Ортогональное дополнение

Понятие линейной алгебры

В математических областях линейной алгебры и функционального анализа ортогональное дополнение подпространства векторного пространства , снабженного билинейной формой, представляет собой набор всех векторов в , которые ортогональны каждому вектору в . Неофициально его называют perp , сокращенно от перпендикулярного дополнения . Это подпространство . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

Пример

Пусть векторное пространство снабжено обычным скалярным произведением (что делает его пространством внутреннего произведения ), и пусть тогда его ортогональное дополнение также может быть определено как ${\displaystyle V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $${\displaystyle W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \in W\}}$$ $${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},}$$ $${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Тот факт, что каждый вектор-столбец в ортогонален каждому вектор-столбцу в, можно проверить прямым вычислением. Тот факт, что промежутки этих векторов ортогональны, следует из билинейности скалярного произведения. Наконец, тот факт, что эти пространства являются ортогональными дополнениями, следует из приведенных ниже соотношений размерностей. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} }$

Общие билинейные формы

Пусть векторное пространство над полем имеет билинейную форму. Мы определяем его как левоортогональное к , и правоортогональное к , когда Для подмножества определяем левоортогональное дополнение как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ $${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \in W\right\}.}$$

Имеется соответствующее определение правоортогонального дополнения. Для рефлексивной билинейной формы , где левое и правое дополнения совпадают. Это будет так, если это симметричная или знакопеременная форма . ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\implies B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle B}$

Определение распространяется на билинейную форму на свободном модуле над коммутативным кольцом и на полуторалинейную форму, расширенную для включения любого свободного модуля над коммутативным кольцом с сопряжением . ^[1]

Характеристики

• Ортогональное дополнение — это подпространство ; ${\displaystyle V}$
• Если тогда ; ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X^{\perp }\supseteq Y^{\perp }}$
• Радикал является подпространством каждого ортогонального дополнения; ${\displaystyle V^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle W\subseteq (W^{\perp })^{\perp }}$;
• Если невырожден и конечномерен, то . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)+\dim(W^{\perp })=\dim(V)}$
• Если – подпространства конечномерного пространства и тогда . ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{r}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},}$ ${\displaystyle L_{*}^{\perp }=L_{1}^{\perp }+\cdots +L_{r}^{\perp }}$

Внутренние пространства продукта

В этом разделе рассматриваются ортогональные дополнения в пространстве внутреннего произведения . ^[2] ${\displaystyle H}$

Два вектора и называются ортогональными , если , что происходит тогда и только тогда, когда скаляры . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall }$ ${\displaystyle s}$

Если это какое-либо подмножество пространства внутреннего продукта , то его ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ортогональное дополнение в ${\displaystyle H}$— это векторное подпространство , которое всегда является замкнутым подмножеством (следовательно, замкнутым векторным подпространством) из^{[3][доказательство 1],}которое удовлетворяет: $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$.

Если — векторное подпространство пространства внутреннего произведения , то Если — замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства , то ^[3] где называется ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ and }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C}$$ ${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}$ортогональное разложение наииуказывает, чтоэтодополняемое подпространствосдополнением ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\bot }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{\bot }.}$

Характеристики

Ортогональное дополнение всегда замкнуто в метрической топологии. В конечномерных пространствах это просто пример того, что все подпространства векторного пространства замкнуты. В бесконечномерных гильбертовых пространствах некоторые подпространства не замкнуты, но все ортогональные дополнения замкнуты. Если - векторное подпространство пространства внутреннего продукта, ортогональное дополнение ортогонального дополнения является его замыканием , то есть: ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W,}$ $${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.}$$

Ниже приведены некоторые другие полезные свойства, которые всегда сохраняются. Пусть – гильбертово пространство, и – его линейные подпространства. Затем: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• ${\displaystyle X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }}$;
• если тогда ; ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }}$
• ${\displaystyle X\cap X^{\bot }=\{0\}}$;
• ${\displaystyle X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }}$;
• if — замкнутое линейное подпространство then ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X^{\bot })^{\bot }=X}$
• если — замкнутое линейное подпространство, то (внутренняя) прямая сумма . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=X\oplus X^{\bot },}$

Ортогональное дополнение обобщает аннулятор и дает связь Галуа на подмножествах пространства внутреннего продукта с соответствующим оператором замыкания , топологическим замыканием диапазона.

