Случайная матрица

Случайная величина с матрицей значений

В теории вероятностей и математической физике случайная матрица — это матричная случайная величина , то есть матрица, в которой некоторые или все ее элементы выбираются случайным образом из распределения вероятностей . Теория случайных матриц (RMT) — это изучение свойств случайных матриц, часто по мере того, как они становятся большими. RMT предоставляет такие методы, как теория среднего поля , диаграммные методы, метод полости или метод реплик для вычисления величин, таких как следы , спектральные плотности или скалярные произведения между собственными векторами. Многие физические явления, такие как спектр ядер тяжелых атомов , ^{[1] [2]} теплопроводность решетки или возникновение квантового хаоса , ^[3] можно математически смоделировать как проблемы, касающиеся больших случайных матриц .

Приложения

Физика

В ядерной физике случайные матрицы были введены Юджином Вигнером для моделирования ядер тяжелых атомов. ^{[1] [2]} Вигнер постулировал, что расстояния между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать расстояния между собственными значениями случайной матрицы и должны зависеть только от класса симметрии базовой эволюции. ^[4] В физике твердого тела случайные матрицы моделируют поведение больших неупорядоченных гамильтонианов в приближении среднего поля .

В квантовом хаосе гипотеза Бохигаса–Джаннони–Шмита (БГС) утверждает, что спектральная статистика квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение, описывается теорией случайных матриц. ^[3]

В квантовой оптике преобразования, описываемые случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых вычислений над классическими (см., например, модель выборки бозонов ). ^[5] Более того, такие случайные унитарные преобразования могут быть напрямую реализованы в оптической схеме путем сопоставления их параметров с компонентами оптической схемы (то есть светоделителями и фазовращателями). ^[6]

Теория случайных матриц также нашла применение в киральном операторе Дирака в квантовой хромодинамике , ^[7] квантовой гравитации в двух измерениях, ^[8] мезоскопической физике , ^[9] крутящем моменте спин-передачи , ^[10] дробном квантовом эффекте Холла , ^[11] локализации Андерсона , ^[12] квантовых точках , ^[13] и сверхпроводниках ^[14].

Математическая статистика и численный анализ

В многомерной статистике случайные матрицы были введены Джоном Уишартом , который стремился оценить ковариационные матрицы больших выборок. ^{[15] Неравенства типа} Чернова , Бернштейна и Хёффдинга обычно могут быть усилены при применении к максимальному собственному значению (т. е. собственному значению наибольшей величины) конечной суммы случайных эрмитовых матриц . ^[16] Теория случайных матриц используется для изучения спектральных свойств случайных матриц, таких как выборочные ковариационные матрицы, что представляет особый интерес для многомерной статистики . Теория случайных матриц также нашла применение в нейронных сетях ^[17] и глубоком обучении , а недавняя работа с использованием случайных матриц показала, что настройки гиперпараметров могут быть легко переданы между большими нейронными сетями без необходимости повторного обучения. ^[18]

В численном анализе случайные матрицы использовались со времен работы Джона фон Неймана и Германа Голдстайна ^[19] для описания ошибок вычислений в таких операциях, как умножение матриц . Хотя случайные записи являются традиционными «универсальными» входными данными для алгоритма, концентрация меры, связанная со случайными распределениями матриц, подразумевает, что случайные матрицы не будут проверять большие части входного пространства алгоритма. ^[20]

Теория чисел

В теории чисел распределение нулей дзета-функции Римана (и других L-функций ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц. ^[21] Связь была впервые обнаружена Хью Монтгомери и Фрименом Дайсоном . Она связана с гипотезой Гильберта–Полиа .

Свободная вероятность

Связь свободной вероятности со случайными матрицами ^[22] является ключевой причиной широкого использования свободной вероятности в других предметах. Войкулеску ввел концепцию свободы около 1983 года в операторно-алгебраическом контексте; вначале не было никакой связи со случайными матрицами. Эта связь была обнаружена только позже, в 1991 году, Войкулеску; ^[23] он был мотивирован тем фактом, что предельное распределение, которое он нашел в своей свободной центральной предельной теореме, ранее появлялось в полукруговом законе Вигнера в контексте случайной матрицы.

Вычислительная нейронаука

В области вычислительной нейронауки случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами в мозге. Было показано, что динамические модели нейронных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу ^[24] , когда дисперсия синаптических весов пересекает критическое значение на пределе бесконечного размера системы. Результаты по случайным матрицам также показали, что динамика моделей случайных матриц нечувствительна к средней силе связи. Вместо этого стабильность флуктуаций зависит от вариации силы связи ^{[25] [26]} , а время до синхронности зависит от топологии сети. ^{[27] [28]}

При анализе массивных данных, таких как фМРТ , теория случайных матриц была применена для выполнения редукции размерности. При применении такого алгоритма, как PCA , важно иметь возможность выбрать количество значимых компонентов. Критерии выбора компонентов могут быть множественными (на основе объясненной дисперсии, метода Кайзера, собственного значения и т. д.). Теория случайных матриц в этом содержании имеет своего представителя распределение Марченко-Пастура , которое гарантирует теоретические верхние и нижние пределы собственных значений, связанных с матрицей ковариации случайной величины. Эта матрица, вычисленная таким образом, становится нулевой гипотезой, которая позволяет найти собственные значения (и их собственные векторы), которые отклоняются от теоретического случайного диапазона. Компоненты, исключенные таким образом, становятся сокращенным размерным пространством (см. примеры в фМРТ ^{[29] [30]} ).

