Ортонормированный базис

Конкретный линейный базис (математика)

В математике , особенно в линейной алгебре , ортонормированный базис для пространства внутреннего произведения V с конечной размерностью — это базис , векторы которого ортонормированы , то есть все они являются единичными векторами и ортогональны друг другу. ^{[1] [2] [3]} Например, стандартным базисом евклидова пространства является ортонормированный базис, где соответствующим внутренним произведением является скалярное произведение векторов. Образ стандартного базиса при вращении или отражении ( или любом ортогональном преобразовании ) также ортонормирован, и каждый ортонормированный базис возникает таким образом. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Для общего пространства внутреннего продукта ортонормированный базис может использоваться для определения нормализованных ортогональных координат . В соответствии с этими координатами внутренний продукт становится скалярным произведением векторов. Таким образом, наличие ортонормированного базиса сводит исследование конечномерного пространства скалярного произведения к изучению скалярного произведения. Каждое конечномерное пространство внутреннего продукта имеет ортонормированный базис, который можно получить из произвольного базиса с помощью процесса Грама – Шмидта . ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В функциональном анализе концепция ортонормированного базиса может быть обобщена на произвольные (бесконечномерные) пространства внутреннего произведения . ^[4] Для данного прегильбертова пространства ортонормированный базис представляет собой ортонормированный набор векторов, обладающий тем свойством, что каждый вектор в нем можно записать как бесконечную линейную комбинацию векторов базиса. В этом случае ортонормированный базис иногда называют базисом Гильберта. Обратите внимание, что ортонормированный базис в этом смысле обычно не является базисом Гамеля , поскольку требуются бесконечные линейные комбинации. ^[5] В частности, линейная оболочка базиса должна быть плотной, но не может занимать все пространство. ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H,}$

Если мы перейдем к гильбертовым пространствам , неортонормированный набор векторов, имеющий ту же линейную длину, что и ортонормированный базис, может вообще не быть базисом. Например, любая интегрируемая с квадратом функция на интервале может быть выражена ( почти всюду ) как бесконечная сумма полиномов Лежандра (ортонормированный базис), но не обязательно как бесконечная сумма мономов ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x^{n}.}$

Другое обобщение относится к пространствам псевдовнутренних произведений, конечномерным векторным пространствам, снабженным невырожденной симметричной билинейной формой, известной как метрический тензор . В таком базисе метрика принимает вид с положительными и отрицательными. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Примеры

• Для набор векторов называется стандартным базисом и образует ортонормированный базис относительно стандартного скалярного произведения. Обратите внимание, что как стандартный базис, так и стандартное скалярное произведение рассматриваются как декартово произведение. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left\{e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  Доказательство: простое вычисление показывает, что скалярные произведения этих векторов равны нулю и что каждая из их величин равна единице. Это означает, что это ортонормированный набор. Все векторы можно выразить как сумму базисных векторов, масштабированных ${\displaystyle \left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{3}\right\rangle =\left\langle e_{2},e_{3}\right\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\|e_{1}\right\|=\left\|e_{2}\right\|=\left\|e_{3}\right\|=1.}$ ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\}}$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$

  $${\displaystyle (x,y,z)=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3},}$$

  поэтому охватывает и, следовательно, должно быть основой. Можно также показать, что стандартный базис, повернутый вокруг оси, проходящей через начало координат, или отраженный в плоскости, проходящей через начало координат, также образует ортонормированный базис . ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• Для стандартный базис и внутренний продукт определяются аналогично. Любой другой ортонормированный базис связан со стандартным базисом ортогональным преобразованием в группе O(n). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Для псевдоевклидова пространства ортогональный базис с метрикой вместо этого удовлетворяет условиям if , if и if . Любые два ортонормированных базиса связаны псевдоортогональным преобразованием. В случае это преобразования Лоренца. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$ ${\displaystyle \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$ ${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$ ${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$
• Множество где обозначает показательную функцию , образует ортонормированный базис пространства функций с конечными интегралами Лебега относительно 2-нормы . Это фундаментально для изучения рядов Фурье . ${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$
• Набор с if и иначе образует ортонормированный базис ${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$ ${\displaystyle e_{b}(c)=1}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle e_{b}(c)=0}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• Собственные функции задачи Штурма–Лиувилля .
• Векторы -столбцы ортогональной матрицы образуют ортонормированный набор.