Конечные размеры

Для конечномерного пространства внутреннего продукта размерности ортогональное дополнение -мерного подпространства является -мерным подпространством, а двойное ортогональное дополнение - исходным подпространством: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-k)}$ $${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.}$$

Если , где , и относятся к пространству строк , пространству столбцов и пустому пространству ( соответственно), то ^[4] ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} _{mn}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \left({\mathcal {R}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )\qquad {\text{ and }}\qquad \left({\mathcal {C}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }).}$$

Банаховы пространства

Естественный аналог этого понятия существует в общих банаховых пространствах . В этом случае ортогональное дополнение определяется как подпространство двойственного к определенному аналогично аннулятору ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.}$$

Это всегда замкнутое подпространство . Существует также аналог свойства двойного дополнения. теперь является подпространством (которое не идентично ). Однако рефлексивные пространства имеют естественный изоморфизм между и . В этом случае мы имеем ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle W^{\perp \perp }}$ ${\displaystyle V^{**}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{**}}$ $${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.}$$

Это довольно прямое следствие теоремы Хана–Банаха .

Приложения

В специальной теории относительности ортогональное дополнение используется для определения одновременной гиперплоскости в точке мировой линии . Билинейная форма, используемая в пространстве Минковского, определяет псевдоевклидово пространство событий. ^[5] Начало координат и все события на световом конусе самоортогональны. Когда временное событие и пространственное событие оцениваются как ноль в билинейной форме, тогда они гиперболически-ортогональны . Эта терминология связана с использованием двух сопряженных гипербол в псевдоевклидовой плоскости: диаметры сопряженных этих гипербол гиперболически-ортогональны. ${\displaystyle \eta }$

Смотрите также

• Дополненная решетка
• Дополненное подпространство
• Теорема о проекции Гильберта  - О замкнутых выпуклых подмножествах в гильбертовом пространстве
• Ортогональная проекция  - идемпотентное линейное преобразование векторного пространства в себя.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Если тогда, что замкнуто, так предположим. Пусть где является основным скалярным полем и определите, что является непрерывным, потому что это верно для каждой из его координат. Тогда замкнуто, потому что замкнуто и непрерывно. Если линейно по своей первой (соответственно второй) координате, то является линейным отображением (соответственно антилинейным отображением ); в любом случае его ядро ​​является векторным подпространством КЭД. ${\displaystyle C=\varnothing }$ ${\displaystyle C^{\bot }=H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\neq \varnothing .}$ ${\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},}$ ${\displaystyle h\mapsto \langle h,c\rangle .}$ ${\displaystyle C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }}$ ${\displaystyle H.}$

Рекомендации

1. Адкинс и Вайнтрауб (1992) стр.359
2. Адкинс и Вайнтрауб (1992) стр.272
3. Рудин 1991, стр. 306–312.
4. "Ортогональное дополнение"
5. Г. Д. Биркгоф (1923) Относительность и современная физика , страницы 62,63, издательство Гарвардского университета

Библиография

• Адкинс, Уильям А.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход с помощью теории модулей , Тексты для аспирантов по математике , том. 136, Шпрингер-Верлаг , ISBN 3-540-97839-9, Збл  0768.00003
• Халмош, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для бакалавров по математике , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Збл  0288.15002
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 73, Шпрингер-Верлаг , ISBN 3-540-06009-Х, Збл  0292.10016
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.

Внешние ссылки

• Ортогональное дополнение; Минута 9.00 в видео на Youtube
• Обучающее видео с описанием ортогональных дополнений (Академия Хана)