больших плоскостях). В частности, существует три класса гиперовалов (мономиального типа): гиперконики (f(t) = t ² ), собственные трансляционные гиперовалы (f(t) = t ⁴ ) и гиперовалы Сегре (f(t) = t ⁶ ). ^[17] Существуют также классы, соответствующие гиперовалам Пейна и гиперовалам Черовицо. ^[18] В работе О'Кифа, Пенттила и Прегера (1991) были определены группы коллинеаций, стабилизирующие каждый из этих гиперовалов. Обратите внимание, что в первоначальном определении группы коллинеации для гиперовалов Пейна случай q = 32 пришлось рассматривать отдельно и в значительной степени полагаться на компьютерные результаты. В O'Keefe, Penttila & Praeger (1991) приводится альтернативная версия доказательства, которая не зависит от компьютерных вычислений.

В 1991 году О'Киф и Пенттила открыли новый гиперовал на этой плоскости с помощью детального исследования свойств делимости порядков групп автоморфизмов гипотетических гиперовалов. ^[19] Один из его o-полиномов задается формулой:

f(x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶ ) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰ ) + η ⁶ (x ¹² + x ²⁴ ),

где η — примитивный корень GF(32), удовлетворяющий η ⁵ = η ² + 1. Полная группа автоморфизмов этого гиперовала имеет порядок 3.

Пенттила и Ройл (1994) искусно структурировали исчерпывающий компьютерный поиск всех гиперовалов в этой плоскости. Результатом стало то, что приведенный выше список является полным, в PG(2,32) всего шесть классов гиперовалов.

ПГ(2,64)

Распространив идеи O'Keefe & Penttila (1992) на PG(2,64), Penttila & Pinneri (1994) смогли найти гиперовалы, группа автоморфизмов которых допускала коллинеацию порядка 5. Они нашли два и показали, что в этой плоскости не существует другого гиперовала, имеющего такой автоморфизм. Это утвердительно решило давно открытый вопрос Б. Сегре, который хотел узнать, существуют ли в этой плоскости какие-либо гиперовалы, кроме гиперконик. Гиперовалы следующие:

f(x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁶ + x ³⁰ + x ³⁸ + x ⁴⁴ + x ⁴⁸ + x ⁵⁴ + x ⁵⁶ + x ⁵⁸ + x ⁶⁰ + x ⁶² ) + η ⁴² (x ² + x ⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴⁰ ),

которая имеет группу автоморфизмов порядка 15, и

f(x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁶ + x ³⁴ + x ³⁸ + x ⁴⁰ + x ⁴⁴ + x ⁴⁶ + x ⁵² + x ⁵⁴ + x ⁵⁸ + x ⁶⁰ ) + η ⁴² (x ⁶ + x ¹² + x ¹⁸ + x ²⁰ + x ²⁶ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁵⁰ ),

которая имеет группу автоморфизмов порядка 60, где η — примитивный элемент GF(64), удовлетворяющий η ⁶ = η + 1. В Cherowitzo et al. (1996) показано, что это гиперовалы Субиако. Усовершенствовав программу компьютерного поиска, Penttila & Royle (1994) расширили поиск до гиперовалов, допускающих автоморфизм порядка 3, и нашли гиперовал:

f(x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁶ + x ¹⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³⁰ + x ³² + x ⁴⁰ + x ⁵⁸ ) + η ⁴² (x ¹⁰ + x ¹⁸ + x ²⁴ + x ³⁶ + x ⁴⁴ + x ⁵⁰ + x ⁵² + x ⁶⁰ ),

который имеет группу автоморфизмов порядка 12 (η — примитивный элемент GF(64), как указано выше). Этот гиперовал — первый отдельный гиперовал Аделаиды.

Пенттила и Ройл ^[20] показали, что любой другой гиперовал в этой плоскости должен был бы иметь тривиальную группу автоморфизмов. Это означало бы, что было бы много проективно эквивалентных копий такого гиперовала, но общие поиски на сегодняшний день не нашли ни одной, что подтверждает гипотезу о том, что других в этой плоскости нет.

