Многокритериальная оптимизация

Математическая концепция

Многокритериальная оптимизация или оптимизация Парето (также известная как многокритериальное программирование , векторная оптимизация , многокритериальная оптимизация или многоатрибутная оптимизация ) — это область принятия решений по множеству критериев , которая связана с задачами математической оптимизации, включающими более одной целевой функции . оптимизированы одновременно. Многокритериальная оптимизация — это тип векторной оптимизации , который применяется во многих областях науки, включая инженерию, экономику и логистику, где оптимальные решения необходимо принимать при наличии компромисса между двумя или более конфликтующими целями. Минимизация затрат при максимизации комфорта при покупке автомобиля и максимизация производительности при минимизации расхода топлива и выбросов загрязняющих веществ от транспортного средства являются примерами задач многокритериальной оптимизации, включающих две и три цели соответственно. В практических задачах может быть более трех целей.

Для задачи многокритериальной оптимизации не гарантируется, что одно решение одновременно оптимизирует каждую цель. Говорят, что целевые функции конфликтны. Решение называется недоминируемым , оптимальным по Парето, эффективным по Парето или не худшим, если ни одна из целевых функций не может быть улучшена по значению без ухудшения некоторых других целевых значений. Без дополнительной информации о субъективных предпочтениях может существовать (возможно, бесконечное) количество оптимальных по Парето решений, все из которых считаются одинаково хорошими. Исследователи изучают проблемы многокритериальной оптимизации с разных точек зрения, и, таким образом, существуют разные философии решения и цели при их постановке и решении. Целью может быть поиск репрезентативного набора оптимальных по Парето решений и/или количественная оценка компромиссов при удовлетворении различных целей и/или поиск единого решения, которое удовлетворяет субъективным предпочтениям человека, принимающего решения (ЛПР).

Бикритериальная оптимизация обозначает особый случай, когда имеются две целевые функции.

Существует прямая связь между многозадачной оптимизацией и многоцелевой оптимизацией. ^[1]

Введение

Задача многокритериальной оптимизации — это задача оптимизации , в которой задействовано несколько целевых функций. ^{[2] [3] [4]} В математических терминах задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать как

${\displaystyle \min _{x\in X}(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{k}(x))}$

где целое число — это количество целей, а набор — это допустимый набор векторов решений, что обычно так и есть , но это зависит от -мерной области приложения. Допустимый набор обычно определяется некоторыми функциями ограничений. Кроме того, векторнозначную целевую функцию часто определяют как ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f:X&\to \mathbb {R} ^{k}\\x&\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\\vdots \\f_{k}(x)\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Пример границы Парето (красным), набора оптимальных по Парето решений (тех, в которых не доминируют какие-либо другие возможные решения). Точки в рамке представляют возможный выбор, и меньшие значения предпочтительнее больших. Точка C не находится на границе Парето , поскольку в ней доминируют как точка A , так и точка B. Точки A и B строго не доминируют над другими и, следовательно, лежат на границе.

Если какую-то целевую функцию необходимо максимизировать, это эквивалентно минимизации ее отрицательной или обратной функции. Обозначим образ ; осуществимое решение или осуществимое решение ; и объективный вектор или результат . ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}\in X}$ ${\displaystyle z^{*}=f(x^{*})\in \mathbb {R} ^{k}}$

При многокритериальной оптимизации обычно не существует подходящего решения, которое бы минимизировало все целевые функции одновременно. Поэтому внимание уделяется решениям, оптимальным по Парето ; то есть решения, которые нельзя улучшить ни в одной из целей, не ухудшив при этом хотя бы одну из других целей. Говоря математическими терминами, говорят, что допустимое решение (по Парето) доминирует над другим решением , если ${\displaystyle x_{1}\in X}$ ${\displaystyle x_{2}\in X}$

1. ${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,k\},f_{i}(x_{1})\leq f_{i}(x_{2})}$, и
2. ${\displaystyle \exists i\in \{1,\dots ,k\},f_{i}(x_{1})<f_{i}(x_{2})}$.

Решение (и соответствующий результат ) называется оптимальным по Парето, если не существует другого решения, которое доминирует над ним. Набор оптимальных по Парето результатов, обозначаемый , часто называют фронтом Парето , границей Парето или границей Парето. ${\displaystyle x^{*}\in X}$ ${\displaystyle f(x^{*})}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Фронт Парето задачи многокритериальной оптимизации ограничен так называемым целевым вектором надира и идеальным целевым вектором , если они конечны. Целевой вектор надира определяется как ${\displaystyle z^{nadir}}$ ${\displaystyle z^{ideal}}$

${\displaystyle z^{nadir}={\begin{pmatrix}\sup _{x^{*}\in X^{*}}f_{1}(x^{*})\\\vdots \\\sup _{x^{*}\in X^{*}}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}}}$

и идеальный объективный вектор как

${\displaystyle z^{ideal}={\begin{pmatrix}\inf _{x^{*}\in X^{*}}f_{1}(x^{*})\\\vdots \\\inf _{x^{*}\in X^{*}}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}}}$

Другими словами, компоненты надирного и идеального целевых векторов определяют верхнюю и нижнюю границы целевой функции оптимальных по Парето решений. На практике целевой вектор надира может быть только аппроксимирован, поскольку, как правило, весь оптимальный по Парето набор неизвестен. Кроме того, утопический целевой вектор , такой, что где – небольшая константа, часто определяется по численным причинам. ${\displaystyle z^{utop}}$ ${\displaystyle z_{i}^{utop}=z_{i}^{ideal}-\epsilon ,\forall i\in \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

Примеры приложений

Экономика

В экономике многие проблемы включают в себя несколько целей, а также ограничения на то, какие комбинации этих целей достижимы. Например, потребительский спрос на различные товары определяется процессом максимизации полезности, получаемой от этих товаров, с учетом ограничений, основанных на том, какой доход можно потратить на эти товары, и на ценах на эти товары. Это ограничение позволяет покупать больше одного товара только в ущерб потреблению меньшего количества другого товара; следовательно, различные цели (предпочтительно большее потребление каждого товара) находятся в противоречии друг с другом. Распространенным методом анализа такой проблемы является использование графика кривых безразличия , представляющих предпочтения, и бюджетного ограничения, представляющего компромиссы, с которыми сталкивается потребитель.

Другой пример касается границы производственных возможностей , которая определяет, какие комбинации различных типов товаров могут быть произведены обществом с определенным количеством различных ресурсов. Граница определяет компромиссы, с которыми сталкивается общество: если общество полностью использует свои ресурсы, большее количество одного товара может быть произведено только за счет меньшего производства другого товара. Затем общество должно использовать некоторый процесс для выбора среди возможностей на границе.

Разработка макроэкономической политики – это контекст, требующий многоцелевой оптимизации. Обычно центральный банк должен выбрать позицию денежно-кредитной политики , которая уравновешивает конкурирующие цели — низкую инфляцию , низкий уровень безработицы , низкий торговый дефицит и т. д. Для этого центральный банк использует модель экономики , которая количественно описывает различные причинные связи. в экономике; он многократно моделирует модель при различных возможных вариантах денежно-кредитной политики, чтобы получить список возможных прогнозируемых результатов для различных представляющих интерес переменных. Тогда в принципе он может использовать совокупную целевую функцию для оценки альтернативных наборов прогнозируемых результатов, хотя на практике центральные банки используют неколичественный, основанный на суждениях процесс ранжирования альтернатив и принятия политического выбора.

Финансы

В финансах распространенной проблемой является выбор портфеля, когда существуют две противоречивые цели — желание, чтобы ожидаемая стоимость доходности портфеля была как можно выше, и желание иметь риск , часто измеряемый стандартным отклонением доходности портфеля. , быть как можно ниже. Эту проблему часто представляют в виде графика, на котором эффективная граница показывает наилучшие доступные комбинации риска и ожидаемой доходности, а кривые безразличия показывают предпочтения инвестора в отношении различных комбинаций риска и ожидаемой доходности. Задача оптимизации функции ожидаемой стоимости (первого момента ) и стандартного отклонения (квадратного корня из второго центрального момента) доходности портфеля называется двухмоментной моделью принятия решений .

