Гильбертово пространство

Тип топологического векторного пространства

Состояние колеблющейся струны можно смоделировать как точку в гильбертовом пространстве. Разложение колеблющейся струны на ее колебания в отдельных обертонах задается проекцией точки на оси координат в пространстве.

В математике гильбертовы пространства (названные в честь Дэвида Гильберта ) позволяют обобщать методы линейной алгебры и исчисления с (конечномерных) евклидовых векторных пространств на пространства, которые могут быть бесконечномерными . Гильбертовы пространства естественным образом и часто возникают в математике и физике , как правило, как функциональные пространства . Формально гильбертово пространство — это векторное пространство, снабженное скалярным произведением , которое индуцирует функцию расстояния , для которой пространство является полным метрическим пространством . Гильбертово пространство — это частный случай банахова пространства .

Самые ранние гильбертовы пространства изучались с этой точки зрения в первом десятилетии 20-го века Дэвидом Гильбертом , Эрхардом Шмидтом и Фридьешем Риссом . Они являются незаменимыми инструментами в теориях уравнений с частными производными , квантовой механике , анализе Фурье (который включает приложения к обработке сигналов и теплопередаче ) и эргодической теории (которая образует математическую основу термодинамики ). Джон фон Нейман ввел термин гильбертово пространство для абстрактной концепции, которая лежит в основе многих из этих разнообразных приложений. Успех методов гильбертова пространства открыл очень плодотворную эру для функционального анализа . Помимо классических евклидовых векторных пространств, примерами гильбертовых пространств являются пространства квадратично-интегрируемых функций , пространства последовательностей , пространства Соболева, состоящие из обобщенных функций , и пространства Харди голоморфных функций .

Геометрическая интуиция играет важную роль во многих аспектах теории гильбертова пространства. Точные аналоги теоремы Пифагора и закона параллелограмма справедливы в гильбертовом пространстве. На более глубоком уровне перпендикулярная проекция на линейное подпространство играет важную роль в задачах оптимизации и других аспектах теории. Элемент гильбертова пространства может быть однозначно задан его координатами относительно ортонормированного базиса , по аналогии с декартовыми координатами в классической геометрии. Когда этот базис счетно бесконечен , он позволяет отождествить гильбертово пространство с пространством бесконечных последовательностей , которые суммируются с квадратом . Последнее пространство часто в старой литературе называют гильбертовым пространством.

Определение и иллюстрация

Мотивирующий пример: Евклидово векторное пространство

Одним из наиболее известных примеров гильбертова пространства является евклидово векторное пространство , состоящее из трехмерных векторов , обозначаемое как R ³ , и снабженное скалярным произведением . Скалярное произведение берет два вектора x и y и производит действительное число x ⋅ y . Если x и y представлены в декартовых координатах , то скалярное произведение определяется как $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}$$

Скалярное произведение удовлетворяет свойствам ^[1]

1. Он симметричен относительно x и y : x ⋅ y = y ⋅ x .
2. Он линеен по своему первому аргументу: ( a x ₁ + b x ₂ ) ⋅ y = a ( x ₁ ⋅ y ) + b ( x ₂ ⋅ y ) для любых скаляров a , b и векторов x ₁ , x ₂ и y .
3. Он положительно определен : для всех векторов x , x ⋅ x ≥ 0 , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x = 0 .

Операция над парами векторов, которая, подобно скалярному произведению, удовлетворяет этим трем свойствам, известна как (реальное) скалярное произведение . Векторные пространства, снабженные таким скалярным произведением, известны как (реальное) скалярное произведение . Каждое конечномерное скалярное произведение также является гильбертовым пространством. ^[2] Основная особенность скалярного произведения, которая связывает его с евклидовой геометрией, заключается в том, что оно связано как с длиной (или нормой ) вектора, обозначаемого ‖ x ‖ , так и с углом θ между двумя векторами x и y посредством формулы $${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}$$

Полнота означает, что ряд векторов (синего цвета) приводит к четко определенному вектору чистого смещения (оранжевого цвета).

