В линейной алгебре ортогонализация — это процесс поиска набора ортогональных векторов , охватывающих определенное подпространство . Формально, начиная с линейно независимого набора векторов { v 1 , ... , v k } в пространстве внутреннего произведения (чаще всего евклидовом пространстве R n ), ортогонализация приводит к получению набора ортогональных векторов { u 1 , .. , uk } , которые порождают то же подпространство, что и векторы v 1 , ... , v k . Каждый вектор в новом наборе ортогонален каждому другому вектору в новом наборе; и новый набор, и старый набор имеют один и тот же линейный диапазон .
Кроме того, если мы хотим, чтобы все результирующие векторы были единичными векторами , мы нормализуем каждый вектор, и эта процедура называется ортонормализацией .
Ортогонализация также возможна по отношению к любой симметричной билинейной форме (не обязательно скалярному произведению и не обязательно по действительным числам ), но стандартные алгоритмы могут столкнуться с делением на ноль в этой более общей ситуации.
К методам выполнения ортогонализации относятся:
При выполнении ортогонализации на компьютере преобразование Хаусхолдера обычно предпочтительнее процесса Грама-Шмидта, поскольку оно более стабильно численно , т. е. ошибки округления имеют менее серьезные последствия.
С другой стороны, процесс Грама – Шмидта создает j-й ортогональный вектор после j-й итерации, тогда как ортогонализация с использованием отражений Хаусхолдера дает все векторы только в конце. Это делает только процесс Грама-Шмидта применимым для итерационных методов, таких как итерация Арнольди .
Вращение Гивенса легче распараллелить , чем преобразования Хаусхолдера.
Симметричная ортогонализация была сформулирована Пер-Оловым Лёвдином . [1]
To compensate for the loss of useful signal in traditional noise attenuation approaches because of incorrect parameter selection or inadequacy of denoising assumptions, a weighting operator can be applied on the initially denoised section for the retrieval of useful signal from the initial noise section. The new denoising process is referred to as the local orthogonalization of signal and noise.[2]It has a wide range of applications in many signals processing and seismic exploration fields.