Оптимальное управление

В инженерии и экономике многие проблемы связаны с множеством целей, которые нельзя описать как «чем больше, тем лучше» или «чем меньше, тем лучше»; вместо этого для каждой цели существует идеальное целевое значение, и желание состоит в том, чтобы максимально приблизиться к желаемому значению каждой цели. Например, энергетические системы обычно имеют компромисс между производительностью и стоимостью ^{[5] [6]} или можно отрегулировать расход топлива и ориентацию ракеты так, чтобы она прибывала как в определенное место, так и в определенное время; или можно захотеть проводить операции на открытом рынке так, чтобы уровень инфляции и уровень безработицы были как можно ближе к желаемым значениям.

Часто такие проблемы подчиняются ограничениям линейного равенства, которые не позволяют одновременно полностью достичь всех целей, особенно когда количество контролируемых переменных меньше количества целей и когда наличие случайных потрясений порождает неопределенность. Обычно используется многокритериальная квадратичная целевая функция , при этом стоимость, связанная с целью, возрастает квадратично по мере удаления цели от ее идеального значения. Поскольку эти проблемы обычно включают корректировку контролируемых переменных в различные моменты времени и/или оценку целей в различные моменты времени, используются методы межвременной оптимизации . ^[7]

Оптимальный дизайн

Проектирование продуктов и процессов можно значительно улучшить, используя современные методы моделирования, симуляции и оптимизации. ^{[ нужна цитата ]} Ключевой вопрос в оптимальном дизайне — это измерение того, что хорошо или желательно в дизайне. Прежде чем искать оптимальные конструкции, важно определить характеристики, которые в наибольшей степени влияют на общую ценность конструкции. Хороший проект обычно включает в себя множество критериев/целей, таких как капитальные затраты/инвестиции, эксплуатационные расходы, прибыль, качество и/или восстановление продукта, эффективность, безопасность процесса, время работы и т. д. Следовательно, в практических приложениях производительность процесса и продукта дизайн часто измеряется с учетом нескольких целей. Эти цели обычно противоречат друг другу, т. е. достижение оптимального значения для одной цели требует некоторого компромисса по одной или нескольким целям.

Например, при проектировании бумажной фабрики можно попытаться уменьшить объем капитала, вложенного в бумажную фабрику, и одновременно повысить качество бумаги. Если проект бумажной фабрики определяется большими объемами хранения, а качество бумаги определяется параметрами качества, то проблема оптимального проектирования бумажной фабрики может включать в себя такие задачи, как i) минимизация ожидаемого отклонения этих параметров качества от их номинальных значений. значения, ii) минимизация ожидаемого времени перерывов и iii) минимизация инвестиционных затрат на объемы хранения. Здесь максимальный объем башен является расчетной переменной. Этот пример оптимального проектирования бумажной фабрики представляет собой упрощение модели, используемой в ^[8] . Многоцелевая оптимизация конструкции также была реализована в инженерных системах в таких обстоятельствах, как оптимизация компоновки шкафа управления, ^[9] оптимизация формы аэродинамического профиля с использованием научные рабочие процессы, ^[10] проектирование нано- КМОП , ^{[11] проектирование} систем на чипах , проектирование ирригационных систем на солнечной энергии, ^[12] оптимизация систем песчаных форм, ^{[13] [14]} проектирование двигателей, ^{[15] [ 16]} оптимальное размещение датчиков ^[17] и оптимальная конструкция контроллера. ^{[18] [19]}

Оптимизация процесса

Многоцелевая оптимизация все чаще применяется в химической технологии и производстве . В 2009 году Фиандака и Фрага использовали многокритериальный генетический алгоритм (MOGA) для оптимизации процесса адсорбции при переменном давлении (процесс циклического разделения). Проблема проектирования заключалась в двойной максимизации извлечения азота и чистоты азота. Результаты хорошо аппроксимировали границу Парето с приемлемым компромиссом между целями. ^[20]

В 2010 году Сендин и др. решена многокритериальная задача термической обработки пищевых продуктов. Они рассмотрели два тематических исследования (двухцелевые и трехкритериальные задачи) с использованием нелинейных динамических моделей. Они использовали гибридный подход, состоящий из взвешенного подхода Чебышева и подхода пересечения нормальной границы. Новый гибридный подход позволил создать оптимальный по Парето набор для термической обработки пищевых продуктов. ^[21]

В 2013 году Ганесан и др. проведена многокритериальная оптимизация комбинированной углекислотной конверсии и парциального окисления метана. Целевыми функциями были конверсия метана, селективность по оксиду углерода и соотношение водорода к оксиду углерода. Для решения этой проблемы Ганесан использовал метод нормального пересечения границ (NBI) в сочетании с двумя методами, основанными на рое (алгоритм гравитационного поиска (GSA) и оптимизация роя частиц (PSO)). ^[22] Приложения, связанные с химической экстракцией ^[23] и процессами производства биоэтанола ^[24], поставили аналогичные многоцелевые проблемы.

В 2013 году Абакаров и др. предложил альтернативный метод решения задач многокритериальной оптимизации, возникающих в пищевой инженерии. ^[25] Подход агрегирующих функций, алгоритм адаптивного случайного поиска и подход штрафных функций использовались для вычисления начального набора недоминируемых или оптимальных по Парето решений. Процесс аналитической иерархии и табличный метод использовались одновременно для выбора лучшей альтернативы среди вычисленного подмножества недоминируемых решений для процессов осмотической дегидратации. ^[26]

В 2018 году Пирс и др. сформулировал распределение задач между людьми и роботами как многокритериальную задачу оптимизации, рассматривая время производства и эргономическое воздействие на человека как две цели, рассматриваемые в формулировке. В их подходе использовалась смешанно-целочисленная линейная программа для решения задачи оптимизации для взвешенной суммы двух целей для расчета набора оптимальных по Парето решений. Применение этого подхода к нескольким производственным задачам показало улучшение по крайней мере одной цели в большинстве задач и обеих целей в некоторых процессах. ^[27]

Управление радиоресурсами

Целью управления радиоресурсами является обеспечение скоростей передачи данных, которые запрашиваются пользователями сотовой сети. ^[28] Основными ресурсами являются временные интервалы, частотные блоки и мощности передачи. У каждого пользователя есть своя целевая функция, которая, например, может представлять собой некоторую комбинацию скорости передачи данных, задержки и энергоэффективности. Эти цели противоречат друг другу, поскольку частотные ресурсы очень скудны, поэтому существует необходимость в тесном повторном использовании пространственных частот , что приводит к огромным помехам между пользователями, если их не контролировать должным образом. В настоящее время для уменьшения помех за счет адаптивного предварительного кодирования используются многопользовательские методы MIMO . Сетевой оператор хотел бы обеспечить как большое покрытие, так и высокие скорости передачи данных, поэтому оператор хотел бы найти оптимальное по Парето решение, которое сбалансирует общую пропускную способность сети и справедливость для пользователей соответствующим субъективным образом.

Управление радиоресурсами часто решается путем скаляризации; то есть выбор функции полезности сети, которая пытается сбалансировать пропускную способность и справедливость для пользователей. Выбор функции полезности оказывает большое влияние на вычислительную сложность получаемой в результате задачи однокритериальной оптимизации. ^[28] Например, общая полезность взвешенной суммы ставок дает NP-сложную задачу со сложностью, которая экспоненциально масштабируется в зависимости от количества пользователей, в то время как взвешенная полезность максим-мин-справедливости приводит к квазивыпуклой задаче оптимизации только с полиномиальное масштабирование в зависимости от количества пользователей. ^[29]

Электроэнергетические системы

Реконфигурация путем обмена функциональными связями между элементами системы представляет собой одну из наиболее важных мер, которая может улучшить эксплуатационные характеристики распределительной системы. Проблема оптимизации посредством реконфигурации системы распределения электроэнергии, с точки зрения ее определения, представляет собой историческую единую объективную проблему с ограничениями. С 1975 года, когда Мерлин и Бэк ^[30] выдвинули идею реконфигурации системы распределения для снижения потерь активной мощности, до настоящего времени многие исследователи предложили разнообразные методы и алгоритмы для решения проблемы реконфигурации как единой объективной задачи. Некоторые авторы предложили подходы, основанные на оптимальности по Парето (включая потери активной мощности и показатели надежности в качестве целей). Для этой цели использовались различные методы, основанные на искусственном интеллекте: микрогенетика, ^[31] обмен ветвями, ^[32] оптимизация роя частиц ^[33] и генетический алгоритм недоминируемой сортировки. ^[34]

Инспекция инфраструктуры

Автономная проверка инфраструктуры может снизить затраты, риски и воздействие на окружающую среду, а также обеспечить лучшее периодическое обслуживание проверяемых активов. Обычно планирование таких миссий рассматривается как одноцелевая задача оптимизации, целью которой является минимизация энергии или времени, затрачиваемых на проверку всей целевой структуры. ^[35] Однако для сложных реальных структур охватить 100% объекта проверки невозможно, и создание плана проверки лучше рассматривать как задачу многокритериальной оптимизации, где цель направлена ​​как на максимизацию охвата проверки, так и на минимизацию времени. и затраты. Недавнее исследование показало, что многокритериальное планирование инспекций действительно может превзойти традиционные методы на сложных конструкциях ^[36].