Многомерное исчисление в евклидовом пространстве опирается на способность вычислять пределы и иметь полезные критерии для заключения о существовании пределов. Математический ряд, состоящий из векторов в R ^{3 ,} абсолютно сходится при условии, что сумма длин сходится как обычный ряд действительных чисел: ^[3] $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}$$

Так же, как и ряд скаляров, ряд векторов, который сходится абсолютно, также сходится к некоторому предельному вектору L в евклидовом пространстве, в том смысле, что $${\displaystyle {\Biggl \|}\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}{\Biggr \|}\to 0\quad {\text{as }}N\to \infty \,.}$$

Это свойство выражает полноту евклидова пространства: ряд, который сходится абсолютно, сходится и в обычном смысле.

Гильбертовы пространства часто берутся над комплексными числами . Комплексная плоскость , обозначенная C , снабжена понятием величины, комплексным модулем | z | , который определяется как квадратный корень из произведения z на его комплексно сопряженное число : $${\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}$$

Если z = x + iy — разложение z на действительную и мнимую части, то модуль — это обычная евклидова двумерная длина: $${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}$$

Скалярное произведение пары комплексных чисел z и w — это произведение z на комплексно сопряженное число w : $${\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}$$

Это комплекснозначное. Действительная часть ⟨ z , w ⟩ дает обычное двумерное евклидово скалярное произведение .

Вторым примером является пространство C ^{2 ,} элементами которого являются пары комплексных чисел z = ( z ₁ , z ₂ ) . Тогда скалярное произведение z с другим таким вектором w = ( w ₁ , w ₂ ) задается как $${\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w_{1}}}+z_{2}{\overline {w_{2}}}\,.}$$

Действительная часть ⟨ z , w ⟩ тогда является двумерным евклидовым скалярным произведением. Это внутреннее произведение является эрмитово симметричным, что означает, что результат перестановки z и w является комплексно сопряженным: $${\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}$$

Определение

Гильбертово пространство — это действительное или комплексное пространство скалярного произведения , которое также является полным метрическим пространством относительно функции расстояния, индуцированной скалярным произведением. ^[4]

Сказать, что комплексное векторное пространство H является комплексным пространством скалярного произведения, означает, что существует скалярное произведение, сопоставляющее комплексное число каждой паре элементов H , которое удовлетворяет следующим свойствам: ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x,y}$

1. Скалярное произведение является сопряженно симметричным; то есть скалярное произведение пары элементов равно комплексно сопряженному скалярному произведению поменянных элементов: Важно отметить, что это означает, что является действительным числом. $${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$
2. Скалярное произведение линейно по первому ^{[nb 1]} аргументу. Для всех комплексных чисел и ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ $${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}$$
3. Внутреннее произведение элемента на самого себя положительно определено : $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}}$$

Из свойств 1 и 2 следует, что комплексное скалярное произведение является антилинейным , также называемым сопряженно-линейным , по своему второму аргументу, что означает, что $${\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}$$

Действительное внутреннее произведение пространства определяется таким же образом, за исключением того, что H является действительным векторным пространством, а внутреннее произведение принимает действительные значения. Такое внутреннее произведение будет билинейным отображением и будет образовывать двойственную систему . ^[5] ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

Норма — это действительная функция , а расстояние между двумя точками в H определяется через норму следующим образом: $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x,y}$ $${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}$$

То, что эта функция является функцией расстояния, означает, во-первых, что она симметрична относительно , ​​а во-вторых, что расстояние между и само по себе равно нулю, а в противном случае расстояние между и должно быть положительным, и, наконец, что выполняется неравенство треугольника , означающее, что длина одного катета треугольника xyz не может превышать сумму длин двух других катетов: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}$$

Последнее свойство в конечном итоге является следствием более фундаментального неравенства Коши–Шварца , которое утверждает равенство тогда и только тогда, когда и линейно зависимы . $${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

