Линия связки

Векторные пучки ранга 1

В математике линейное расслоение выражает концепцию линии , которая меняется от точки к точке пространства. Например, кривая на плоскости, имеющая касательную линию в каждой точке, определяет изменяющуюся линию: касательное расслоение является способом их организации. Более формально, в алгебраической топологии и дифференциальной топологии линейное расслоение определяется как векторное расслоение ранга 1. ^[1]

Линейные расслоения определяются выбором одномерного векторного пространства для каждой точки пространства непрерывным образом. В топологических приложениях это векторное пространство обычно является действительным или комплексным. Эти два случая демонстрируют принципиально различное поведение из-за различных топологических свойств действительных и комплексных векторных пространств: если начало координат удалить из действительной линии, то результатом будет набор обратимых действительных матриц 1×1, который гомотопически эквивалентен дискретному двухточечному пространству путем сжатия положительных и отрицательных действительных чисел в точку; тогда как удаление начала координат из комплексной плоскости дает обратимые комплексные матрицы 1×1, которые имеют гомотопический тип окружности.

С точки зрения теории гомотопии , вещественное линейное расслоение ведет себя почти так же, как расслоение с двухточечным расслоением, то есть как двойное покрытие . Частным случаем этого является ориентируемое двойное покрытие дифференцируемого многообразия , где соответствующее линейное расслоение является детерминантным расслоением касательного расслоения (см. ниже). Лента Мёбиуса соответствует двойному покрытию окружности (отображение θ → 2θ) и, изменяя волокно, может также рассматриваться как имеющее двухточечное волокно, единичный интервал как волокно или вещественную прямую.

Комплексные линейные расслоения тесно связаны с окружными расслоениями . Есть некоторые знаменитые, например, расслоения Хопфа сфер на сферы.

В алгебраической геометрии обратимый пучок (т. е. локально свободный пучок ранга один) часто называют линейным расслоением .

Каждый линейный пучок возникает из делителя со следующими условиями:

(I) Если — приведенная и неприводимая схема, то каждое линейное расслоение происходит от делителя. ${\displaystyle X}$

(II) Если — проективная схема, то справедливо то же самое утверждение. ${\displaystyle X}$

Тавтологическое расслоение на проективном пространстве

Одним из важнейших линейных расслоений в алгебраической геометрии является тавтологическое линейное расслоение на проективном пространстве . Проективизация векторного пространства над полем определяется как фактор по действию мультипликативной группы . Каждая точка , следовательно, соответствует копии , и эти копии могут быть собраны в -расслоение над . Но отличается от только одной точкой, и, присоединяя эту точку к каждому слою, мы получаем линейное расслоение на . Это линейное расслоение называется тавтологическим линейным расслоением . Это линейное расслоение иногда обозначается , поскольку оно соответствует двойственному к скручивающему пучку Серра . ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle k^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle k^{\times }}$ ${\displaystyle k^{\times }}$ ${\displaystyle k^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle k^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Карты в проективное пространство

Предположим, что — пространство и что — линейное расслоение на . Глобальное сечение — это функция такая, что если — естественная проекция, то . В малой окрестности в , в которой является тривиальным, полное пространство линейного расслоения является произведением и лежащего в основе поля , а сечение ограничивается функцией . Однако значения зависят от выбора тривиализации, и поэтому они определяются только с точностью до умножения на нигде не исчезающую функцию. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s:X\to L}$ ${\displaystyle p:L\to X}$ ${\displaystyle p\circ s=\operatorname {id} _{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle U\to k}$ ${\displaystyle s}$

Глобальные сечения определяют отображения в проективные пространства следующим образом: Выбор не всех нулевых точек в слое выбирает слой тавтологического линейного расслоения на , поэтому выбор неодновременно исчезающих глобальных сечений определяет отображение из в проективное пространство . Это отображение отправляет слои в слои двойственного к тавтологическому расслоению. Более конкретно, предположим, что являются глобальными сечениями . В небольшой окрестности в эти сечения определяют -значные функции на , значения которых зависят от выбора тривиализации. Однако они определены с точностью до одновременного умножения на ненулевую функцию, поэтому их отношения хорошо определены. То есть, над точкой значения не определены хорошо, потому что изменение тривиализации умножит их каждое на ненулевую константу λ. Но оно умножит их на ту же самую константу λ, поэтому однородные координаты хорошо определены, пока сечения одновременно не исчезнут в . Следовательно, если сечения никогда одновременно не исчезают, они определяют форму , которая дает отображение из в , а обратный образ двойственного тавтологического расслоения при этом отображении есть . Таким образом, проективное пространство приобретает универсальное свойство . ${\displaystyle r+1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$ ${\displaystyle r+1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{0}(x),\dots ,s_{r}(x)}$ ${\displaystyle [s_{0}(x):\dots :s_{r}(x)]}$ ${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s_{0}:\dots :s_{r}]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$ ${\displaystyle L}$