Решение

Поскольку обычно существует несколько оптимальных по Парето решений для задач многокритериальной оптимизации, то, что означает решение такой проблемы, не так просто, как для обычной задачи однокритериальной оптимизации. Поэтому разные исследователи по-разному определяют термин «решение задачи многокритериальной оптимизации». В этом разделе суммированы некоторые из них и контексты, в которых они используются. Многие методы преобразуют исходную задачу с несколькими целями в задачу оптимизации с одной целью . Это называется скаляризованной задачей. Если Парето-оптимальность полученных однокритериальных решений может быть гарантирована, скаляризация считается выполненной аккуратно.

Решение задачи многокритериальной оптимизации иногда понимается как аппроксимация или вычисление всех или репрезентативного набора оптимальных по Парето решений. ^{[37] [38]}

Когда особое внимание уделяется принятию решений , цель решения задачи многокритериальной оптимизации называется поддержкой лица, принимающего решения, в поиске наиболее предпочтительного оптимального по Парето решения в соответствии с его субъективными предпочтениями. ^{[2] [39]} В основе лежит предположение, что необходимо найти одно решение проблемы, которое будет реализовано на практике. Здесь важную роль играет человек, принимающий решения (ЛПР). Ожидается, что DM будет экспертом в проблемной области.

Наиболее предпочтительные результаты можно получить, используя различные философии. Методы многокритериальной оптимизации можно разделить на четыре класса. ^[3]

1. В так называемых методах без предпочтений ожидается, что DM не будет доступен, но нейтральное компромиссное решение идентифицируется без информации о предпочтениях. ^[2] Другие классы — это так называемые априорные, апостериорные и интерактивные методы, и все они по-разному используют информацию о предпочтениях от DM.
2. В априорных методах информация о предпочтениях сначала запрашивается у DM, а затем находится решение, наилучшим образом удовлетворяющее этим предпочтениям.
3. В апостериорных методах сначала находится представительное множество оптимальных по Парето решений, а затем ЛПР должен выбрать одно из них.
4. В интерактивных методах лицу, принимающему решения, разрешено итеративно искать наиболее предпочтительное решение. На каждой итерации интерактивного метода DM показывает оптимальное по Парето решение(я) и описывает, как решение(я) можно улучшить. Информация, предоставленная ЛПР, затем учитывается при создании новых оптимальных по Парето решений, которые ЛПР будет изучать на следующей итерации. Таким образом, ДМ узнает о осуществимости своих желаний и может сконцентрироваться на решениях, которые ему интересны. DM может остановить поиск, когда захочет.

Дополнительная информация и примеры различных методов четырех классов приведены в следующих разделах.

Методы без предпочтений

Когда лицо, принимающее решения, не формулирует явно какую-либо информацию о предпочтениях, метод многокритериальной оптимизации можно классифицировать как метод без предпочтений. ^[3] Хорошо известным примером является метод глобального критерия, ^[40] в котором решается скаляризованная задача вида

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\|f(x)-z^{ideal}\|\\{\text{s.t. }}&x\in X\end{aligned}}}$

решено. В приведенной выше задаче может быть любая норма с общим выбором, включая , и . ^[2] Метод глобального критерия чувствителен к масштабированию целевых функций. Таким образом, рекомендуется нормализовать цели в едином безразмерном масштабе. ^{[2] [39]} ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

Априорные методы

Априорные методы требуют, чтобы до процесса решения была выражена достаточная информация о предпочтениях. ^[3] Хорошо известные примеры априорных методов включают метод функции полезности, лексикографический метод и целевое программирование .

Метод функции полезности

Метод функции полезности предполагает, что функция полезности лица, принимающего решения, доступна. Отображение является функцией полезности, если для всех оно справедливо, что если лицо, принимающее решение, предпочитает , и если лицо, принимающее решение, безразлично между и . Функция полезности определяет порядок векторов решений (напомним, что векторы можно упорядочивать разными способами). После получения достаточно решить ${\displaystyle u\colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y}$ ${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$ ${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \max \;u(\mathbf {f} (\mathbf {x} )){\text{ subject to }}\mathbf {x} \in X,}$

но на практике очень сложно построить функцию полезности, которая бы точно отражала предпочтения лица, принимающего решения, ^[2] особенно потому, что фронт Парето неизвестен до начала оптимизации.

Лексикографический метод

Лексикографический метод предполагает, что цели можно ранжировать в порядке важности. Мы предполагаем, что целевые функции расположены в порядке важности так, чтобы они были наиболее важными и наименее важными для лица, принимающего решения. При условии этого предположения можно использовать различные методы для достижения лексикографически оптимального решения. Обратите внимание, что здесь ни для одной задачи не указывается цель или целевое значение, что отличает его от метода лексикографического программирования целей . ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Скаляризация

Подход линейной скаляризации — это простой метод, используемый для решения задачи многокритериальной оптимизации. Он заключается в объединении различных функций оптимизации в одну функцию. Однако этот метод позволяет находить только подтвержденные решения задачи (т.е. точки на выпуклой оболочке целевого множества). Эта анимация показывает, что если набор результатов невыпуклый, не все эффективные решения могут быть найдены.

Скаляризация задачи многокритериальной оптимизации - это априорный метод, который означает формулировку задачи однокритериальной оптимизации так, чтобы оптимальные решения задачи однокритериальной оптимизации были оптимальными по Парето решениями задачи многокритериальной оптимизации. ^[3] Кроме того, часто требуется, чтобы каждое оптимальное по Парето решение могло быть достигнуто с некоторыми параметрами скаляризации. ^[3] При разных параметрах скаляризации получаются разные оптимальные по Парето решения. Общая формулировка скаляризации задачи многокритериальной оптимизации:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &g(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x),\theta )\\{\text{s.t.}}&x\in X_{\theta }\end{array}}}$

где – векторный параметр, множество – множество, зависящее от параметра , – функция. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X_{\theta }\subseteq X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{k+1}\rightarrow \mathbb {R} }$

Очень известные примеры:

• линейная скаляризация

${\displaystyle \min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x)}$

где веса целей являются параметрами скаляризации. ${\displaystyle w_{i}>0}$

• ${\displaystyle \epsilon }$-метод ограничений (см., например, ^[2] )

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{s.t.}}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\}\end{array}}}$

где верхние границы — это параметры, указанные выше, и цель, которую необходимо минимизировать. ${\displaystyle \epsilon _{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Несколько более продвинутые примеры:

• достижение скаляризирующих задач Вежбицкого ^[41]

Один из примеров проблем скаляризации достижений можно сформулировать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\\{\text{s.t. }}&x\in S\end{aligned}}}$

где этот термин называется термином увеличения, является небольшой константой, а и являются векторами надира и утопии соответственно. В приведенной выше задаче параметром является так называемая контрольная точка, представляющая значения целевой функции, предпочитаемые лицом, принимающим решения. ${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}}$ ${\displaystyle \rho >0}$ ${\displaystyle z^{nadir}}$ ${\displaystyle z^{utop}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

• Многоцелевое программирование Сена ^[42]

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0\end{array}}}$

где – индивидуальные оптимумы (абсолютные) для целей максимизации и минимизации до . ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+1}$ ${\displaystyle s}$

• гиперобъемная/чебышевская скаляризация ^[43]

${\displaystyle \min _{x\in X}\max _{i}{\frac {f_{i}(x)}{w_{i}}}}$

где веса целей являются параметрами скаляризации. Если параметры/веса нарисованы равномерно в положительном ортанте, показано, что эта скаляризация доказуемо сходится к фронту Парето ^[43] , даже если фронт невыпуклый. ${\displaystyle w_{i}>0}$