Оптимальное управление

В теории оптимального управления эволюция n переменных состояния во времени зависит в любой момент времени от их собственных значений и от значений k переменных управления. При линейной эволюции матрицы коэффициентов появляются в уравнении состояния (уравнении эволюции). В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах неизвестны с точностью, в этом случае в уравнении состояния присутствуют случайные матрицы, и проблема известна как задача стохастического управления . ^{[31] : гл. 13  [32]} Ключевым результатом в случае линейно-квадратичного управления со стохастическими матрицами является то, что принцип эквивалентности определенности неприменим: в то время как при отсутствии неопределенности множителя (то есть только с аддитивной неопределенностью) оптимальная политика с квадратичной функцией потерь совпадает с тем, что было бы решено, если бы неопределенность была проигнорирована, оптимальная политика может отличаться, если уравнение состояния содержит случайные коэффициенты.

Вычислительная механика

В вычислительной механике эпистемические неопределенности, лежащие в основе отсутствия знаний о физике моделируемой системы, приводят к появлению математических операторов, связанных с вычислительной моделью, которые в определенном смысле являются несовершенными. Такие операторы не обладают определенными свойствами, связанными с немоделированной физикой. Когда такие операторы дискретизируются для выполнения вычислительного моделирования, их точность ограничивается недостающей физикой. Чтобы компенсировать этот недостаток математического оператора, недостаточно сделать параметры модели случайными, необходимо рассмотреть математический оператор, который является случайным и, таким образом, может генерировать семейства вычислительных моделей в надежде, что одна из них уловит недостающую физику. Случайные матрицы использовались в этом смысле ^[33] с приложениями в виброакустике, распространении волн, материаловедении, механике жидкостей, теплопередаче и т. д.

Инженерное дело

Теория случайных матриц может применяться в исследованиях в области электротехники и связи для изучения, моделирования и разработки массовых радиосистем с множественным входом и множественным выходом ( MIMO ). ^{[ необходима ссылка ]}

История

Теория случайных матриц впервые привлекла внимание за пределами математической литературы в контексте ядерной физики. Эксперименты Энрико Ферми и других продемонстрировали доказательства того, что отдельные нуклоны не могут быть приближены к движению независимо, что привело Нильса Бора к формулировке идеи составного ядра . Поскольку не было никаких знаний о прямых взаимодействиях нуклонов, Юджин Вигнер и Леонард Эйзенбуд предположили, что ядерный гамильтониан может быть смоделирован как случайная матрица. Для более крупных атомов распределение собственных значений энергии гамильтониана можно было вычислить для приближения сечений рассеяния , привлекая распределение Уишарта . ^[34]

Гауссовские ансамбли

Наиболее часто изучаемыми случайными матричными распределениями являются гауссовские ансамбли: GOE, GUE и GSE. Они часто обозначаются индексом Дайсона , β  = 1 для GOE, β  = 2 для GUE и β  = 4 для GSE. Этот индекс подсчитывает количество действительных компонентов на элемент матрицы.

Определения

Гауссовский унитарный ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью на пространстве эрмитовых матриц . Здесь — константа нормировки, выбранная так, чтобы интеграл плотности был равен единице. Термин «унитарный» относится к тому факту, что распределение инвариантно относительно унитарного сопряжения. Гауссовский унитарный ансамбль моделирует гамильтонианы, не имеющие симметрии обращения времени. ${\displaystyle {\text{GUE}}(n)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}}$ $${\displaystyle Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{{\frac {1}{2}}n^{2}}}$$

Гауссовский ортогональный ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью на пространстве n  ×  n действительных симметричных матриц H  = ( H _ij ) ${\displaystyle {\text{GOE}}(n)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}}$$ⁿ
_{i , j =1}. Его распределение инвариантно относительно ортогонального сопряжения, и оно моделирует гамильтонианы с симметрией обращения времени. Эквивалентно, оно генерируется , где — матрица с выборками IID из стандартного нормального распределения. ${\displaystyle H=(G+G^{T})/{\sqrt {2n}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n\times n}$

Гауссовский симплектический ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью на пространстве n  ×  n эрмитовых кватернионных матриц , например, симметричных квадратных матриц, составленных из кватернионов , H = ( H _ij ) ${\displaystyle {\text{GSE}}(n)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}}$$ⁿ
_{i , j =1}. Его распределение инвариантно относительно сопряжения симплектической группой и моделирует гамильтонианы с симметрией обращения времени, но без вращательной симметрии.

