Соседство (математика)

Открытое множество, содержащее заданную точку

Множество на плоскости является окрестностью точки , если в нем содержится небольшой круг вокруг. Малый круг вокруг является открытым множеством. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U.}$

В топологии и смежных областях математики окрестность (или соседство ) является одним из основных понятий в топологическом пространстве . Она тесно связана с понятиями открытого множества и внутреннего . Интуитивно говоря, окрестность точки — это множество точек, содержащих эту точку , в котором можно переместиться на некоторое количество в любом направлении от этой точки, не покидая множества.

Определения

Окрестность точки

Если — топологическое пространство и — точка в , то окрестность ^[1] — это подмножество , включающее открытое множество, содержащее , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p\in U\subseteq V\subseteq X.}$$

Это эквивалентно точке, принадлежащей топологической внутренности в ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$

Окрестность не обязательно должна быть открытым подмножеством Когда она открыта (соответственно, замкнута, компактна и т. д.), она называется ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$открытое соседство ^[2](соотв. закрытое соседство, компактное соседство и т. д.). Некоторые авторы^[3]требуют, чтобы соседства были открытыми, поэтому важно учитывать их соглашения.

Замкнутый прямоугольник не имеет соседства ни в одном из своих углов или на своей границе, поскольку не существует открытого множества, содержащего какой-либо угол.

Множество, являющееся окрестностью каждой из своих точек, является открытым, поскольку его можно выразить как объединение открытых множеств, содержащих каждую из своих точек. Замкнутый прямоугольник, как показано на рисунке, не является окрестностью всех своих точек; точки на краях или углах прямоугольника не содержатся ни в каком открытом множестве, содержащемся внутри прямоугольника.

Совокупность всех окрестностей точки называется системой окрестностей в этой точке.

Окрестность множества

Если является подмножеством топологического пространства , то окрестность является множеством , которое включает открытое множество, содержащее , Отсюда следует, что множество является окрестностью тогда и только тогда, когда оно является окрестностью всех точек из Кроме того, является окрестностью тогда и только тогда, когда является подмножеством внутренней части Окрестность , которая также является открытым подмножеством , называется ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$Открытая окрестность Окрестность точки — это лишь частный случай этого определения. ${\displaystyle S.}$

В метрическом пространстве

Множество на плоскости и однородная окрестность ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S.}$

Эпсилон-окрестность числа на числовой прямой. ${\displaystyle a}$

В метрическом пространстве множество является окрестностью точки , если существует открытый шар с центром и радиусом, такой, что содержится в ${\displaystyle M=(X,d),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$ ${\displaystyle V.}$

${\displaystyle V}$называется равномерной окрестностью множества , если существует положительное число такое, что для всех элементов содержится в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S,}$ $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$ ${\displaystyle V.}$

При том же условии, что -окрестность множества - это множество всех точек из , которые находятся на расстоянии, меньшем, чем от (или, что эквивалентно, это объединение всех открытых шаров радиуса , центр которых находится в точке из ): ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$

Отсюда непосредственно следует, что -окрестность является однородной окрестностью, и что множество является однородной окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит -окрестность для некоторого значения ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r.}$

Примеры

Множество M является окрестностью числа a , поскольку существует ε-окрестность числа a, которая является подмножеством M.

Дано множество действительных чисел с обычной евклидовой метрикой и подмножество , определяемое как , то является окрестностью для множества натуральных чисел , но не является равномерной окрестностью этого множества. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Топология из окрестностей

Приведенное выше определение полезно, если понятие открытого множества уже определено. Существует альтернативный способ определения топологии, сначала определяя систему соседства , а затем открытые множества как множества, содержащие соседство каждой из своих точек.

Система соседства на — это назначение фильтра подмножеств для каждого из таким образом, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$

1. точка является элементом каждого в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(x)}$
2. каждый в содержит некоторые в так что для каждого в есть в ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(y).}$

Можно показать, что оба определения совместимы, то есть топология, полученная из системы соседства, определенной с использованием открытых множеств, является исходной, и наоборот, если исходить из системы соседства.

Однородные кварталы

В однородном пространстве окрестность называется однородной , если существует окружение , содержащее все точки , которые близки к некоторой точке , которая для всех ${\displaystyle S=(X,\Phi ),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P;}$ ${\displaystyle U[x]\subseteq V}$ ${\displaystyle x\in P.}$

Удаленный район

Удалённая окрестность точки (иногда называемая проколотой окрестностью ) — это окрестность без Например, интервал является окрестностью в вещественной прямой , поэтому множество является удалённой окрестностью Удалённая окрестность заданной точки на самом деле не является окрестностью точки. Понятие удалённой окрестности встречается в определении предела функции и в определении предельных точек (помимо прочего). ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \{p\}.}$ ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

Смотрите также

• Изолированная точка  – точка подмножества S, вокруг которой нет других точек S.
• Система соседств  – (для точки x) совокупность всех соседств для точки xСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Регион (математика)  – Связное открытое подмножество топологического пространства.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Трубчатая окрестность  – окрестность подмногообразия, гомеоморфная нормальному расслоению этого подмногообразия.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Примечания

1. Уиллард 2004, Определение 4.1.
2. Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Бакалаврские тексты по математике. Перевод Стерлинга К. Бербериана. Springer. стр. 6. ISBN 0-387-90972-9. Согласно этому определению, открытая окрестность ${\displaystyle x}$ есть не что иное, как открытое подмножество, которое содержит ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x.}$
3. Энгелькинг 1989, стр. 12.
4. Питерс, Чарльз (2022). "Профессор Чарльз Питерс" (PDF) . Математика Хьюстонского университета . Получено 3 апреля 2022 г. .

Ссылки

• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Капланский, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.