оператор Фредгольма

Часть теории Фредгольма в интегральных уравнениях

В математике операторы Фредгольма — это некоторые операторы , которые возникают в теории интегральных уравнений Фредгольма . Они названы в честь Эрика Ивара Фредгольма . По определению оператор Фредгольма — это ограниченный линейный оператор T  :  X  →  Y между двумя банаховыми пространствами с конечномерным ядром и конечномерным (алгебраическим) коядром , и с замкнутой областью значений . Последнее условие на самом деле излишне. ^[1] ${\displaystyle \ker T}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} T=Y/\operatorname {ran} T}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} T}$

Индекс оператора Фредгольма — это целое число

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {codim} \operatorname {ran} T}$

или другими словами,

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {dim} \operatorname {coker} T.}$

Характеристики

Интуитивно, фредгольмовы операторы — это те операторы, которые обратимы «если конечномерные эффекты игнорируются». Формально правильное утверждение следует далее. Ограниченный оператор T  :  X  →  Y между банаховыми пространствами X и Y является фредгольмовым тогда и только тогда, когда он обратим по модулю компактных операторов , т. е. если существует ограниченный линейный оператор

${\displaystyle S:Y\to X}$

такой что

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{and}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

являются компактными операторами на X и Y соответственно.

Если фредгольмов оператор немного изменен, он остается фредгольмовым, и его индекс остается прежним. Формально: множество фредгольмовых операторов из X в Y открыто в банаховом пространстве L( X ,  Y ) ограниченных линейных операторов, снабженном операторной нормой , а индекс локально постоянен. Точнее, если T ₀ фредгольмов из X в Y , то существует ε  > 0 такое, что каждый T в L( X ,  Y ) с || T − T ₀ || < ε фредгольмов, с тем же индексом, что и у  T ₀ .

Когда T — это Фредгольм от X до Y , а U — Фредгольм от Y до Z , то композиция — это Фредгольм от X до Z и ${\displaystyle U\circ T}$

${\displaystyle \operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T).}$

Когда T фредгольмов, транспонированный (или сопряженный) оператор T  ′ фредгольмов из Y  ′ в X  ′ , и ind( T  ′) = −ind( T ) . Когда X и Y являются гильбертовыми пространствами , тот же вывод справедлив для эрмитова сопряженного  T ^∗ .

Когда T фредгольмов, а K — компактный оператор, то T  +  K фредгольмов. Индекс T остается неизменным при таких компактных возмущениях T. Это следует из того факта, что индекс i ( s ) оператора T + s  K — целое число, определенное для каждого s из [0, 1], а i ( s ) локально постоянен, следовательно, i (1) =  i (0).

Инвариантность относительно возмущения верна для более широких классов, чем класс компактных операторов. Например, когда U фредгольмов, а T — строго сингулярный оператор , то T  +  U фредгольмов с тем же индексом. ^[2] Класс несущественных операторов , который собственно содержит класс строго сингулярных операторов, является «классом возмущения» для фредгольмовых операторов. Это означает, что оператор несуществен тогда и только тогда, когда T+U фредгольмов для каждого фредгольмового оператора . ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle U\in B(X,Y)}$

Примеры

Пусть — гильбертово пространство с ортонормированным базисом, индексированным неотрицательными целыми числами. Оператор (правого) сдвига S на H определяется как ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{e_{n}\}}$

${\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,}$

Этот оператор S инъективен (фактически изометричен) и имеет замкнутую область значений коразмерности 1, поэтому S фредгольмов с . Степени , , фредгольмовы с индексом . Сопряженный оператор S* является левым сдвигом, ${\displaystyle \operatorname {ind} (S)=-1}$ ${\displaystyle S^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle -k}$

${\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,}$

Сдвиг влево S* — это Фредгольм с индексом 1.