Например, оптимизация портфеля часто проводится с помощью анализа средней дисперсии . В этом контексте эффективный набор представляет собой подмножество портфелей, параметризованное средней доходностью портфеля в задаче выбора акций портфеля для минимизации дисперсии доходности портфеля при заданном значении ; Подробности см. в разделе «Теорема о разделении взаимных фондов» . Альтернативно, эффективный набор может быть определен путем выбора акций портфеля для максимизации функции ; множество эффективных портфелей состоит из решений в диапазоне от нуля до бесконечности. ${\displaystyle \mu _{P}}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle \mu _{P}}$ ${\displaystyle \mu _{P}-b\sigma _{P}}$ ${\displaystyle b}$

Апостериорные методы

Апостериорные методы направлены на получение всех оптимальных по Парето решений или репрезентативного подмножества оптимальных по Парето решений. Большинство апостериорных методов относятся к одному из следующих трех классов:

• Математическое программирование - основанные на апостериорных методах, при которых алгоритм повторяется, и каждый запуск алгоритма дает одно оптимальное по Парето решение;
• Эволюционные алгоритмы , в которых один запуск алгоритма дает набор оптимальных по Парето решений;
• Методы глубокого обучения , при которых модель сначала обучается на подмножестве решений, а затем запрашивается для предоставления других решений на фронте Парето.

Математическое программирование

Хорошо известными примерами апостериорных методов, основанных на математическом программировании, являются нормальное пересечение границ (NBI), ^[44] модифицированное нормальное пересечение границ (NBIm), ^[45] нормальное ограничение (NC), ^{[46] [47]} последовательная оптимизация Парето. (SPO), ^{[48] и методы направленного} поиска (DSD) ^{, которые} решают задачу многокритериальной оптимизации путем построения нескольких скаляризаций. Решение каждой скаляризации дает оптимальное по Парето решение, локальное или глобальное. Скаляризации методов NBI, NBIm, NC и DSD построены для получения равномерно распределенных точек Парето, которые дают хорошее приближение реального набора точек Парето.

Эволюционные алгоритмы

Эволюционные алгоритмы — это популярные подходы к созданию оптимальных по Парето решений задач многокритериальной оптимизации. Большинство алгоритмов эволюционной многокритериальной оптимизации (EMO) применяют схемы ранжирования на основе Парето. Эволюционные алгоритмы, такие как недоминируемый генетический алгоритм сортировки-II (NSGA-II), ^[49] его расширенная версия NSGA-III, ^{[50] [51]} силовой эволюционный алгоритм Парето 2 (SPEA-2) ^[52] и многокритериальные алгоритмы . варианты дифференциальной эволюции стали стандартными подходами, хотя некоторые схемы, основанные на оптимизации роя частиц и моделировании отжига ^[53], имеют важное значение. Основным преимуществом эволюционных алгоритмов при их применении для решения задач многокритериальной оптимизации является тот факт, что они обычно генерируют наборы решений, позволяющие вычислить аппроксимацию всего фронта Парето. Основным недостатком эволюционных алгоритмов является их меньшая скорость и невозможность гарантировать Парето-оптимальность решений; известно только, что ни одно из сгенерированных решений не доминирует над другим.

Недавно была усовершенствована еще одна парадигма многокритериальной оптимизации, основанная на новизне использования эволюционных алгоритмов. ^[54] Эта парадигма ищет новые решения в объективном пространстве (т.е. поиск новизны ^[55] в объективном пространстве) в дополнение к поиску недоминируемых решений. Поиск новинок подобен ступенькам, ведущим к ранее неизведанным местам. Это особенно полезно для преодоления систематической ошибки и плато, а также для управления поиском в задачах многокритериальной оптимизации.

Методы глубокого обучения

Условные методы глубокого обучения — это новые подходы к созданию нескольких оптимальных по Парето решений. Идея состоит в том, чтобы использовать способность глубоких нейронных сетей к обобщению для изучения модели всего фронта Парето на основе ограниченного числа примеров компромиссов вдоль этого фронта. Задача называется « Обучение фронта Парето» . ^[56] Несколько подходов решают эту задачу, в том числе использование гиперсетей ^[56] и использование вариационного градиентного спуска Штейна. ^[57]

Список методов

Ниже перечислены общеизвестные апостериорные методы:

• метод ε-ограничений ^{[58] [59]}
• Парето-гиперсети ^[56]
• Многоцелевой метод ветвей и границ ^{[60] [61] [62]}
• Нормальное пересечение границы (NBI) ^[44]
• Модифицированное нормальное пересечение границы (NBIm) ^[45]
• Нормальное ограничение (NC) ^{[46] [47]}
• Последовательная оптимизация Парето (SPO) ^[48]
• ^{Домен направленного} поиска ( ^{DSD )}
• НСГА-II ^[49]
• PGEN (генерация поверхности Парето для выпуклых многокритериальных примеров) ^[63]
• IOSO (косвенная оптимизация на основе самоорганизации)
• SMS-EMOA (эволюционный многокритериальный алгоритм выбора S-метрики) ^[64]
• Эволюция, управляемая аппроксимацией (первый алгоритм для прямой реализации и оптимизации формальной концепции аппроксимации из теоретической информатики) ^[65]
• Реактивная поисковая оптимизация (с использованием машинного обучения для адаптации стратегий и целей), ^{[66] [67]} реализована в LIONsolver .
• Алгоритм Бенсона для многокритериальных линейных программ и многокритериальных выпуклых программ
• Многоцелевая оптимизация роя частиц
• Алгоритм субпопуляции на основе новизны ^[54]
• MOEA/D (Многоцелевой эволюционный алгоритм, основанный на декомпозиции)

Интерактивные методы

В интерактивных методах оптимизации множества объективных задач процесс решения является итеративным, и лицо, принимающее решения, постоянно взаимодействует с методом при поиске наиболее предпочтительного решения (см., например, Miettinen 1999, ^[2] Miettinen 2008 ^[68] ). Другими словами, ожидается, что лицо, принимающее решения, будет выражать предпочтения на каждой итерации, чтобы получить оптимальные по Парето решения , которые представляют интерес для лица, принимающего решения, и узнать, какие решения достижимы.

В интерактивных методах оптимизации обычно присутствуют следующие шаги: ^[68]

1. инициализировать (например, рассчитать идеальные и аппроксимированные целевые векторы надира и показать их лицу, принимающему решения)
2. создать оптимальную по Парето отправную точку (используя, например, какой-либо метод отсутствия предпочтений или решение, данное лицом, принимающим решения)
3. запросить информацию о предпочтениях у лица, принимающего решения (например, уровень стремлений или количество новых решений, которые необходимо разработать)
4. генерировать новые решения, оптимальные по Парето, в соответствии с предпочтениями и показывать их и, возможно, некоторую другую информацию о проблеме лицу, принимающему решение
5. если было предложено несколько решений, попросите лицо, принимающее решение, выбрать лучшее решение на данный момент
6. остановиться (если этого хочет лицо, принимающее решение; в противном случае перейдите к шагу 3).

Вышеупомянутые уровни стремлений относятся к желаемым значениям целевой функции, образующим контрольную точку. Вместо математической сходимости, часто используемой в качестве критерия остановки в методах математической оптимизации , в интерактивных методах часто делается упор на психологическую сходимость. Вообще говоря, метод завершается, когда лицо, принимающее решение, уверено, что он/она нашел наиболее предпочтительное доступное решение .

Типы информации о предпочтениях

Существуют различные интерактивные методы, включающие разные типы информации о предпочтениях. На основании можно выделить три типа

1. информация о компромиссе,
2. ориентиры и
3. классификация целевых функций. ^[68]

С другой стороны, четвертый тип генерации небольшой выборки решений включен в: ^{[69] [70]} Примером интерактивного метода, использующего компромиссную информацию, является метод Зионца-Валлениуса , ^[71] где лицо, принимающее решения, на каждой итерации показывают несколько объективных компромиссов, и ожидается, что он скажет, нравится ли ему, не нравится или безразличен в отношении каждого компромисса. В методах, основанных на контрольных точках (см., например, ^{[72] [73]} ), ожидается, что лицо, принимающее решения, на каждой итерации укажет контрольную точку, состоящую из желаемых значений для каждой цели, а затем вычисляется соответствующее оптимальное по Парето решение(я). и показали им для анализа. В интерактивных методах, основанных на классификации, предполагается, что лицо, принимающее решения, дает предпочтения в форме классификации целей при текущем оптимальном по Парето решении на разные классы, указывая, как следует изменить значения целей, чтобы получить более предпочтительное решение. Затем информация о классификации учитывается при вычислении новых (более предпочтительных) оптимальных по Парето решений. В методе удовлетворительного компромисса (STOM) ^[74] используются три класса: цели, значения которых 1) должны быть улучшены, 2) могут быть смягчены и 3) приемлемы как таковые. В методе NIMBUS ^{[75] [76]} также используются два дополнительных класса: цели, значения которых 4) должны быть улучшены до заданной границы и 5) могут быть ослаблены до заданной границы.

