Синглтон (математика)

Набор ровно из одного элемента

В математике синглтон , также известный как единичный набор ^[1] или одноточечный набор , представляет собой набор , состоящий ровно из одного элемента . Например, набор представляет собой синглтон, единственным элементом которого является . ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0}$

Характеристики

В рамках теории множеств Цермело–Френкеля аксиома регулярности гарантирует, что ни одно множество не является элементом самого себя. Это означает, что синглтон обязательно отличается от элемента, который он содержит, ^[1] таким образом, 1 и {1} — это не одно и то же, а пустой набор отличается от набора, содержащего только пустой набор. Такой набор, как синглтон, содержит один элемент (который, однако, сам по себе является набором, а не синглтоном). ${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$

Множество является одноэлементным тогда и только тогда, когда его мощность равна 1 . В теоретико-множественной конструкции натуральных чисел фон Неймана число 1 определяется как одноэлементное число. ${\displaystyle \{0\}.}$

В аксиоматической теории множеств существование одиночных элементов является следствием аксиомы спаривания : для любого множества A аксиома, применяемая к A и A , утверждает существование того же элемента, что и одиночный элемент (поскольку он содержит A и никакие другие набор как элемент). ${\displaystyle \{A,A\},}$ ${\displaystyle \{A\}}$

Если A — любое множество, а S — любой одноэлементный элемент, то существует ровно одна функция от A до S , функция, отправляющая каждый элемент A в единственный элемент S. Таким образом, каждый синглтон является конечным объектом в категории множеств .

Синглтон обладает тем свойством, что каждая функция из него в любом произвольном множестве инъективна. Единственным неодноэлементным набором с этим свойством является пустой набор .

Каждый одноэлементный набор представляет собой ультрапрефильтр . Если — множество, то верхняя граница, в которой находится это множество, является главным ультрафильтром на ^[2] . Более того, каждый главный ультрафильтр на обязательно имеет этот вид. ^[2] Из леммы об ультрафильтре следует , что неглавные ультрафильтры существуют на каждом бесконечном множестве (они называются свободными ультрафильтрами ). Каждая сеть , оцененная в одноэлементном подмножестве, является ультрасетью в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Целочисленная последовательность чисел Белла подсчитывает количество разделов набора ( OEIS : A000110 ), если исключаются одиночные элементы, то числа становятся меньше ( OEIS : A000296 ).

В теории категорий

Структуры, построенные на синглтонах, часто служат терминальными объектами или нулевыми объектами различных категорий :

• Приведенное выше утверждение показывает, что одноэлементные множества являются в точности конечными объектами в категории Set of Sets . Никакие другие множества не являются терминальными.
• Любой синглтон допускает уникальную структуру топологического пространства (оба подмножества открыты). Эти одноэлементные топологические пространства являются терминальными объектами в категории топологических пространств и непрерывных функций . Никакие другие пространства не являются терминальными в этой категории.
• Любой синглтон допускает уникальную групповую структуру (уникальный элемент служит идентификационным элементом ). Эти одноэлементные группы являются нулевыми объектами в категории групп и гомоморфизмов групп . Никакие другие группы не являются терминальными в этой категории.

Определение по индикаторным функциям

Пусть S — класс , определяемый индикаторной функцией

$${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$

Sтогда ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

Определение в Principia Mathematica

Следующее определение было введено Уайтхедом и Расселом ^[3]

${\displaystyle \iota }$' Дф. ${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$

Символ ' обозначает синглтон и обозначает класс объектов, идентичных aka . Это встречается как определение во введении, которое местами упрощает аргументацию в основном тексте, где оно встречается как предложение 51.01 (стр. 357 там же). Это предложение впоследствии используется для определения кардинального числа 1 как ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{y:y=x\}}$

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$' Дф. ${\displaystyle x)}$

То есть 1 — это класс синглтонов. Это определение 52.01 (стр.363 там же).

Смотрите также

• Класс (теория множеств)  - совокупность математических множеств, которые можно определить на основе свойств их членов.
• Изолированная точка  - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
• Количественная оценка уникальности  - логическое свойство быть единственным объектом, удовлетворяющим условию.
• Uelement  - Понятие в теории множеств

Рекомендации

1. Столл, Роберт (1961). Множества, логика и аксиоматические теории . WH Фриман и компания. стр. 5–6.
2. Dolecki & Mynard 2016, стр. 27–54.
3. Уайтхед, Альфред Норт; Бертран Рассел (1910). Принципы математики . Том. И. п. 37.

• Долецкий, Шимон; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. ОКЛК  945169917.