Если H — классическое пространство Харди на единичной окружности T в комплексной плоскости, то оператор сдвига относительно ортонормированного базиса комплексных экспонент ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\geq 0,\,}$

— оператор умножения M _φ с функцией . В более общем случае пусть φ — комплексная непрерывная функция на T , которая не обращается в нуль на , и пусть T _φ обозначает оператор Теплица с символом φ , равный умножению на φ с последующей ортогональной проекцией : ${\displaystyle \varphi =e_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle P:L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\mapsto P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrm {T} ).\,}$

Тогда T _φ является оператором Фредгольма на , с индексом, связанным с числом оборотов вокруг 0 ​​замкнутого пути : индекс T _φ , как определено в этой статье, противоположен этому числу оборотов. ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})}$

Приложения

Любой эллиптический оператор может быть расширен до оператора Фредгольма. Использование операторов Фредгольма в частных дифференциальных уравнениях является абстрактной формой метода параметрикса .

Теорема Атьи -Зингера об индексе дает топологическую характеристику индекса некоторых операторов на многообразиях.

Теорема Атьи-Яниха отождествляет K-теорию K ( X ) компактного топологического пространства X с множеством гомотопических классов непрерывных отображений из X в пространство фредгольмовых операторов H → H , где H — сепарабельное гильбертово пространство, а множество этих операторов несет операторную норму.

Обобщения

Полуфредгольмовские операторы

Ограниченный линейный оператор T называется полуфредгольмовым, если его область значений замкнута и хотя бы один из , конечномерен. Для полуфредгольмового оператора индекс определяется как ${\displaystyle \ker T}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} T}$

${\displaystyle \operatorname {ind} T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T,&\dim \ker T+\dim \operatorname {coker} T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \operatorname {coker} T=\infty .\end{cases}}}$

Неограниченные операторы

Можно также определить неограниченные операторы Фредгольма. Пусть X и Y — два банаховых пространства.

1. Замкнутый линейный оператор называется фредгольмовым, если его область определения плотна в , его область определения замкнута, а ядро ​​и коядро оператора T конечномерны. ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle T:\,X\to Y}$называется полуфредгольмовым, если его область определения плотна в , его область значений замкнута и либо ядро, либо коядро T (или оба) конечномерны. ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$ ${\displaystyle X}$

Как было отмечено выше, область значений замкнутого оператора замкнута до тех пор, пока коядро конечномерно (Эдмундс и Эванс, теорема I.3.2).

Примечания

1. Абрамович, Юрий А.; Алипрантис, Хараламбос Д. (2002). Приглашение в теорию операторов . Аспирантура по математике. Том 50. Американское математическое общество. стр. 156. ISBN 978-0-8218-2146-6.
2. Като, Тосио (1958). «Теория возмущений для дефицита нулевого значения и других величин линейных операторов». Journal d'Analyse Mathématique . 6 : 273–322. doi :10.1007/BF02790238. S2CID  120480871.

Ссылки

• DE Edmunds и WD Evans (1987), Спектральная теория и дифференциальные операторы, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2 . 
• А. Г. Рамм, «Простое доказательство альтернативы Фредгольма и характеристика операторов Фредгольма», American Mathematical Monthly , 108 (2001) стр. 855 (Примечание: в этой статье слово «оператор Фредгольма» относится к «оператору Фредгольма индекса 0»).
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фредгольма». MathWorld .
• Б.В. Хведелидзе (2001) [1994], "Теоремы Фредгольма", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Брюс К. Драйвер, «Компактные и фредгольмовы операторы и спектральная теорема», Инструменты анализа и их приложения , Глава 35, стр. 579–600.
• Роберт С. Макоуэн, «Теория Фредгольма уравнений в частных производных на полных римановых многообразиях», Pacific J. Math. 87 , № 1 (1980), 169–185.
• Томаш Мровка, Краткое введение в линейный анализ: операторы Фредгольма, геометрия многообразий, осень 2004 г. (Массачусетский технологический институт: MIT OpenCouseWare)