Гибридные методы

Существуют разные гибридные методы, но здесь мы рассматриваем гибридизацию MCDM ( многокритериального принятия решений ) и EMO (эволюционной многокритериальной оптимизации). Гибридный алгоритм многокритериальной оптимизации сочетает в себе алгоритмы/подходы из этих двух областей (см., например, ^[68] ). Гибридные алгоритмы EMO и MCDM в основном используются для преодоления недостатков за счет использования сильных сторон. В литературе было предложено несколько типов гибридных алгоритмов, например, включение подходов MCDM в алгоритмы EMO в качестве оператора локального поиска, ведущего DM к наиболее предпочтительному решению(ям) и т. д. Оператор локального поиска в основном используется для улучшения скорость сходимости алгоритмов ЭМО.

Истоки гибридной многокритериальной оптимизации можно проследить до первого семинара Дагштуля, организованного в ноябре 2004 года (см. здесь). Здесь некоторые из лучших умов ^{[ нужна ссылка ]} в EMO (профессор Калянмой Деб, профессор Юрген Бранке и др.) и MCDM (профессор Кайса Миеттинен, профессор Ральф Э. Стойер и др.) осознали потенциал объединения идей и подходов Поля MCDM и EMO для приготовления их гибридов. Впоследствии было организовано еще много семинаров Дагштуля для развития сотрудничества. В последнее время гибридная многокритериальная оптимизация стала важной темой на нескольких международных конференциях в области EMO и MCDM (см., например, ^{[77] [78]} ).

Визуализация фронта Парето

Визуализация фронта Парето является одним из методов апостериорного предпочтения многокритериальной оптимизации. Методы апостериорного предпочтения представляют собой важный класс методов многокритериальной оптимизации. ^[2] Обычно методы апостериорного предпочтения включают четыре этапа: (1) компьютер аппроксимирует фронт Парето, т. е. оптимальный по Парето набор в объективном пространстве; (2) лицо, принимающее решения, изучает приближение фронта Парето; (3) лицо, принимающее решение, определяет предпочтительную точку на фронте Парето; (4) компьютер обеспечивает оптимальное по Парето решение, результат которого совпадает с целевой точкой, определенной лицом, принимающим решение. С точки зрения лица, принимающего решения, второй этап техники апостериорных предпочтений является наиболее сложным. Существует два основных подхода к информированию лиц, принимающих решения. Во-первых, ряд точек фронта Парето можно представить в виде списка (интересное обсуждение и ссылки приведены в ^[79] ) или с помощью тепловых карт. ^[80]

Визуализация в двухцелевых задачах: кривая компромисса

В случае двухцелевых задач информирование лица, принимающего решения, о фронте Парето обычно осуществляется путем его визуализации: фронт Парето, часто называемый в этом случае кривой компромисса, может быть нарисован на объективной плоскости. Кривая компромисса дает полную информацию о целевых значениях и о объективных компромиссах, которые сообщают, как улучшение одной цели связано с ухудшением второй при движении по кривой компромисса. Лицо, принимающее решение, учитывает эту информацию при определении предпочтительной целевой точки, оптимальной по Парето. Идея аппроксимации и визуализации фронта Парето была предложена для линейных бицелевых задач принятия решений С. Гассом и Т. Саати. ^[81] Эта идея была развита и применена в экологических проблемах Дж. Л. Кохоном. ^[82] Обзор методов аппроксимации фронта Парето для различных задач решения с небольшим числом целей (в основном двумя) представлен в ^{[83] .}

Визуализация в задачах многокритериальной оптимизации высокого порядка

Существует две общие идеи визуализации фронта Парето в задачах многокритериального принятия решений высокого порядка (задачах с более чем двумя целями). Один из них, применимый в случае сравнительно небольшого числа объективных точек, представляющих фронт Парето, основан на использовании разработанных в статистике приемов визуализации (различные диаграммы и т. п.; см. соответствующий подраздел ниже). Вторая идея предлагает отображение двухобъектных сечений (срезов) фронта Парето. Он был введен У.С. Мейзелем в 1973 году ^[84] , который утверждал, что такие срезы информируют лица, принимающие решения, об объективных компромиссах. Рисунки, отображающие серию двухцелевых срезов фронта Парето для трехкритериальных задач, известны как карты решений. Они дают четкую картину компромисса между тремя критериями. Недостатки такого подхода связаны со следующими двумя фактами. Во-первых, вычислительные процедуры построения бицелевых срезов фронта Парето нестабильны, поскольку фронт Парето обычно нестабилен. Во-вторых, оно применимо только в случае трех целей. В 1980-е годы идея У.С.Мейзеля была реализована в другой форме — в виде методики Interactive Decision Maps (IDM). ^[85] Совсем недавно Н. Веснер ^[86] предложил использовать комбинацию диаграммы Венна и нескольких диаграмм рассеяния объективного пространства для исследования границы Парето и выбора оптимальных решений.

Смотрите также

• Параллельное программирование
• Программное обеспечение для принятия решений
• Целевое программирование
• Интерактивные карты решений
• Многокритериальное принятие решений
• Многоцелевое линейное программирование
• Многопрофильная оптимизация дизайна
• Парето-эффективность
• Вспомогательная функция
• Векторная оптимизация

