В математике оператор переноса кодирует информацию об итеративном отображении и часто используется для изучения поведения динамических систем , статистической механики , квантового хаоса и фракталов . Во всех обычных случаях наибольшее собственное значение равно 1, а соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой системы.
Оператор переноса иногда называют оператором Рюэля , в честь Дэвида Рюэля , или оператором Перрона–Фробениуса , или оператором Рюэля–Перрона–Фробениуса , в связи с применимостью теоремы Перрона–Фробениуса к определению собственных значений оператора.
Изучаемая итеративная функция представляет собой отображение для произвольного множества .
Оператор переноса определяется как оператор, действующий на пространстве функций следующим образом:
где — вспомогательная функция оценки. Когда имеет определитель Якоби , то обычно принимается равным .
Можно показать, что приведенное выше определение оператора переноса является пределом множества точек теоретико-мерного прямого перехода g : по сути, оператор переноса является прямым функтором образа в категории измеримых пространств . Левым сопряженным оператором Перрона–Фробениуса является оператор Купмана или оператор композиции . Общая настройка обеспечивается функциональным исчислением Бореля .
Как правило, оператор переноса обычно можно интерпретировать как оператор (левого) сдвига, действующий на сдвиговом пространстве . Наиболее часто изучаемые сдвиги — это подсдвиги конечного типа . Сопряженный оператор переноса также обычно можно интерпретировать как сдвиг вправо. Особенно хорошо изученные сдвиги вправо включают оператор Якоби и матрицу Хессенберга , оба из которых генерируют системы ортогональных многочленов посредством сдвига вправо.
В то время как итерация функции естественным образом приводит к изучению орбит точек X при итерации (изучение динамики точек ), оператор переноса определяет, как (гладкие) отображения эволюционируют при итерации. Таким образом, операторы переноса обычно появляются в физических задачах, таких как квантовый хаос и статистическая механика , где внимание сосредоточено на эволюции гладких функций во времени. В свою очередь, это имеет медицинские приложения для рационального дизайна лекарств , через область молекулярной динамики .
Часто бывает так, что оператор переноса положителен, имеет дискретные положительные вещественные собственные значения , причем наибольшее собственное значение равно единице. По этой причине оператор переноса иногда называют оператором Фробениуса–Перрона.
Собственные функции оператора переноса обычно являются фракталами. Когда логарифм оператора переноса соответствует квантовому гамильтониану , собственные значения обычно будут очень близко расположены, и, таким образом, даже очень узкий и тщательно отобранный ансамбль квантовых состояний будет охватывать большое количество очень разных фрактальных собственных состояний с ненулевым носителем по всему объему. Это можно использовать для объяснения многих результатов классической статистической механики, включая необратимость времени и увеличение энтропии .
Оператор переноса отображения Бернулли точно решаем и является классическим примером детерминированного хаоса ; дискретные собственные значения соответствуют полиномам Бернулли . Этот оператор также имеет непрерывный спектр, состоящий из дзета-функции Гурвица .
Оператор переноса отображения Гаусса называется оператором Гаусса–Кузмина–Вирсинга (GKW) . Теория GKW восходит к гипотезе Гаусса о непрерывных дробях и тесно связана с дзета-функцией Римана .