Точечные корреляционные функции

Определенные здесь ансамбли имеют гауссово распределенные матричные элементы со средним значением ⟨ H _ij ⟩ = 0 и двухточечные корреляции, заданные формулой , из которой по теореме Иссерлиса вытекают все более высокие корреляции . $${\displaystyle \langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm},}$$

Функции создания моментов

Функция , производящая моменты для GOE, имеет вид , где — норма Фробениуса . $${\displaystyle E[e^{tr(VH)}]=e^{{\frac {1}{4N}}\|V+V^{T}\|_{F}^{2}}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

Спектральная плотность

Спектральная плотность GOE/GUE/GSE, как . Они нормализованы так, что распределения сходятся к распределению полукруга . Количество «горбов» равно N. ${\displaystyle N=2^{0},2^{1},...,2^{5}}$

Совместная плотность вероятности для собственных значений λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n GUE/GOE/GSE определяется выражением

где Z _{β , n} — константа нормировки, которая может быть явно вычислена, см. интеграл Сельберга . В случае GUE ( β  = 2) формула (1) описывает детерминантный точечный процесс . Собственные значения отталкиваются, поскольку совместная плотность вероятности имеет ноль ( -го порядка) для совпадающих собственных значений . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$

Распределение наибольшего собственного значения для GOE и GUE явно разрешимо. ^[35] Они сходятся к распределению Трейси–Уидома после соответствующего сдвига и масштабирования.

Сходимость к полукруговому распределению Вигнера

Спектр, деленный на , сходится по распределению к полукруговому распределению на интервале : . Здесь — дисперсия недиагональных элементов. Дисперсия диагональных элементов не имеет значения. ${\displaystyle {\sqrt {N\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle [-2,+2]}$ ${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Распределение расстояний между уровнями

Из упорядоченной последовательности собственных значений определяются нормализованные интервалы , где — средний интервал. Распределение вероятностей интервалов приблизительно задается для ортогонального ансамбля GOE , для унитарного ансамбля GUE и для симплектического ансамбля GSE . ${\displaystyle \lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots }$ ${\displaystyle s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle }$ ${\displaystyle \langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle }$ $${\displaystyle p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,e^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}}}$$ ${\displaystyle \beta =1}$ $${\displaystyle p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}}$$ ${\displaystyle \beta =2}$ $${\displaystyle p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}e^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}}}$$ ${\displaystyle \beta =4}$

Числовые константы таковы, что нормализовано: и среднее расстояние равно, для . ${\displaystyle p_{\beta }(s)}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,}$$ ${\displaystyle \beta =1,2,4}$

Обобщения

Матрицы Вигнера — это случайные эрмитовы матрицы , элементы которых выше главной диагонали являются независимыми случайными величинами с нулевым средним значением и имеют одинаковые вторые моменты. ${\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$ $${\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}}$$

Инвариантные матричные ансамбли представляют собой случайные эрмитовы матрицы с плотностью на пространстве действительных симметричных/эрмитовых/кватернионных эрмитовых матриц, которое имеет вид, где функция V называется потенциалом. ${\textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-nV(\mathrm {tr} (H))}~,}$

Гауссовские ансамбли являются единственными общими частными случаями этих двух классов случайных матриц. Это следствие теоремы Портера и Розенцвейга. ^{[36] [37]}

Спектральная теория случайных матриц

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений по мере того, как размер матрицы стремится к бесконечности. ^[38]

Эмпирическая спектральная мера

Эмпирическая спектральная мера μ _H для H определяется как $${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$$

Обычно предел является детерминированной мерой; это частный случай самоусреднения . Кумулятивная функция распределения предельной меры называется интегральной плотностью состояний и обозначается N ( λ ). Если интегральная плотность состояний дифференцируема, ее производная называется плотностью состояний и обозначается  ρ ( λ ). ${\displaystyle \mu _{H}}$

Альтернативные выражения

$${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}}$$

Типы конвергенции

Для ансамбля матриц мы говорим, что его спектральные меры слабо сходятся к тогда и только тогда, когда для любого измеримого множества среднее по ансамблю сходится: Сходимость слабая почти наверняка : Если мы делаем выборку независимо из ансамбля, то с вероятностью 1 для любого измеримого множества . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} _{H}[\mu _{H}(A)]=\rho (A)}$$ ${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$$ ${\displaystyle A}$

В другом смысле слабая почти наверняка сходимость означает, что мы делаем выборку не независимо, а путем «выращивания» ( стохастический процесс ), а затем с вероятностью 1 для любого измеримого множества . ${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$ ${\displaystyle A}$

Например, мы можем «вырастить» последовательность матриц из гауссовского ансамбля следующим образом:

• Возьмем бесконечную дважды бесконечную последовательность стандартных случайных величин . ${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,3,\dots }}$
• Определите , где матрица состоит из записей . ${\displaystyle H_{n}=(G_{n}+G_{n}^{T})/{\sqrt {2n}}}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,\dots ,n}}$

Обратите внимание, что общие матричные ансамбли не позволяют нам расти, но большинство распространенных, таких как три гауссовых ансамбля, позволяют нам расти.

