Овал

Форма

Овал (от лат . ovum  «яйцо») — это замкнутая кривая в плоскости , напоминающая очертания яйца . Термин не очень конкретен, но в некоторых областях ( проективная геометрия , техническое черчение и т. д.) ему дается более точное определение, которое может включать как одну, так и две оси симметрии эллипса . В обычном английском языке этот термин используется в более широком смысле: любая форма, напоминающая яйцо. Трехмерная версия овала называется овоидом .

Овал в геометрии

Этот овал, имеющий только одну ось симметрии, напоминает куриное яйцо.

Термин «овал» , используемый для описания кривых в геометрии , не имеет четкого определения, за исключением контекста проективной геометрии . Многие отчетливые кривые обычно называют овалами или имеют «овальную форму». Обычно, чтобы называться овалом, плоская кривая должна напоминать очертание яйца или эллипса . В частности, это общие черты овалов:

• они дифференцируемые (гладкие), ^[1] простые (не самопересекающиеся), выпуклые , замкнутые , плоские кривые ;
• их форма не сильно отличается от формы эллипса , и
• овал обычно имеет ось симметрии , но это не обязательно.

Вот примеры овалов, описанных в другом месте:

• Кассини овалы
• части некоторых эллиптических кривых
• яйцо Мосса
• суперэллипс
• Декартовский овал
• стадион

Овоид — это поверхность в трехмерном пространстве, образованная вращением овальной кривой вокруг одной из ее осей симметрии . Прилагательные овоидный и яйцевидный означают наличие яйцевидной формы и часто используются как синонимы слова «яйцевидный».

Проективная геометрия

К определению овала в проективной плоскости

К определению овала

• На проективной плоскости множество точек Ω называется овалом , если:

1. Любая прямая l пересекает Ω не более чем в двух точках, и
2. Для любой точки P ∈ Ω существует ровно одна касательная t, проходящая через P , т. е. t ∩ Ω = { P }.

Для конечных плоскостей (т.е. множество точек конечно) существует более удобная характеризация: ^[2]

• Для конечной проективной плоскости порядка n (т.е. любая прямая содержит n + 1 точку) множество точек Ω является овалом тогда и только тогда, когда | Ом | = n + 1 и никакие три точки не лежат на одной прямой.

Овоид в проективном пространстве — это множество точек Ω такое, что :

1. Любая прямая пересекает Ω не более чем в 2 точках,
2. Касательные в точке покрывают гиперплоскость (и не более того), а
3. Ω не содержит линий.

В конечном случае только для размерности 3 существуют овоиды. Удобная характеристика:

• В 3-х разм. конечное проективное пространство порядка n > 2, любое множество точек Ω является овоидом тогда и только тогда, когда | Ом | и никакие три точки не лежат на одной прямой. ^[3] ${\displaystyle =n^{2}+1}$

Форма яйца

Форма яйца аппроксимируется «длинной» половиной вытянутого сфероида , соединенной с «короткой» половиной примерно сферического эллипсоида или даже слегка сплюснутого сфероида . Они соединены на экваторе и имеют общую главную ось вращательной симметрии , как показано выше. Хотя термин «яйцеобразная» обычно подразумевает отсутствие симметрии отражения в экваториальной плоскости, он также может относиться к истинным вытянутым эллипсоидам. Его также можно использовать для описания двухмерной фигуры, которая, если вращаться вокруг своей главной оси , создает трехмерную поверхность.

Технический рисунок

Овал с двумя осями симметрии, построенный из четырех дуг (вверху), и сравнение синего овала и красного эллипса с одинаковыми размерами короткой и длинной осей (внизу).

В техническом рисунке овал — это фигура, состоящая из двух пар дуг с двумя разными радиусами (см. изображение справа). Дуги соединяются в точке, в которой линии , касательные к обеим соединяемым дугам, лежат на одной линии, что делает соединение гладким. Любая точка овала принадлежит дуге постоянного радиуса (короче или длиннее), а вот у эллипса радиус постоянно меняется.

В просторечии

В просторечии «овал» означает форму, похожую на яйцо или эллипс, которая может быть двухмерной или трехмерной. Это также часто относится к фигуре, напоминающей два полукруга, соединенных прямоугольником, например, поле для крикета , каток или легкоатлетическую дорожку . Однако правильнее всего это назвать стадионом .

Каток часто называют овалом .

Филиппинская дошкольная комната со словом «продолговатый» , обозначающим овал.

Термин «эллипс» часто используется как синоним овала, хотя это и не точный синоним. ^[4] Термин «продолговатый» часто используется неправильно для описания удлиненного овала или формы «стадиона». ^[5] Однако в геометрии продолговатый прямоугольник — это прямоугольник с неравными смежными сторонами (т. е. не квадрат). ^[6]

Смотрите также

• Эллипс
• Эллипсоидный купол
• Стадион (геометрия)
• Vesica piscis – заостренный овал.
• Символика куполов

Примечания

1. Если свойство имеет смысл: на дифференцируемом многообразии. В более общих настройках может потребоваться только уникальная касательная линия в каждой точке кривой.
2. Дембовский 1968, с. 147
3. Дембовский 1968, с. 48
4. «Определение эллипса в американском английском согласно Оксфордским словарям». Новый Оксфордский американский словарь . Издательство Оксфордского университета. Архивировано из оригинала 27 сентября 2016 года . Проверено 9 июля 2018 г.
5. «Определение продолговатого слова в американском английском согласно Оксфордским словарям». Новый Оксфордский американский словарь . Издательство Оксфордского университета. Архивировано из оригинала 24 сентября 2016 года . Проверено 9 июля 2018 г.
6. «Определение четырехугольников, Университет Кларка, факультет математики и информатики». Университет Кларка, Определения четырехугольников . Проверено 21 октября 2020 г.

• Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР  0233275