Рекомендации

1. Дж. -Ю. Ли, З.-Х. Чжан, Ю. Ли и Дж. Чжан, «Несколько задач для нескольких целей: новый метод многокритериальной оптимизации посредством многозадачной оптимизации», в IEEE Transactions on Evolutionary Computation, doi : 10.1109/TEVC.2023.3294307
2. Кайса Миеттинен (1999). Нелинейная многокритериальная оптимизация. Спрингер. ISBN 978-0-7923-8278-2. Проверено 29 мая 2012 г.
3. Чинг-Лай Хван; Абу Сайед Мд Масуд (1979). Множественное объективное принятие решений, методы и приложения: современное исследование . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-09111-2. Проверено 29 мая 2012 г.
4. Хасанзаде, Хамидреза; Рухани, Моджтаба (2010). «Многокритериальный алгоритм гравитационного поиска». В вычислительном интеллекте, коммуникационных системах и сетях (CICSyN) : 7–12.
5. Ширази, Али; Наджафи, Бехзад; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (01 мая 2014 г.). «Теплоэкономико-экологический анализ и многокритериальная оптимизация ледяной системы хранения тепловой энергии для охлаждения воздуха на входе в цикл газовой турбины». Энергия . 69 : 212–226. дои : 10.1016/j.energy.2014.02.071 . hdl : 11311/845828 .
6. Наджафи, Бехзад; Ширази, Али; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (3 февраля 2014 г.). «Эксергетический, экономический и экологический анализ и многоцелевая оптимизация гибридного цикла ТОТЭ-газотурбина в сочетании с системой опреснения MSF». Опреснение . 334 (1): 46–59. дои : 10.1016/j.desal.2013.11.039 . hdl : 11311/764704 .
7. Рафии, СМР; Амирахмади, А.; Грива, Г. (2009). «Подавление хаоса и оптимальный динамический отклик для повышающего преобразователя с использованием подхода многокритериальной оптимизации SPEA». 2009 35-я ежегодная конференция IEEE по промышленной электронике . стр. 3315–3322. doi : 10.1109/IECON.2009.5415056. ISBN 978-1-4244-4648-3. S2CID  2539380.
8. Роппонен, А.; Ритала, Р.; Пистикопулос, Э.Н. (2011). «Вопросы оптимизации системы управления браком в бумажном производстве». Компьютеры и химическая инженерия . 35 (11): 2510. doi :10.1016/j.compchemeng.2010.12.012.
9. Планана, Сабри; Мемети, Суэйб; Колодзей, Иоанна (2019). «Настройка отжига, моделируемого по Парето, для многоцелевой оптимизации компоновки шкафа управления». arXiv : 1906.04825 [cs.OH].
10. Нгуен, Хоанг Ань; ван Иперен, Зейн; Рагхунатх, Шрикант; Абрамсон, Дэвид; Кипурос, Тимолеон; Сомасехаран, Сандип (2017). «Многокритериальная оптимизация в научном рабочем процессе». Procedia Информатика . 108 : 1443–1452. дои : 10.1016/j.procs.2017.05.213 . hdl : 1826/12173 .
11. Ганесан, Т.; Эламвазути, И.; Васант, П. (01 июля 2015 г.). «Многоцелевая оптимизация конструкции нано-КМОП-генератора, управляемого напряжением, с использованием теоретико-дифференциальной эволюции». Прикладные мягкие вычисления . 32 : 293–299. doi :10.1016/j.asoc.2015.03.016.
12. Ганесан, Т.; Эламвазути, И.; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (1 января 2013 г.). «Аналитическое программирование на основе гиперобъемов для оптимизации ирригационной системы, работающей на солнечной энергии». Зелинка, Иван; Чен, Гуанжун; Рёсслер, Отто Э.; Снасель, Вацлав; Авраам, Аджит (ред.). Нострадамус 2013: Прогнозирование, моделирование и анализ сложных систем . Достижения в области интеллектуальных систем и вычислений. Том. 210. Международное издательство Спрингер. стр. 147–154. дои : 10.1007/978-3-319-00542-3_15. ISBN 978-3-319-00541-6.
13. Ганесан, Т.; Эламвазути, И.; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (1 января 2013 г.). «Многокритериальная оптимизация системы формования сырого песка с использованием хаотической дифференциальной эволюции». У Гаврилова Марина Львовна ; Тан, Си Джей Кеннет; Авраам, Аджит (ред.). Труды по вычислительной технике XXI . Конспекты лекций по информатике. Том. 8160. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 145–163. дои : 10.1007/978-3-642-45318-2_6. ISBN 978-3-642-45317-5.
14. Сурекха, Б.; Кошик, Лалит К.; Пандуй, Абхишек К.; Вундавилли, Панду Р.; Параппагудар, Махеш Б. (7 мая 2011 г.). «Многоцелевая оптимизация системы формования зеленого песка с использованием эволюционных алгоритмов». Международный журнал передовых производственных технологий . 58 (1–4): 9–17. дои : 10.1007/s00170-011-3365-8. ISSN  0268-3768. S2CID  110315544.
15. «Многоцелевая оптимизация при проектировании двигателей с использованием генетических алгоритмов для улучшения производительности двигателя | ESTECO» . www.esteco.com . Проверено 1 декабря 2015 г.
16. Куртель, Э.; Мортье, Ф.; Леотоинг, Л.; Раньо, Э. (16 мая 2005 г.). «Многоцелевая оптимизация надежной конструкции системы крепления двигателя». Серия технических документов SAE (PDF) . Том. 1. Уоррендейл, Пенсильвания. дои : 10.4271/2005-01-2412. S2CID  20170456.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
17. Доминго-Перес, Франциско; Лазаро-Галилея, Хосе Луис; Визер, Андреас; Мартин-Горостиза, Эрнесто; Салидо-Монзу, Дэвид; Ллана, Альваро де ла (апрель 2016 г.). «Определение размещения датчика для позиционирования по разнице дальности с использованием эволюционной многокритериальной оптимизации». Экспертные системы с приложениями . 47 : 95–105. дои : 10.1016/j.eswa.2015.11.008.
18. Бемпорад, Альберто; Муньос де ла Пенья, Давид (1 декабря 2009 г.). «Многокритериальное модельное прогнозирующее управление». Автоматика . 45 (12): 2823–2830. doi :10.1016/j.automatica.2009.09.032.
19. Панда, Сидхартха (1 июня 2009 г.). «Многоцелевой эволюционный алгоритм проектирования контроллеров на основе SSSC». Исследование электроэнергетических систем . 79 (6): 937–944. дои : 10.1016/j.epsr.2008.12.004.
20. Фиандака, Джованна; Фрага, Эрик С.; Брандани, Стефано (2009). «Многоцелевой генетический алгоритм для проектирования адсорбции при переменном давлении». Инженерная оптимизация . 41 (9): 833–854. дои : 10.1080/03052150903074189. S2CID  120201436 . Проверено 1 декабря 2015 г.
21. Сендин, Хосе Оскар Х.; Алонсо, Антонио А.; Банга, Хулио Р. (1 июня 2010 г.). «Эффективная и надежная многоцелевая оптимизация пищевой промышленности: новый подход к термической стерилизации». Журнал пищевой инженерии . 98 (3): 317–324. doi : 10.1016/j.jfoodeng.2010.01.007. hdl : 10261/48082 .
22. Ганесан, Т.; Эламвазути, И.; Ку Шаари, Ку Зилати; Васант, П. (01 марта 2013 г.). «Роевой интеллект и алгоритм гравитационного поиска для многокритериальной оптимизации производства синтез-газа». Прикладная энергетика . 103 : 368–374. Бибкод : 2013ApEn..103..368G. doi :10.1016/j.apenergy.2012.09.059.
23. Ганесан, Тимоти; Эламвазути, Ираиван; Васант, Пандиан; Шаари, Ку Зилати Ку (23 марта 2015 г.). «Многоцелевая оптимизация процесса экстракции биоактивных соединений с помощью эволюционных стратегий». В Нгуене — Нгок Тхань; Травинский, Богдан; Косала, Раймонд (ред.). Интеллектуальные информационные системы и системы баз данных . Конспекты лекций по информатике. Том. 9012. Международное издательство Springer. стр. 13–21. дои : 10.1007/978-3-319-15705-4_2. ISBN 978-3-319-15704-7.
24. Мехди, Хосров-Пур (30 июня 2014 г.). Современные достижения в развитии информационных технологий в динамичных средах. IGI Global. ISBN 9781466662537.
25. Абакаров. А., Сушков. Ю., Маскерони. РХ (2012). «Многокритериальная оптимизация и подход к принятию решений для улучшения процессов пищевой промышленности» (PDF) . Международный журнал пищевых исследований . 2 : 1–21. doi : 10.7455/ijfs/2.1.2013.a1. S2CID  3708256.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