Глобальный режим

В глобальном режиме интерес представляет распределение линейных статистик вида . ${\displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)}$

Предел эмпирической спектральной меры для матриц Вигнера был описан Юджином Вигнером ; см. распределение полукруга Вигнера и предположение Вигнера . Что касается выборочных ковариационных матриц, то теория была разработана Марченко и Пастуром . ^{[39] [40]}

Предел эмпирической спектральной меры инвариантных матричных ансамблей описывается определенным интегральным уравнением, которое возникает из теории потенциала . ^[41]

Колебания

Для линейной статистики N _{f , H} = n ⁻¹ Σ f ( λ _j ) , также интересны флуктуации вокруг ∫  f ( λ )  dN ( λ ). Для многих классов случайных матриц известна центральная предельная теорема вида . ^{[42] [43]} $${\displaystyle {\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow }}N(0,1)}$$

Вариационная задача для унитарных ансамблей

Рассмотрим меру

${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-H_{N}(\lambda )}\mathrm {d} \lambda ,\qquad H_{N}(\lambda )=-\sum \limits _{j\neq k}\ln |\lambda _{j}-\lambda _{k}|+N\sum \limits _{j=1}^{N}Q(\lambda _{j}),}$

где — потенциал ансамбля, а — эмпирическая спектральная мера. ${\displaystyle Q(M)}$ ${\displaystyle \nu }$

Мы можем переписать как ${\displaystyle H_{N}(\lambda )}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle H_{N}(\lambda )=N^{2}\left[-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x)\right],}$

мера вероятности теперь имеет вид

${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-N^{2}I_{Q}(\nu )}\mathrm {d} \lambda ,}$

где в квадратных скобках указан указанный выше функционал. ${\displaystyle I_{Q}(\nu )}$

Пусть сейчас

${\displaystyle M_{1}(\mathbb {R} )=\left\{\nu :\nu \geq 0,\ \int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} \nu =1\right\}}$

быть пространством одномерных вероятностных мер и рассмотрим минимизатор

${\displaystyle E_{Q}=\inf \limits _{\nu \in M_{1}(\mathbb {R} )}-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x).}$

Ибо существует единственная мера равновесия через вариационные условия Эйлера-Лагранжа для некоторой действительной константы ${\displaystyle E_{Q}}$ ${\displaystyle \nu _{Q}}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle 2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)=l,\quad x\in J}$

${\displaystyle 2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb {R} \setminus J}$

где находится поддержка меры и определить ${\displaystyle J=\bigcup \limits _{j=1}^{q}[a_{j},b_{j}]}$

${\displaystyle q(x)=-\left({\frac {Q'(x)}{2}}\right)^{2}+\int {\frac {Q'(x)-Q'(y)}{x-y}}\mathrm {d} \nu _{Q}(y)}$.

Равновесная мера имеет следующую плотность Радона–Никодима: ${\displaystyle \nu _{Q}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \nu _{Q}(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {q(x)}}.}$^[44]

Мезоскопический режим

^{[45] [46]} Типичное утверждение полукругового закона Вигнера эквивалентно следующему утверждению: для каждого фиксированного интервала с центром в точке , по мере того как число измерений гауссовского ансамбля увеличивается, доля собственных значений, попадающих в интервал, сходится к , где — плотность полукругового распределения. ${\displaystyle [\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \int _{[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}\rho (t)dt}$ ${\displaystyle \rho (t)}$

Если можно допустить уменьшение при увеличении, то мы получим строго более сильные теоремы, называемые «локальными законами» или «мезоскопическим режимом». ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ${\displaystyle N}$

Мезоскопический режим является промежуточным между локальным и глобальным. В мезоскопическом режиме интерес представляет предельное распределение собственных значений в наборе, который сжимается до нуля, но достаточно медленно, так что число собственных значений внутри . ${\displaystyle \to \infty }$

Например, ансамбль Жинибре имеет мезоскопический закон: для любой последовательности сжимающихся дисков с площадями внутри единичного диска, если диски имеют площадь , условное распределение спектра внутри дисков также сходится к равномерному распределению. То есть, если мы разрежем сжимающиеся диски вместе со спектром, попадающим внутрь дисков, а затем масштабируем диски до единичной площади, мы увидим, что спектры сходятся к плоскому распределению в дисках. ^[46] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A_{n}=O(n^{-1+\epsilon })}$

Местный режим

В локальном режиме интерес представляет предельное распределение собственных значений в наборе, который сжимается так быстро, что число собственных значений остается неизменным . ${\displaystyle O(1)}$

Обычно это означает изучение расстояний между собственными значениями и, в более общем смысле, совместного распределения собственных значений в интервале длины порядка 1/ n . Различают объемную статистику , относящуюся к интервалам внутри носителя предельной спектральной меры, и краевую статистику , относящуюся к интервалам вблизи границы носителя.

Массовая статистика

Формально зафиксируем внутри носителя . Затем рассмотрим точечный процесс , где — собственные значения случайной матрицы. ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle N(\lambda )}$ $${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}-\lambda _{0}){\Big )}~,}$$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$

Точечный процесс фиксирует статистические свойства собственных значений в окрестности . Для гауссовых ансамблей предел известен; ^[4] таким образом, для GUE это детерминантный точечный процесс с ядром ( ядро синуса ). ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$ $${\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}}}$$

Принцип универсальности постулирует, что предел как должен зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (и ни от конкретной модели случайных матриц, ни от ). Строгие доказательства универсальности известны для инвариантных матричных ансамблей ^{[47] [48]} и матриц Вигнера. ^{[49] [50]} ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$

Статистика по краям

Одним из примеров граничной статистики является распределение Трейси–Уидома .