При заданной таким образом функции расстояния любое пространство внутреннего произведения является метрическим пространством и иногда называется хаусдорфовым предгильбертовым пространством . ^[6] Любое предгильбертово пространство, которое дополнительно является также полным пространством, является гильбертовым пространством. ^[7]

Полнота H выражается с помощью формы критерия Коши для последовательностей в H : предгильбертово пространство H является полным, если каждая последовательность Коши сходится относительно этой нормы к элементу в пространстве. Полноту можно охарактеризовать следующим эквивалентным условием: если ряд векторов сходится абсолютно в том смысле, что , то ряд сходится в H , в том смысле, что частичные суммы сходятся к элементу H . ^[8] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}$$

Как полное нормированное пространство, гильбертовы пространства по определению также являются банаховыми пространствами . Как таковые они являются топологическими векторными пространствами , в которых топологические понятия, такие как открытость и замкнутость подмножеств, хорошо определены . Особое значение имеет понятие замкнутого линейного подпространства гильбертова пространства, которое со скалярным произведением, индуцированным ограничением , также является полным (будучи замкнутым множеством в полном метрическом пространстве) и, следовательно, гильбертовым пространством само по себе.

Второй пример: пространства последовательностей

Пространство последовательностей l ² состоит из всех бесконечных последовательностей z = ( z ₁ , z ₂ , …) комплексных чисел, таких, что сходится следующий ряд : ^[9] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}$$

Скалярное произведение на l ² определяется как: $${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w_{n}}}\,,}$$

Этот второй ряд сходится вследствие неравенства Коши–Шварца и сходимости предыдущего ряда.

Полнота пространства сохраняется при условии, что всякий раз, когда ряд элементов из l ² сходится абсолютно (по норме), то он сходится к элементу из l ² . Доказательство является базовым в математическом анализе и позволяет манипулировать математическими рядами элементов пространства с той же легкостью, что и рядами комплексных чисел (или векторов в конечномерном евклидовом пространстве). ^[10]

История

Дэвид Гилберт

До разработки пространств Гильберта математикам и физикам были известны другие обобщения евклидовых пространств . В частности, идея абстрактного линейного пространства (векторного пространства) приобрела некоторую популярность к концу 19-го века: ^[11] это пространство, элементы которого можно складывать и умножать на скаляры (такие как действительные или комплексные числа ) без обязательного отождествления этих элементов с «геометрическими» векторами , такими как векторы положения и импульса в физических системах. Другие объекты, изучаемые математиками на рубеже 20-го века, в частности пространства последовательностей (включая ряды ) и пространства функций, ^[12] можно естественным образом рассматривать как линейные пространства. Функции, например, можно складывать или умножать на постоянные скаляры, и эти операции подчиняются алгебраическим законам, которым удовлетворяют сложение и скалярное умножение пространственных векторов.

В первом десятилетии 20-го века параллельные разработки привели к введению пространств Гильберта. Первым из них было наблюдение, возникшее во время изучения интегральных уравнений Дэвидом Гильбертом и Эрхардом Шмидтом ^[13] , что две квадратично интегрируемые действительные функции f и g на интервале [ a , b ] имеют скалярное произведение

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

который имеет много знакомых свойств евклидова скалярного произведения. В частности, идея ортогонального семейства функций имеет смысл. Шмидт использовал сходство этого скалярного произведения с обычным скалярным произведением, чтобы доказать аналог спектрального разложения для оператора вида

${\displaystyle f(x)\mapsto \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

где K — непрерывная функция, симметричная относительно x и y . Полученное разложение по собственным функциям выражает функцию K в виде ряда вида

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}\lambda _{n}\varphi _{n}(x)\varphi _{n}(y)}$

где функции φ _n ортогональны в том смысле, что ⟨ φ _n , φ _m ⟩ = 0 для всех n ≠ m . Отдельные члены в этом ряду иногда называют элементарными решениями произведений. Однако существуют разложения собственных функций, которые не сходятся в подходящем смысле к квадратично интегрируемой функции: недостающим ингредиентом, который обеспечивает сходимость, является полнота. ^[14]