Абстрактные овалы

Следуя (Bue1966), абстрактный овал , также называемый B-овалом , порядка — это пара , где — набор элементов, называемых точками, а — набор инволюций, действующих на точно квази-2-транзитивным образом, то есть для любых двух с для , существует ровно один с и . Любой овал, вложенный в проективную плоскость порядка, может быть наделен структурой абстрактного овала того же порядка. Обратное, вообще говоря, неверно для ; действительно, для существуют два абстрактных овала, которые не могут быть вложены в проективную плоскость, см. (Fa1984). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (F,{\mathfrak {G}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\in F}$ ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ ${\displaystyle i,j\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (a_{1})=a_{2}}$ ${\displaystyle \sigma (b_{1})=b_{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n\geq 8}$ ${\displaystyle n=8}$

Когда четно, аналогичная конструкция дает абстрактные гиперовалы , см. (Po1997): абстрактный гиперовал порядка — это пара , где — набор элементов, а — набор свободных от неподвижных точек инволюций, действующих на , так что для любого набора из четырех различных элементов существует ровно один с . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (F,{\mathfrak {G}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b,c,d\in F}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)=b,\sigma (c)=d}$

Смотрите также

• Овоид (проективная геометрия)

Примечания

1. В английской литературе этот термин обычно передают по-французски, а не переводят как проходную строку.
2. Дембовски 1968, стр. 147.
3. Бойтельспехер и Розенбаум 1998, стр. 144.
4. Б. Сегре : Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due , Re. Математика. Приложение Pures. 2 (1957) стр. 289–300.
5. Дембовски 1968, стр. 51.
6. Э. Хартманн: Плоская круговая геометрия, введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Darmstadt (PDF; 891 кБ), стр. 45.
7. Ф. Бюкенхаут: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens , Arch. д. Математика. Том. XVII, 1966, стр. 89-93.
8. Дж. Титс : Ovoides à Translations , Rend. Мат. 21 (1962), стр. 37–59.
9. Х. Мёрер: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene , Abh. Математика. Сем. Гамбург 45 (1976), стр. 237–244.
10. Каждая паппова плоскость является дезарговой, а в конечном случае обратное также верно. Таким образом, для конечных плоскостей оба дескриптора верны, но в литературе для конечных плоскостей преобладает термин «дезаргов».
11. Сегре 1955.
12. Чел. Бьюкенен: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene , Math.-phys. Smesterberichte 26 (1979, стр. 244-260.
13. Квист 1952.
14. Корчмарош 1978.
15. Холл 1975.
16. См. также Brown & Cherowitzo 2000.
17. В плоскостях меньшего порядка эти гиперовалы не отличаются от гиперконик. Доказательство их существования, данное в работе Сегре и Барточчи (1971), использует линеаризованные полиномы .
18. Более подробную информацию см. в Cherowitzo 1988.
19. О'Киф и Пенттила 1992.
20. Пенттила и Ройл 1995.