В качестве другого примера рассмотрим ансамбль Ginibre. Он может быть действительным или комплексным. Действительный ансамбль Ginibre имеет iid стандартных гауссовских элементов , а комплексный ансамбль Ginibre имеет iid стандартных комплексных гауссовских элементов . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$

Теперь пусть будет выбрано из действительного или комплексного ансамбля, и пусть будет абсолютным значением его максимального собственного значения: Мы имеем следующую теорему для статистики ребер: ^[51] ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho (G_{n})}$ $${\displaystyle \rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|}$$

Статистика края ансамбля Жинибра  —  Для и как и выше, с вероятностью единица, ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho \left(G_{n}\right)}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1}$$

Более того, если и то сходится по распределению к закону Гумбеля , т.е. вероятностной мере на с кумулятивной функцией распределения . ${\displaystyle \gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))}$ $${\displaystyle Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),}$$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}}$

Эта теорема уточняет круговой закон ансамбля Жинибра . На словах круговой закон гласит, что спектр почти наверняка равномерно падает на единичный диск. а теорема о реберной статистике утверждает, что радиус почти единичного диска составляет около , и колеблется в масштабе , согласно закону Гумбеля. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}}$

Корреляционные функции

Совместная плотность вероятности собственных значений случайных эрмитовых матриц с функциями распределения вида где и — стандартная мера Лебега на пространстве эрмитовых матриц, задается как Точки корреляции (или маргинальные распределения ) определяются как которые являются кососимметричными функциями своих переменных. В частности, одноточечная корреляционная функция, или плотность состояний , равна Ее интеграл по борелевскому множеству дает ожидаемое число собственных значений, содержащихся в : ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$ $${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}}$$ $${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$$ ${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$$ $${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$ ${\displaystyle B\subset \mathbf {R} }$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).}$$

Следующий результат выражает эти корреляционные функции как детерминанты матриц, сформированных путем оценки соответствующего интегрального ядра в парах точек, появляющихся внутри коррелятора. ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$

Теорема [Дайсона-Мехты] Для любого , -точечная корреляционная функция может быть записана в виде определителя , где - -ое ядро ​​Кристоффеля-Дарбу, связанное с , записанное в терминах квазиполиномов , где - полная последовательность монических полиномов указанных степеней, удовлетворяющая условиям ортогональности ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$ $${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),}$$ ${\displaystyle K_{n,V}(x,y)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),}$$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},}$$ ${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$$

Другие классы случайных матриц

Матрицы Уишарта

Матрицы Уишарта — это случайные матрицы размера n  ×  n вида H = X X ^* , где X — случайная матрица размера n  ×  m ( m  ≥  n ) с независимыми элементами, а X ^* — ее сопряженная транспонированная матрица . В важном особом случае, рассмотренном Уишартом, элементы X — это одинаково распределенные гауссовские случайные величины (действительные или комплексные).

Предел эмпирической спектральной меры матриц Уишарта был найден ^[39] Владимиром Марченко и Леонидом Пастуром .

Случайные унитарные матрицы

Неэрмитовы случайные матрицы

Избранная библиография

Книги

• Мехта, М. Л. (2004). Случайные матрицы . Амстердам: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088409-7.
• Андерсон, GW; Гионнет, A.; Зейтуни, O. (2010). Введение в случайные матрицы . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19452-5.
• Акеманн, Г.; Байк, Дж.; Ди Франческо, П. (2011). Оксфордский справочник по теории случайных матриц . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-957400-1.
• Поттерс, Марк; Бушо, Жан-Филипп (2020-11-30). Первый курс по теории случайных матриц: для физиков, инженеров и специалистов по данным . Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108768900. ISBN 978-1-108-76890-0.

Обзорные статьи

• Эдельман, А.; Рао, Н. Р. (2005). «Теория случайных матриц». Acta Numerica . 14 : 233–297. Bibcode : 2005AcNum..14..233E. doi : 10.1017/S0962492904000236. S2CID  16038147.
• Пастур, ЛА (1973). "Спектры случайных самосопряженных операторов". Russ. Math. Surv . 28 (1): 1–67. Bibcode :1973RuMaS..28....1P. doi :10.1070/RM1973v028n01ABEH001396. S2CID  250796916.
• Диаконис, Перси (2003). «Закономерности в собственных значениях: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 40 (2): 155–178. doi : 10.1090/S0273-0979-03-00975-3 . MR  1962294.
• Диаконис, Перси (2005). «Что такое ... случайная матрица?». Notices of the American Mathematical Society . 52 (11): 1348–1349. ISSN  0002-9920. MR  2183871.
• Эйнард, Бертран; Кимура, Таро; Рибо, Сильвен (15.10.2015). "Случайные матрицы". arXiv : 1510.04430v2 [math-ph].