26. Абакаров А., Сушков Ю., Альмонацид С. и Симпсон Р. (2009). «Многокритериальный подход к оптимизации: термическая обработка пищевых продуктов». Журнал пищевой науки . 74 (9): Е471–Е487. дои : 10.1111/j.1750-3841.2009.01348.x. hdl : 10533/134983 . ПМИД  20492109.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
27. Пирс, Маргарет; Мутлу, Бильге; Шах, Джули; Рэдвин, Роберт (2018). «Оптимизация рабочего времени и эргономики при интеграции коллаборативных роботов в производственные процессы». Транзакции IEEE по автоматизации науки и техники . 15 (4): 1772–1784. дои : 10.1109/tase.2018.2789820 . ISSN  1545-5955. S2CID  52927442.
28. Э. Бьёрнсон и Э. Йорсвик, Оптимальное распределение ресурсов в скоординированных многосотовых системах, Основы и тенденции в теории коммуникаций и информации, том. 9, нет. 2–3, стр. 113–381, 2013.
29. З.-К. Луо и С. Чжан, Динамическое управление спектром: сложность и двойственность, Журнал IEEE по избранным темам обработки сигналов, том. 2, нет. 1, стр. 57–73, 2008.
30. Мерлин, А.; Бэк, Х. Поиск конфигурации связующего дерева с минимальными потерями в городской системе распределения электроэнергии. В материалах Пятой компьютерной конференции энергетических систем (PSCC) 1975 г., Кембридж, Великобритания, 1–5 сентября 1975 г.; стр. 1–18.
31. Мендоса, JE; Лопес, Мэн; Коэльо, Калифорния; Лопес, Е.А. Микрогенетический многокритериальный алгоритм реконфигурации с учетом потерь мощности и показателей надежности распределительной сети среднего напряжения. ИЭПП Генерал. Трансм. Распредел. 2009, 3, 825–840.
32. Бернардон, ДП; Гарсия, виджей; Феррейра, ASQ; Канья, Л.Н. Многокритериальная реконфигурация распределительной сети с учетом анализа подпередачи. IEEE Транс. Мощность Делив. 2010, 25, 2684–2691.
33. Аманулла, Б.; Чакрабарти, С.; Сингх, С.Н. Реконфигурация систем распределения электроэнергии с учетом надежности и потерь мощности. IEEE Транс. Мощность Делив. 2012, 27, 918–926.
34. Томойага, Б.; Чиндрис, М.; Сампер, А.; Судрия-Андреу, А.; Виллафафила-Роблес, Р. Оптимальная по Парето реконфигурация систем распределения электроэнергии с использованием генетического алгоритма на основе NSGA-II. Энергии 2013, 6, 1439-1455.
35. Гальцеран, Энрик; Каррерас, Марк (2013). «Опрос по планированию пути покрытия робототехники». Робототехника и автономные системы . 61 (12): 1258–1276. CiteSeerX 10.1.1.716.2556 . дои : 10.1016/j.robot.2013.09.004. ISSN  0921-8890. S2CID  1177069. 
36. Эллефсен, КО; Лепиксон, штат Ха; Альбиез, JC (2019). «Многоцелевое планирование маршрута покрытия: обеспечение автоматизированного осмотра сложных реальных структур». Прикладные мягкие вычисления . 61 : 264–282. arXiv : 1901.07272 . Бибкод : 2019arXiv190107272O. doi :10.1016/j.asoc.2017.07.051. hdl : 10852/58883. ISSN  1568-4946. S2CID  6183350.
37. Матиас Эрготт (1 июня 2005 г.). Многокритериальная оптимизация. Биркхойзер. ISBN 978-3-540-21398-7. Проверено 29 мая 2012 г.
38. Карлос А. Коэльо Коэльо; Гэри Б. Ламонт; Дэвид А. Ван Вельдхуизен (2007). Эволюционные алгоритмы решения многокритериальных задач. Спрингер. ISBN 978-0-387-36797-2. Проверено 1 ноября 2012 г.
39. Юрген Бранке; Калянмой Деб; Кайса Миеттинен; Роман Словински (21 ноября 2008 г.). Многокритериальная оптимизация: интерактивный и эволюционный подходы. Спрингер. ISBN 978-3-540-88907-6. Проверено 1 ноября 2012 г.
40. Зеленый, М. (1973), «Компромиссное программирование», в Кокрейн, JL; Зеленый, М. (ред.), Принятие решений по множественным критериям , University of South Carolina Press, Колумбия, стр. 262–301.
41. Вежбицкий, AP (1982). «Математическая основа для принятия решений». Математическое моделирование . 3 (5): 391–405. дои : 10.1016/0270-0255(82)90038-0 .
42. Сен, Чандра, (1983) Новый подход к многоцелевому планированию развития сельских районов, Индийский экономический журнал, Том 30, (4), 91-96.
43. Даниэль Головин и Цюи Чжан. Случайная гиперобъемная скаляризация для доказуемой многоцелевой оптимизации черного ящика. ICML 2021. https://arxiv.org/abs/2006.04655.
44. Дас, И.; Деннис, Дж. Э. (1998). «Пересечение нормальной границы: новый метод построения поверхности Парето в задачах нелинейной многокритериальной оптимизации». SIAM Journal по оптимизации . 8 (3): 631. дои : 10.1137/S1052623496307510. hdl : 1911/101880 . S2CID  207081991.
45. С. Мотта, Ренато; Афонсу, Сильвана МБ; Лира, Пауло Р.М. (8 января 2012 г.). «Модифицированный метод NBI и NC для решения задач N-многокритериальной оптимизации». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 46 (2): 239–259. дои : 10.1007/s00158-011-0729-5. S2CID  121122414.
46. Мессак, А .; Исмаил-Яхая, А.; Мэттсон, Калифорния (2003). «Метод нормализованных нормальных ограничений для создания границы Парето». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 25 (2): 86–98. дои : 10.1007/s00158-002-0276-1. S2CID  58945431.
47. Мессак, А.; Мэттсон, Калифорния (2004). «Метод нормальных ограничений с гарантией равномерного представления полной границы Парето». Журнал АИАА . 42 (10): 2101–2111. Бибкод : 2004AIAAJ..42.2101M. дои : 10.2514/1.8977.
48. Мюллер-Гритшнедер, Дэниел; Греб, Хельмут; Шлихтманн, Ульф (2009). «Последовательный подход к вычислению ограниченного фронта Парето практических задач многокритериальной оптимизации». SIAM Journal по оптимизации . 20 (2): 915–934. дои : 10.1137/080729013.
49. Деб, К.; Пратап, А.; Агарвал, С.; Мейариван, Т. (2002). «Быстрый и элитарный многокритериальный генетический алгоритм: NSGA-II». Транзакции IEEE в эволюционных вычислениях . 6 (2): 182. CiteSeerX 10.1.1.17.7771 . дои : 10.1109/4235.996017. S2CID  9914171. 
50. Деб, Калянмой; Джайн, Химаншу (2014). «Эволюционный многоцелевой алгоритм оптимизации с использованием подхода недоминируемой сортировки на основе опорных точек, часть I: решение проблем с ограничениями ящика». Транзакции IEEE в эволюционных вычислениях . 18 (4): 577–601. дои : 10.1109/TEVC.2013.2281535. ISSN  1089-778X. S2CID  206682597.
51. Джайн, Химаншу; Деб, Калянмой (2014). «Эволюционный многоцелевой алгоритм оптимизации с использованием подхода недоминируемой сортировки на основе опорных точек, часть II: обработка ограничений и расширение до адаптивного подхода». Транзакции IEEE в эволюционных вычислениях . 18 (4): 602–622. дои : 10.1109/TEVC.2013.2281534. ISSN  1089-778X. S2CID  16426862.
52. Зитцлер, Э., Лауманнс, М., Тиле, Л.: SPEA2: Улучшение производительности эволюционного алгоритма Парето по силе, Технический отчет 103, Лаборатория компьютерной инженерии и коммуникационных сетей (TIK), Швейцарский федеральный технологический институт (ETH) Цюрих (2001) [1]
53. Суман, Б.; Кумар, П. (2006). «Обзор моделирования отжига как инструмента одно- и многокритериальной оптимизации». Журнал Общества операционных исследований . 57 (10): 1143–1160. doi : 10.1057/palgrave.jors.2602068. S2CID  18916703.
54. Данило Васконселлос Варгас, Джуничи Мурата, Хиротака Такано, Александр Клаудио Ботаццо Дельбем (2015), «Общая структура подгрупп населения и укрощение конфликтов внутри населения», Эволюционные вычисления 23 (1), 1-36.
55. Леман, Джоэл и Кеннет О. Стэнли. «Отказ от целей: эволюция только через поиск новизны». Эволюционные вычисления 19.2 (2011): 189-223.
56. Навон, Авив; Шамсян, Авив; Чечик, Гал; Фетайя, Итан (26 апреля 2021 г.). «Изучение фронта Парето с помощью гиперсетей». Материалы Международной конференции по обучению представлений (ICLR) . arXiv : 2010.04104 .
57. Синчао, Лю; Синь, Тонг; Цян, Лю (06 декабря 2021 г.). «Профилирование фронта Парето с помощью многоцелевого вариационного градиентного спуска Штейна». Достижения в области нейронных систем обработки информации . 34 .