Вторым достижением стал интеграл Лебега , альтернатива интегралу Римана, введенному Анри Лебегом в 1904 году . ^[15] Интеграл Лебега позволил интегрировать гораздо более широкий класс функций. В 1907 году Фридьеш Рисс и Эрнст Сигизмунд Фишер независимо доказали, что пространство L2 ^{функций} , интегрируемых по Лебегу с квадратом, является полным метрическим пространством . ^[16] Вследствие взаимодействия геометрии и полноты результаты 19-го века Жозефа Фурье , Фридриха Бесселя и Марка-Антуана Парсеваля по тригонометрическим рядам легко переносились на эти более общие пространства, что привело к геометрическому и аналитическому аппарату, который теперь обычно известен как теорема Рисса–Фишера . ^[17]

Дальнейшие основные результаты были доказаны в начале 20-го века. Например, теорема о представлении Рисса была независимо установлена ​​Морисом Фреше и Фридьесом Риссом в 1907 году. ^[18] Джон фон Нейман ввел термин абстрактное гильбертово пространство в своей работе о неограниченных эрмитовых операторах . ^[19] Хотя другие математики, такие как Герман Вейль и Норберт Винер, уже изучали конкретные гильбертовы пространства очень подробно, часто с физически мотивированной точки зрения, фон Нейман дал первое полное и аксиоматическое их рассмотрение. ^[20] Фон Нейман позже использовал их в своей основополагающей работе по основам квантовой механики, ^[21] и в своей дальнейшей работе с Юджином Вигнером . Название «гильбертово пространство» вскоре было принято другими, например, Германом Вейлем в его книге о квантовой механике и теории групп. ^[22]

Значимость концепции гильбертова пространства была подчеркнута осознанием того, что оно предлагает одну из лучших математических формулировок квантовой механики . ^[23] Короче говоря, состояния квантово-механической системы являются векторами в определенном гильбертовом пространстве, наблюдаемые являются эрмитовыми операторами в этом пространстве, симметрии системы являются унитарными операторами , а измерения являются ортогональными проекциями . Связь между квантово-механическими симметриями и унитарными операторами дала толчок развитию унитарной теории представления групп , начатой ​​в работе Германа Вейля 1928 года. ^[22] С другой стороны, в начале 1930-х годов стало ясно, что классическая механика может быть описана в терминах гильбертова пространства ( классическая механика Купмана–фон Неймана ) и что определенные свойства классических динамических систем могут быть проанализированы с использованием методов гильбертова пространства в рамках эргодической теории . ^[24]

Алгебра наблюдаемых в квантовой механике, естественно, является алгеброй операторов, определенных в гильбертовом пространстве, согласно формулировке квантовой теории в матричной механике Вернера Гейзенберга . ^[25] Фон Нейман начал исследовать операторные алгебры в 1930-х годах как кольца операторов в гильбертовом пространстве. Вид алгебр, изученный фон Нейманом и его современниками, теперь известен как алгебры фон Неймана . ^[26] В 1940-х годах Израиль Гельфанд , Марк Наймарк и Ирвинг Сигал дали определение вида операторных алгебр, называемых C*-алгебрами , которые, с одной стороны, не ссылались на лежащее в основе гильбертово пространство, а с другой стороны, экстраполировали многие полезные особенности операторных алгебр, которые ранее изучались. Спектральная теорема для самосопряженных операторов, в частности, лежащая в основе большей части существующей теории гильбертова пространства, была обобщена на C*-алгебры. ^[27] Эти методы теперь являются основными в абстрактном гармоническом анализе и теории представлений.