Исторические произведения

• Вигнер, Э. (1955). «Характерные векторы окаймленных матриц с бесконечными размерами». Annals of Mathematics . 62 (3): 548–564. doi :10.2307/1970079. JSTOR  1970079.
• Уишарт, Дж. (1928). «Обобщенное распределение моментов произведений в выборках». Biometrika . 20A (1–2): 32–52. doi :10.1093/biomet/20a.1-2.32.
• фон Нейман, Дж.; Голдстайн, Х. Х. (1947). «Численное обращение матриц высокого порядка». Bull. Amer. Math. Soc . 53 (11): 1021–1099. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08909-6 .

Ссылки

1. Вигнер, Юджин П. (1955). «Характерные векторы окаймленных матриц с бесконечными размерами». Annals of Mathematics . 62 (3): 548–564. doi :10.2307/1970079. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970079.
2. Block, RC; Good, WM; Harvey, JA; Schmitt, HW; Trammell, GT, ред. (1 июля 1957 г.). Конференция по нейтронной физике методом времени пролета, состоявшаяся в Гатлинбурге, штат Теннесси, 1 и 2 ноября 1956 г. (Отчет ORNL-2309). Ок-Ридж, Теннесси: Национальная лаборатория Ок-Риджа. doi : 10.2172/4319287. OSTI  4319287.
3. Bohigas, O.; Giannoni, MJ; Schmit, Schmit (1984). «Характеристика хаотических квантовых спектров и универсальность законов флуктуации уровня». Phys. Rev. Lett . 52 (1): 1–4. Bibcode :1984PhRvL..52....1B. doi :10.1103/PhysRevLett.52.1.
4. Mehta 2004
5. Ааронсон, Скотт; Архипов, Алекс (2013). «Вычислительная сложность линейной оптики». Теория вычислений . 9 : 143–252. doi : 10.4086/toc.2013.v009a004 .
6. Рассел, Николас; Чахмахчян, Левон; О'Брайен, Джереми; Лэйнг, Энтони (2017). "Прямой набор случайных унитарных матриц Хаара". New J. Phys . 19 (3): 033007. arXiv : 1506.06220 . Bibcode : 2017NJPh...19c3007R. doi : 10.1088/1367-2630/aa60ed. S2CID  46915633.
7. Verbaarschot JJ, Wettig T (2000). «Теория случайных матриц и киральная симметрия в КХД». Annu. Rev. Nucl. Part. Sci . 50 : 343–410. arXiv : hep-ph/0003017 . Bibcode :2000ARNPS..50..343V. doi :10.1146/annurev.nucl.50.1.343. S2CID  119470008.
8. Franchini F, Kravtsov VE (октябрь 2009). "Горизонт в теории случайных матриц, излучение Хокинга и поток холодных атомов". Phys. Rev. Lett . 103 (16): 166401. arXiv : 0905.3533 . Bibcode :2009PhRvL.103p6401F. doi :10.1103/PhysRevLett.103.166401. PMID  19905710. S2CID  11122957.
9. Sánchez D, Büttiker M (сентябрь 2004 г.). "Асимметрия магнитного поля нелинейного мезоскопического транспорта". Phys. Rev. Lett . 93 (10): 106802. arXiv : cond-mat/0404387 . Bibcode :2004PhRvL..93j6802S. doi :10.1103/PhysRevLett.93.106802. PMID  15447435. S2CID  11686506.
10. Рычков ВС, Борленги С, Джаффрес Х, Ферт А, Вайнтал Х (август 2009). "Спиновый момент и волнистость в магнитных многослойных структурах: мост между теорией Вале-Ферта и квантовыми подходами". Phys. Rev. Lett . 103 (6): 066602. arXiv : 0902.4360 . Bibcode :2009PhRvL.103f6602R. doi :10.1103/PhysRevLett.103.066602. PMID  19792592. S2CID  209013.
11. Callaway DJE (апрель 1991 г.). «Случайные матрицы, дробная статистика и квантовый эффект Холла». Phys. Rev. B . 43 (10): 8641–8643. Bibcode :1991PhRvB..43.8641C. doi :10.1103/PhysRevB.43.8641. PMID  9996505.
12. Janssen M, Pracz K (июнь 2000 г.). «Коррелированные случайные ленточные матрицы: переходы локализация-делокализация». Phys. Rev. E . 61 (6 Pt A): 6278–86. arXiv : cond-mat/9911467 . Bibcode :2000PhRvE..61.6278J. doi :10.1103/PhysRevE.61.6278. PMID  11088301. S2CID  34140447.
13. Zumbühl DM, Miller JB, Marcus CM, Campman K, Gossard AC (декабрь 2002 г.). "Спин-орбитальная связь, антилокализация и параллельные магнитные поля в квантовых точках". Phys. Rev. Lett . 89 (27): 276803. arXiv : cond-mat/0208436 . Bibcode :2002PhRvL..89A6803Z. doi :10.1103/PhysRevLett.89.276803. PMID  12513231. S2CID  9344722.
14. Бахколл SR (декабрь 1996 г.). «Модель случайной матрицы для сверхпроводников в магнитном поле». Phys. Rev. Lett . 77 (26): 5276–5279. arXiv : cond-mat/9611136 . Bibcode :1996PhRvL..77.5276B. doi :10.1103/PhysRevLett.77.5276. PMID  10062760. S2CID  206326136.
15. Уишарт 1928