58. Мавротас, Джордж (2009). «Эффективная реализация метода ε-ограничений в задачах многокритериального математического программирования». Прикладная математика и вычислительная техника . 213 (2): 455–465. дои : 10.1016/j.amc.2009.03.037. ISSN  0096-3003.
59. Карвальо, Яго А.; Рибейро, Марко А. (2020). «Точный подход к задаче дерева калибровки с минимальной стоимостью и ограниченной ошибкой». Анналы исследования операций . 287 (1): 109–126. дои : 10.1007/s10479-019-03443-4. ISSN  0254-5330. S2CID  209959109.
60. Мавротас, Г.; Дьякулаки, Д. (2005). «Многокритериальная ветвь и граница: алгоритм векторной максимизации для смешанного множественного целевого линейного программирования 0–1». Прикладная математика и вычислительная техника . 171 (1): 53–71. дои : 10.1016/j.amc.2005.01.038. ISSN  0096-3003.
61. Винсент, Томас; Зейпп, Флориан; Рузика, Стефан; Пшибыльский, Энтони; Гандибле, Ксавье (2013). «Множественная ветвь и граница для смешанного линейного программирования 0-1: исправления и улучшения для биообъективного случая». Компьютеры и исследования операций . 40 (1): 498–509. дои : 10.1016/j.cor.2012.08.003. ISSN  0305-0548.
62. Пшибильский, Энтони; Гандибле, Ксавье (2017). «Многоцелевая ветвь и границ». Европейский журнал операционных исследований . 260 (3): 856–872. дои : 10.1016/j.ejor.2017.01.032. ISSN  0377-2217.
63. Крафт, Д.; Халаби, Т.; Ши, Х.; Бортфельд, Т. (2006). «Аппроксимация выпуклых поверхностей Парето при планировании многокритериальной лучевой терапии». Медицинская физика . 33 (9): 3399–3407. Бибкод : 2006MedPh..33.3399C. дои : 10.1118/1.2335486. ПМИД  17022236.
64. Бёме, Н.; Науйокс, Б.; Эммерих, М. (2007). «SMS-EMOA: Многокритериальный отбор на основе преобладающего гиперобъема». Европейский журнал операционных исследований . 181 (3): 1653. doi :10.1016/j.ejor.2006.08.008.
65. Брингманн, Карл; Фридрих, Тобиас; Нойманн, Франк; Вагнер, Маркус (2011). «Эволюционная многоцелевая оптимизация, управляемая аппроксимацией». ИДЖКАИ . doi : 10.5591/978-1-57735-516-8/IJCAI11-204.
66. Баттити, Роберто; Мауро Брунато; Франко Массия (2008). Реактивный поиск и интеллектуальная оптимизация . Спрингер Верлаг . ISBN 978-0-387-09623-0.
67. Баттити, Роберто; Мауро Брунато (2011). Реактивная бизнес-аналитика. От данных к моделям и знаниям. Тренто, Италия: Reactive Search Srl. ISBN 978-88-905795-0-9.
68. Миеттинен, К.; Руис, Ф.; Вежбицкий, АП (2008). «Введение в многокритериальную оптимизацию: интерактивные подходы». Многокритериальная оптимизация . Конспекты лекций по информатике. Том. 5252. стр. 27–57. CiteSeerX 10.1.1.475.465 . дои : 10.1007/978-3-540-88908-3_2. ISBN  978-3-540-88907-6.
69. Люке, М.; Руис, Ф.; Миеттинен, К. (2008). «Глобальная формулировка интерактивной многокритериальной оптимизации». ИЛИ Спектр . 33 : 27–48. дои : 10.1007/s00291-008-0154-3. S2CID  15050545.
70. Руис, Ф.; Люке, М.; Миеттинен, К. (2011). «Повышение эффективности вычислений в глобальной формулировке (GLIDE) для интерактивной многокритериальной оптимизации». Анналы исследования операций . 197 : 47–70. дои : 10.1007/s10479-010-0831-x. S2CID  14947919.
71. Сионц, С.; Валлениус, Дж. (1976). «Метод интерактивного программирования для решения задачи множественных критериев». Наука управления . 22 (6): 652. doi :10.1287/mnsc.22.6.652.
72. Вежбицкий, AP (1986). «О полноте и конструктивности параметрических характеристик задач векторной оптимизации». ИЛИ Спектрум . 8 (2): 73–78. дои : 10.1007/BF01719738. S2CID  121771992.
73. Анджей П. Вержбицкий; Марек Маковски; Яап Вессельс (31 мая 2000 г.). Методология поддержки принятия решений на основе моделей с экологическими приложениями. Спрингер. ISBN 978-0-7923-6327-9. Проверено 17 сентября 2012 г.
74. Накаяма, Х.; Савараги, Ю. (1984), «Метод удовлетворяющего компромисса для многокритериального программирования», Грауэр, М.; Вежбицкий, А.П. (ред.), Интерактивный анализ решений , Springer-Verlag Berlin, Гейдельберг, стр. 113–122.
75. Миеттинен, К.; Мякеля, ММ (1995). «Интерактивный метод недифференцируемой многокритериальной оптимизации на основе пакетов: Nimbus§». Оптимизация . 34 (3): 231. дои : 10.1080/02331939508844109.
76. Миеттинен, К.; Мякеля, ММ (2006). «Синхронный подход в интерактивной многокритериальной оптимизации». Европейский журнал операционных исследований . 170 (3): 909. doi :10.1016/j.ejor.2004.07.052.
77. Синдхья, К.; Руис, AB; Миеттинен, К. (2011). «Интерактивный эволюционный алгоритм, основанный на предпочтениях, для многоцелевой оптимизации: PIE». Эволюционная многокритериальная оптимизация . Конспекты лекций по информатике. Том. 6576. стр. 212–225. дои : 10.1007/978-3-642-19893-9_15. ISBN 978-3-642-19892-2.
78. Синдхья, К.; Деб, К.; Миеттинен, К. (2008). «Эволюционный многокритериальный подход к оптимизации на основе локального поиска для быстрой и точной сходимости». Параллельное решение проблем из природы – PPSN X. Конспекты лекций по информатике. Том. 5199. стр. 815–824. дои : 10.1007/978-3-540-87700-4_81. ISBN 978-3-540-87699-1.
79. Бенсон, Гарольд П.; Саин, Серпиль (1997). «На пути к поиску глобальных представлений эффективного множества в многоцелевом математическом программировании» (PDF) . Логистика военно-морских исследований . 44 (1): 47–67. doi :10.1002/(SICI)1520-6750(199702)44:1<47::AID-NAV3>3.0.CO;2-M. hdl : 11693/25666. ISSN  0894-069X.
80. Прайк, Энди; Саназ Мостагим; Алиреза Наземи (2007). «Визуализация тепловой карты многоцелевых алгоритмов на основе совокупности». Эволюционная многокритериальная оптимизация . Конспекты лекций по информатике. Том. 4403. стр. 361–375. дои : 10.1007/978-3-540-70928-2_29. ISBN 978-3-540-70927-5. S2CID  2502459.
81. Гасс, Сол; Саати, Томас (1955). «Алгоритм расчета параметрической целевой функции». Ежеквартальный журнал военно-морских исследований по логистике . 2 (1–2): 39–45. дои : 10.1002/nav.3800020106. ISSN  0028-1441.
82. Джаред Л. Кохон (13 января 2004 г.). Многоцелевое программирование и планирование. Публикации Courier Dover. ISBN 978-0-486-43263-2. Проверено 29 мая 2012 г.
83. Рузика, С.; Вицек, ММ (2005). «Методы аппроксимации в многокритериальном программировании». Журнал теории оптимизации и приложений . 126 (3): 473–501. дои : 10.1007/s10957-005-5494-4. ISSN  0022-3239. S2CID  122221156.
84. Мейзель, WL (1973), JL Cochrane; М. Зеленый (ред.), «Компромиссное решение при принятии решений по множественным критериям», Принятие решений по множественным критериям : 461–476.
85. А.В. Лотов; В.А. Бушенков; Г.К. Каменев (29 февраля 2004 г.). Интерактивные карты решений: аппроксимация и визуализация границы Парето. Спрингер. ISBN 978-1-4020-7631-2. Проверено 29 мая 2012 г.
86. Веснер, Н. (2017), «Многокритериальная оптимизация посредством визуализации», Economics Bulletin , 37 (2): 1226–1233

Внешние ссылки

• Эммерих, МТМ, Дойц, А.Х. Учебное пособие по многокритериальной оптимизации: основы и эволюционные методы. Nat Comput 17, 585–609 (2018). https://doi.org/10.1007/s11047-018-9685-y
• Международное общество по принятию решений по множественным критериям
• Эволюционная многокритериальная оптимизация, Демонстрационный проект Wolfram
• Учебное пособие по многокритериальной оптимизации и генетическим алгоритмам, профессиональный партнер Scilab
• Томойага, Богдан; Чиндрис, Мирча; Сампер, Андреас; Судрия-Андреу, Антони; Вильяфафила-Роблес, Роберто. 2013. «Оптимальная по Парето реконфигурация систем распределения электроэнергии с использованием генетического алгоритма на основе NSGA-II». Энергии 6, нет. 3: 1439-1455.
• Список литературы по эволюционной многокритериальной оптимизации