Ссылки

• Бойтельспахер, Альбрехт ; Розенбаум, Уте (1998), Проективная геометрия / от основ к приложениям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
• Бюкенхаут, Ф. (1966), «Внутренние этюды овалов», Rend. Мат. E Прил. , 25 (5): 333–393, МР  0218956
• Браун, Джулия МН; Черовицо, Уильям Э. (2000), «Гиперовал Лунелли-Сце в PG(2,16)», J. Geom. , 69 (1–2): 15–36, doi :10.1007/BF01237471, MR  1800454
• Cherowitzo, William (1988), «Гиперовалы в дезарговых плоскостях четного порядка», Ann. Discrete Math. , Annals of Discrete Mathematics, 37 : 87–94, doi :10.1016/s0167-5060(08)70228-0, ISBN 978-0-444-70369-9, МР  0931308
• Cherowitzo, W. (1996), «Гиперовалы в дезарговых плоскостях: обновление», Discrete Math. , 155 (1–3): 31–38, doi : 10.1016/0012-365X(94)00367-R , MR  1401356
• Cherowitzo, W. (1998), "α-стаи и гиперовалы", Geom. Dedicata , 72 (3): 221–246, doi :10.1023/A:1005022808718, MR  1647703
• Cherowitzo, William E.; O'Keefe, Christine M .; Penttila, Tim (2003), "Унифицированная конструкция конечных геометрий, связанных с q -кланами в характеристике 2", Adv. Geom. , 3 (1): 1–21, doi :10.1515/advg.2003.002, MR  1956585
• Cherowitzo, W.; Penttila, T.; Pinneri, I.; Royle, GF (1996), "Стаи и овалы", Geom. Dedicata , 60 (1): 17–37, doi :10.1007/BF00150865, MR  1376478
• Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР  0233275
• Фаина, Г. (1984), "B-овалы порядка q ≤8", J. Combin. Theory Ser. A , 36 (3): 307–314, doi : 10.1016/0097-3165(84)90038-4 , MR  0744079
• Глинн, Дэвид Г. (1983), «Две новые последовательности овалов в конечных дезарговых плоскостях четного порядка», (Комбинаторная математика, X) Lecture Notes in Math. , т. 1036, Берлин: Springer, стр. 217–229, doi :10.1007/BFb0071521, MR  0731584
• Холл, Маршалл-младший (1975), «Овалы в дезарговой плоскости порядка 16 », Ann. Mat. Pura Appl. (4) , 102 : 159–176, doi :10.1007/bf02410604, MR  0358552
• Хиршфельд, JWP (1998), Проективные геометрии над конечными полями (2-е изд.), Нью-Йорк: The Clarendon Press Oxford University Press, стр. xiv+555, ISBN 0-19-850295-8, МР  1612570
• Корчмарош, Г. (1978), "Группы коллинеаций, транзитивные на точках овала [ q+2 -дуги] S _2,q для четного q ", Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena (на итальянском и английском языках), 27 (1): 89–105 (1979), MR  0551092
• Корчмарош, Г. (1991), «Старые и новые результаты об овалах в конечных проективных плоскостях», (Обзоры по комбинаторике, 1991) London Math. Soc. Lecture Note Ser. , т. 166, Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 41–72, MR  1161460
• Лунелли, Л.; Сце, М. (1958),k -archi completi nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 и 16(на итальянском языке), Милан: Centro di Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, стр. 15, МР  0157276
• О'Киф, Кристин М.; Пенттила, Тим (1992), «Новый гиперовал в PG(2,32)», J. Geom. , 44 (1–2): 117–139, doi :10.1007/BF01228288, MR  1169414
• О'Киф, Кристин М.; Пенттила, Тим (1991), «Гиперовалы в PG(2,16)», Европейский журнал комбинаторики , 12 (1): 51–59, doi : 10.1016/s0195-6698(13)80007-8 , MR  1087648
• О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим; Прегер, Шерил Э. (1991), «Стабилизаторы гиперовалов в PG(2,32)», Достижения в области конечных геометрий и конструкций, Chelwood Gate, 1990 , Нью-Йорк: Oxford Univ. Press, стр. 337–351, MR  1138755
• Пейн, Стэнли Э. (1985), «Новое бесконечное семейство обобщенных четырехугольников», Congressus Numerantium , 49 : 115–128, MR  0830735
• Пейн, Стэнли Э.; Конклин, Джеймс Э. (1978), «Необычный обобщенный четырехугольник шестнадцатого порядка», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 24 (1): 50–74, doi : 10.1016/0097-3165(78)90044-4 , MR  0462984
• Пенттила, Тим; Пиннери, Ивано (1994), «Неправильные гиперовалы в PG(2,64)», J. Geom. , 51 (1–2): 89–100, doi :10.1007/BF01226860, MR  1298348
• Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1994), «Классификация гиперовалов в PG(2,32)», J. Geom. , 50 (1–2): 151–158, doi :10.1007/BF01222672, MR  1280636
• Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1995), «О гиперовалах в малых проективных плоскостях», J. Geom. , 54 (1–2): 91–104, doi :10.1007/BF01222857, MR  1358279
• Польстер, Б. (1997), «Абстрактные гиперовалы и конструкции Адамара», Australas. J. Combin. , 16 : 29–33, MR  1477516
• Квист, Б. (1952), "Некоторые замечания относительно кривых второй степени на конечной плоскости", Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A I. Math.-Phys. , 1952 (134): 27, MR  0054977
• Сегре, Беньямино (1955), «Овалы в конечной проективной плоскости», Canadian Journal of Mathematics , 7 : 414–416, doi : 10.4153/CJM-1955-045-x , ISSN  0008-414X, MR  0071034
• Сегре, Бениамино (1962), «Овал и кривая σ nei piani di Galois di caratteristica Due.», Atti Accad. Наз. Линсей Ренд. кл. наук. Фис. Мат. Нат. (8) (на итальянском языке), 32 : 785–790, MR  0149361.
• Сегре, Б.; Барточчи, У. (1971), «Ovali ed altre Curve nei piani di Galois di Caratteristica Due», Acta Arithmetica (на итальянском языке), 18 : 423–449, doi : 10.4064/aa-18-1-423-449 , MR  0295201

Внешние ссылки

• Hyperoval Page Билла Черовицо