16. Tropp, J. (2011). «Удобные для пользователя границы хвоста для сумм случайных матриц». Основы вычислительной математики . 12 (4): 389–434. arXiv : 1004.4389 . doi : 10.1007/s10208-011-9099-z. S2CID  17735965.
17. « Геометрия поверхностей потерь нейронных сетей с помощью теории случайных матриц». ICML'17: Труды 34-й Международной конференции по машинному обучению . 70. S2CID  39515197.
18. Янг, Грег (2022). «Тензорные программы V: настройка больших нейронных сетей с помощью передачи гиперпараметров с нулевого выстрела». arXiv : 2203.03466v2 [cs.LG].
19. фон Нейман и Голдстайн, 1947 г.
20. Эдельман и Рао 2005
21. Китинг, Джон (1993). «Дзета-функция Римана и квантовая хаосология». Proc. Internat. School of Phys. Enrico Fermi . CXIX : 145–185. doi :10.1016/b978-0-444-81588-0.50008-0. ISBN 9780444815880.
22. Mingo, James A.; Speicher, Roland (2017): Свободная вероятность и случайные матрицы. Монографии Института Филдса, том 35, Springer, Нью-Йорк
23. Voiculescu, Dan (1991): "Предельные законы для случайных матриц и свободных произведений". Inventiones mathematicae 104.1: 201-220
24. Sompolinsky, H.; Crisanti, A.; Sommers, H. (июль 1988). «Хаос в случайных нейронных сетях». Physical Review Letters . 61 (3): 259–262. Bibcode : 1988PhRvL..61..259S. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.259. PMID  10039285. S2CID  16967637.
25. Раджан, Канака; Эбботт, Л. (ноябрь 2006 г.). «Спектры собственных значений случайных матриц для нейронных сетей». Physical Review Letters . 97 (18): 188104. Bibcode : 2006PhRvL..97r8104R. doi : 10.1103/PhysRevLett.97.188104. PMID  17155583.
26. Wainrib, Gilles; Touboul, Jonathan (март 2013 г.). «Топологическая и динамическая сложность случайных нейронных сетей». Physical Review Letters . 110 (11): 118101. arXiv : 1210.5082 . Bibcode : 2013PhRvL.110k8101W. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.118101. PMID  25166580. S2CID  1188555.
27. Тимме, Марк; Вольф, Фред; Гейзель, Тео (февраль 2004 г.). «Топологические ограничения скорости сетевой синхронизации». Physical Review Letters . 92 (7): 074101. arXiv : cond-mat/0306512 . Bibcode : 2004PhRvL..92g4101T. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.074101. PMID  14995853. S2CID  5765956.
28. Muir, Dylan; Mrsic-Flogel, Thomas (2015). "Ограничения собственного спектра для полуслучайных матриц с модульной и пространственной структурой для нейронных сетей" (PDF) . Phys. Rev. E . 91 (4): 042808. Bibcode :2015PhRvE..91d2808M. doi :10.1103/PhysRevE.91.042808. PMID  25974548.
29. Vergani, Alberto A.; Martinelli, Samuele; Binaghi, Elisabetta (июль 2019 г.). «Анализ состояния покоя фМРТ с использованием алгоритмов обучения без учителя». Компьютерные методы в биомеханике и биомедицинской инженерии: визуализация и визуализация . 8 (3). Taylor&Francis: 2168–1171. doi :10.1080/21681163.2019.1636413.
30. Бурда, З.; Корнельсен, Дж.; Новак, МА.; Поребски, Б.; Сбото-Франкенштейн, У.; Томанек, Б.; Тибурчик, Дж. (2013). «Коллективные корреляции исследований зон Бродмана фМРТ с подавлением шума с помощью RMT». Acta Physica Polonica B. 44 ( 6): 1243. arXiv : 1306.3825 . Bibcode : 2013AcPPB..44.1243B. doi : 10.5506/APhysPolB.44.1243.
31. Чоу, Грегори П. (1976). Анализ и управление динамическими экономическими системами . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-15616-7.
32. Turnovsky, Stephen (1974). «Свойства стабильности оптимальной экономической политики». American Economic Review . 64 (1): 136–148. JSTOR  1814888.
33. Soize, C. (2005-04-08). "Теория случайных матриц для моделирования неопределенностей в вычислительной механике" (PDF) . Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 194 (12–16): 1333–1366. Bibcode :2005CMAME.194.1333S. doi :10.1016/j.cma.2004.06.038. ISSN  1879-2138. S2CID  58929758.
34. Бохигас, Ориол; Вайденмюллер, Ганс (2015). Акеманн, Гернот; Байк, Джинхо; Ди Франческо, Филипп (ред.). «История – обзор». Academic.oup.com . стр. 15–40. doi : 10.1093/oxfordhb/9780198744191.013.2. ISBN 978-0-19-874419-1. Получено 2024-04-22 .