Универсальный способ определения отображения в проективное пространство — это отображение в проективизацию векторного пространства всех сечений . В топологическом случае в каждой точке имеется неисчезающее сечение, которое можно построить с помощью функции выпуклости, которая исчезает вне малой окрестности точки. Из-за этого полученное отображение определено везде. Однако область значений обычно слишком велика, чтобы быть полезной. Обратное верно в алгебраических и голоморфных настройках. Здесь пространство глобальных сечений часто конечномерно, но в данной точке может не быть никаких неисчезающих глобальных сечений. (Как в случае, когда эта процедура строит пучок Лефшеца .) Фактически, расслоение может вообще не иметь ненулевых глобальных сечений; это имеет место для тавтологического линейного расслоения. Когда линейное расслоение достаточно обильно, эта конструкция проверяет теорему вложения Кодаиры . ${\displaystyle L}$

Определительные пучки

В общем случае, если — векторное расслоение на пространстве с постоянной размерностью слоя , то -я внешняя степень взятого слоя-за-слоем является линейным расслоением, называемым детерминантным линейным расслоением . Эта конструкция, в частности, применяется к кокасательному расслоению гладкого многообразия . Полученное детерминантное расслоение отвечает за явление тензорных плотностей , в том смысле, что для ориентируемого многообразия оно имеет неисчезающее глобальное сечение, и его тензорные степени с любым действительным показателем могут быть определены и использованы для «скручивания» любого векторного расслоения с помощью тензорного произведения . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

Та же конструкция (взятие верхней внешней степени) применяется к конечно порожденному проективному модулю над нётеровой областью , и полученный обратимый модуль называется детерминантным модулем . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Характеристические классы, универсальные расслоения и классифицирующие пространства

Первый класс Штифеля–Уитни классифицирует гладкие вещественные линейные расслоения; в частности, набор (классов эквивалентности) вещественных линейных расслоений находится в соответствии с элементами первых когомологий с коэффициентами; это соответствие на самом деле является изоморфизмом абелевых групп (групповые операции являются тензорным произведением линейных расслоений и обычным сложением на когомологиях). Аналогично, первый класс Черна классифицирует гладкие комплексные линейные расслоения на пространстве, а группа линейных расслоений изоморфна второму классу когомологий с целыми коэффициентами. Однако расслоения могут иметь эквивалентные гладкие структуры (и, следовательно, тот же первый класс Черна), но разные голоморфные структуры. Утверждения класса Черна легко доказываются с помощью экспоненциальной последовательности пучков на многообразии. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Можно более общо рассматривать проблему классификации с гомотопически-теоретической точки зрения. Существует универсальное расслоение для действительных линейных расслоений и универсальное расслоение для комплексных линейных расслоений. Согласно общей теории о классифицирующих пространствах , эвристика заключается в поиске стягиваемых пространств, на которых существуют групповые действия соответствующих групп и , которые являются свободными действиями. Эти пространства могут служить универсальными главными расслоениями , а факторы для действий - классифицирующими пространствами . В этих случаях мы можем найти их явно в бесконечномерных аналогах действительного и комплексного проективного пространства . ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle BG}$

Следовательно, классифицирующее пространство имеет гомотопический тип , вещественное проективное пространство, заданное бесконечной последовательностью однородных координат . Оно несет универсальное вещественное линейное расслоение; в терминах теории гомотопии это означает, что любое вещественное линейное расслоение на комплексе CW определяет классифицирующее отображение из в , делая расслоение изоморфным обратному прообразу универсального расслоения. Это классифицирующее отображение можно использовать для определения класса Штифеля-Уитни для , в первой когомологии с коэффициентами, из стандартного класса на . ${\displaystyle BC_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$

Аналогичным образом, комплексное проективное пространство несет универсальное комплексное линейное расслоение. В этом случае классифицирующие отображения порождают первый класс Черна , в (интегральные когомологии). ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{2}(X)}$

Существует еще одна аналогичная теория с кватернионными (действительная размерность четыре) линейными расслоениями. Это приводит к одному из классов Понтрягина , в действительных четырехмерных когомологиях.

Таким образом, основополагающие случаи для теории характеристических классов зависят только от линейных расслоений. Согласно общему принципу расщепления это может определять остальную часть теории (хотя и не явно).

Существуют теории голоморфных линейных расслоений на комплексных многообразиях и обратимых пучков в алгебраической геометрии , которые разрабатывают теорию линейных расслоений в этих областях.

Смотрите также

• I-связка
• Обширный набор линий
• Строка поля

Примечания

1. Хартшорн (1975). Алгебраическая геометрия, Arcata 1974. стр. 7.

Ссылки

• Майкл Мюррей, Line Bundles, 2002 (ссылка на PDF-файл)
• Робин Хартшорн . Алгебраическая геометрия . AMS Bookstore, 1975. ISBN 978-0-8218-1429-1