Основная формула

Если это ортогональный базис, то каждый элемент можно записать как ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle x\in H}$

$${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

Когда ортонормировано, это упрощается до ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$

может ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

Даже если is uncountable , только счетное число членов этой суммы будет ненулевым, и поэтому выражение корректно определено. Эту сумму также называют разложением Фурье , а формулу обычно называют тождеством Парсеваля . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x,}$

Если - ортонормированный базис, то он изоморфен в следующем смысле: существует биективное линейное отображение такое, что ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ ${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$

$${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

Неполные ортогональные множества

Учитывая гильбертово пространство и набор взаимно ортогональных векторов, мы можем взять наименьшее замкнутое линейное подпространство , содержащее Тогда будет ортогональный базис, который, конечно, может быть меньше самого себя , будучи неполным ортогональным набором, или быть, когда он является полный ортогональный набор. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V;}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$

Существование

Используя лемму Цорна и процесс Грама – Шмидта (или, проще говоря, хорошо упорядоченную и трансфинитную рекурсию), можно показать, что каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; ^[6] кроме того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность (это можно доказать способом, аналогичным доказательству обычной теоремы о размерности для векторных пространств , с отдельными случаями, зависящими от того, является ли больший кандидат в базис счетно или нет). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. (Последнее утверждение можно доказать, не используя аксиому выбора.)

Выбор базиса как выбор изоморфизма

Для конкретности мы обсуждаем ортонормированные базисы для вещественного размерного векторного пространства с положительно определенной симметричной билинейной формой . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Один из способов рассматривать ортонормированный базис относительно - это набор векторов , которые позволяют нам писать для , и или . По отношению к этой основе компоненты особенно просты: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$ ${\displaystyle v=v^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}.}$

Теперь мы можем рассматривать базис как карту , которая является изоморфизмом пространств внутреннего произведения: чтобы сделать это более явным, мы можем написать ${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

Явно мы можем написать, где находится двойственный базисный элемент для . ${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$ ${\displaystyle e^{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Обратное - это карта компонентов

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

Эти определения показывают, что существует биекция

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

Пространство изоморфизмов допускает действия ортогональных групп как на стороне, так и на стороне. Для конкретности мы фиксируем изоморфизмы в направлении и рассматриваем пространство таких отображений . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$

Это пространство допускает левое действие группы изометрий , то есть такое , что с действием, заданным композицией: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$ ${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

Это пространство также допускает правильное действие группой изометрий , то есть , с действием, снова заданным композицией: . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$

Как главное однородное пространство

Множество ортонормированных базисов со стандартным скалярным произведением является главным однородным пространством или G-торсором ортогональной группы и называется многообразием Штифеля ортонормированных -фреймов . ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$ ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n}$

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: в пространстве ортонормированных базисов нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он дан, появляется один -однозначное соответствие между основаниями и ортогональной группой. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет данный базис: точно так же, как обратимое отображение может перевести любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может перевести любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

Другие многообразия Стифеля для неполных ортонормированных базисов (ортонормальных -фреймов ) по-прежнему являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главными однородными пространствами: любой -фрейм может быть переведен в любой другой -фрейм с помощью ортогонального отображения, но это отображение не является однозначно определяется. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

• Множество ортонормированных базисов для является G-торсором для . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$
• Множество ортонормированных базисов для является G-торсором для . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$
• Множество ортонормированных базисов для является G-торсором для . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$ ${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$
• Множество правых ортонормированных базисов для является G-торсором для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

Смотрите также

• Ортогональный базис
• Базис (линейная алгебра)  - набор векторов, используемых для определения координат.
• Ортонормальная система координат  – Евклидово пространство без расстояний и углов.
• Базис Шаудера  – вычислительный инструмент
• Общее множество  - подмножество топологического векторного пространства, линейная оболочка которого плотна.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Рекомендации

1. Лэй, Дэвид К. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 0-321-28713-4.
2. Стрэнг, Гилберт (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул . ISBN 0-03-010567-6.
3. Экслер, Шелдон (2002). Линейная алгебра сделана правильно (2-е изд.). Спрингер . ISBN 0-387-98258-2.
4. Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . МакГроу-Хилл . ISBN 0-07-054234-1.
5. Роман 2008, с. 218, гл. 9.
6. Авторы линейного функционального анализа: Ринн, Брайан, Янгсон, Массачусетс, стр. 79.
7. "Факультет КУ". engfac.cooper.edu . Проверено 15 апреля 2021 г.

• Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике (Третье изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-72828-5.(стр. 218, гл.9)
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.

Внешние ссылки

• В этом сообщении Stack Exchange обсуждается, почему набор дельта-функций Дирака не является основой L ² ([0,1]).