35. Chiani M (2014). «Распределение наибольшего собственного значения для действительных случайных матриц Уишарта и Гаусса и простое приближение для распределения Трейси-Уидома». Журнал многомерного анализа . 129 : 69–81. arXiv : 1209.3394 . doi : 10.1016/j.jmva.2014.04.002. S2CID  15889291.
36. Портер, CE; Розенцвейг, Н. (1960-01-01). "СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АТОМНЫХ И ЯДЕРНЫХ СПЕКТРОВ". Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A VI . 44 . OSTI  4147616.
37. Ливан, Джакомо; Новаес, Марсель; Виво, Пьерпаоло (2018), Ливан, Джакомо; Новаес, Марсель; Виво, Пьерпаоло (ред.), «Секретные материалы», Введение в случайные матрицы: теория и практика , SpringerBriefs in Mathematical Physics, т. 26, Cham: Springer International Publishing, стр. 15–21, doi : 10.1007/978-3-319-70885-0_3, ISBN 978-3-319-70885-0, получено 2023-05-17
38. Меккес, Элизабет (08.01.2021). «Собственные значения случайных матриц». arXiv : 2101.02928 [math.PR].
39. . Марченко, ВА; Пастур, ЛА (1967). "Распределение собственных значений для некоторых наборов случайных матриц". Математика СССР-Сборник . 1 (4): 457–483. Bibcode :1967SbMat...1..457M. doi :10.1070/SM1967v001n04ABEH001994.
40. Пастур 1973
41. Пастур, Л.; Щербина, М. (1995). «О подходе статистической механики в теории случайных матриц: интегрированная плотность состояний». J. Stat. Phys . 79 (3–4): 585–611. Bibcode :1995JSP....79..585D. doi :10.1007/BF02184872. S2CID  120731790.
42. Йоханссон, К. (1998). «О колебаниях собственных значений случайных эрмитовых матриц». Duke Math. J . 91 (1): 151–204. doi :10.1215/S0012-7094-98-09108-6.
43. Пастур, LA (2005). "Простой подход к глобальному режиму гауссовых ансамблей случайных матриц". Украинский математический журнал . 57 (6): 936–966. doi :10.1007/s11253-005-0241-4. S2CID  121531907.
44. Харнад, Джон (15 июля 2013 г.). Случайные матрицы, случайные процессы и интегрируемые системы . Springer. стр. 263–266. ISBN 978-1461428770.
45. Erdős, László; Schlein, Benjamin; Yau, Horng-Tzer (апрель 2009 г.). «Локальный полукруговой закон и полная делокализация для случайных матриц Вигнера». Communications in Mathematical Physics . 287 (2): 641–655. arXiv : 0803.0542 . Bibcode : 2009CMaPh.287..641E. doi : 10.1007/s00220-008-0636-9. ISSN  0010-3616.
46. Bourgade, Paul; Yau, Horng-Tzer; Yin, Jun (2014-08-01). "Локальный круговой закон для случайных матриц". Теория вероятностей и смежные области . 159 (3): 545–595. arXiv : 1206.1449 . doi :10.1007/s00440-013-0514-z. ISSN  1432-2064.
47. Пастур, Л.; Щербина, М. (1997). «Универсальность локальной статистики собственных значений для класса унитарных инвариантных случайных матричных ансамблей». Журнал статистической физики . 86 (1–2): 109–147. Bibcode :1997JSP....86..109P. doi :10.1007/BF02180200. S2CID  15117770.
48. Deift, P.; Kriecherbauer, T.; McLaughlin, KT-R.; Venakides, S.; Zhou, X. (1997). "Asymptotics for polynomials orthogonal with variable exponential weights". International Mathematics Research Notices . 1997 (16): 759–782. doi : 10.1155/S1073792897000500 .
49. Erdős, L.; Péché, S .; Ramírez, JA; Schlein, B.; Yau, HT (2010). «Универсальность в объеме для матриц Вигнера». Communications on Pure and Applied Mathematics . 63 (7): 895–925. arXiv : 0905.4176 . doi : 10.1002/cpa.20317.
50. Тао, Теренс ; Ву, Ван Х. (2010). «Случайные матрицы: универсальность локальной статистики собственных значений вплоть до края». Communications in Mathematical Physics . 298 (2): 549–572. arXiv : 0908.1982 . Bibcode : 2010CMaPh.298..549T. doi : 10.1007/s00220-010-1044-5. S2CID  16594369.
51. Райдер, Б. (28.03.2003). «Предельная теорема на краю неэрмитового случайного матричного ансамбля». Журнал физики A: Mathematical and General . 36 (12): 3401–3409. Bibcode : 2003JPhA...36.3401R. doi : 10.1088/0305-4470/36/12/331. ISSN  0305-4470.

Внешние ссылки

• Федоров, Ю. (2011). "Теория случайных матриц". Scholarpedia . 6 (3): 9886. Bibcode :2011SchpJ...6.9886F. doi : 10.4249/scholarpedia.9886 .
• Вайсштейн, Э.В. «Случайная матрица». Вольфрам Математический мир.