Примеры

Пространства Лебега

^{Пространства} Лебега — это функциональные пространства , связанные с пространствами мер ( X , M , μ ) , где X — множество, M — σ-алгебра подмножеств X , а μ — счетно-аддитивная мера на M. Пусть L2 ( X , μ ) — пространство тех комплекснозначных измеримых функций на X, для которых интеграл Лебега квадрата абсолютной величины функции конечен, т. е. для функции f из L2 ( X , μ ) , и где функции идентифицируются тогда и только тогда, когда они различаются только на ^{множестве} меры нуль . $${\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\mathrm {d} \mu <\infty \,,}$$

Тогда внутреннее произведение функций f и g в L ² ( X , μ ) определяется как или $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)}$$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}$$

где вторая форма (сопряженность первого элемента) обычно встречается в литературе по теоретической физике . Для f и g в L ² интеграл существует из-за неравенства Коши–Шварца и определяет скалярное произведение на пространстве. Оснащенное этим скалярным произведением, L ² фактически является полным. ^[28] Интеграл Лебега необходим для обеспечения полноты: например, в областях действительных чисел недостаточно функций, интегрируемых по Риману . ^[29]

Пространства Лебега появляются во многих естественных ситуациях. Пространства L ² ( R ) и L ² ([0,1]) квадратично-интегрируемых функций относительно меры Лебега на действительной прямой и единичном интервале соответственно являются естественными областями, на которых определяются преобразование Фурье и ряд Фурье. В других ситуациях мера может быть чем-то иным, чем обычная мера Лебега на действительной прямой. Например, если w — любая положительная измеримая функция, пространство всех измеримых функций f на интервале [0, 1], удовлетворяющих , называется весовым пространством L 2 L $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }$$ ²
_нед.([0, 1]) , а w называется весовой функцией. Внутренний продукт определяется как $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

Взвешенное пространство L²
_нед.([0, 1]) идентично гильбертову пространству L ² ([0, 1], μ ) , где мера μ измеримого по Лебегу множества A определяется как $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

Взвешенные пространства L2 ^, подобные этому, часто используются для изучения ортогональных многочленов , поскольку различные семейства ортогональных многочленов ортогональны относительно различных весовых функций. ^[30]

Соболевские пространства

Пространства Соболева , обозначаемые как H ^s или W ^{s , 2} , являются пространствами Гильберта. Это особый вид функционального пространства , в котором может быть выполнено дифференцирование , но которое (в отличие от других банаховых пространств, таких как пространства Гёльдера ) поддерживает структуру скалярного произведения. Поскольку дифференцирование разрешено, пространства Соболева являются удобной средой для теории уравнений с частными производными . ^[31] Они также составляют основу теории прямых методов в вариационном исчислении . ^[32]

Для s — неотрицательного целого числа и Ω ⊂ R ⁿ пространство Соболева H ^s (Ω) содержит L ² функций, слабые производные порядка до s которых также являются L ² . Скалярное произведение в H ^s (Ω) — это где точка обозначает скалярное произведение в евклидовом пространстве частных производных каждого порядка. Пространства Соболева также могут быть определены, когда s не является целым числом. $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$$

Пространства Соболева также изучаются с точки зрения спектральной теории, опираясь более конкретно на структуру пространства Гильберта. Если Ω является подходящей областью, то можно определить пространство Соболева H ^s (Ω) как пространство потенциалов Бесселя ; ^[33] грубо говоря, $${\displaystyle H^{s}(\Omega )=\left\{(1-\Delta )^{-s/2}f\mathrel {\Big |} f\in L^{2}(\Omega )\right\}\,.}$$

Здесь Δ — лапласиан, а (1 − Δ) ^{− s  / 2} понимается в терминах теоремы о спектральном отображении . Помимо предоставления работоспособного определения пространств Соболева для нецелых s , это определение также имеет особенно желательные свойства относительно преобразования Фурье , которые делают его идеальным для изучения псевдодифференциальных операторов . Используя эти методы на компактном римановом многообразии , можно получить, например, разложение Ходжа , которое является основой теории Ходжа . ^[34]

Пространства голоморфных функций

Харди пространства

Пространства Харди — это функциональные пространства, возникающие в комплексном анализе и гармоническом анализе , элементами которых являются некоторые голоморфные функции в комплексной области. ^[35] Пусть U обозначает единичный круг в комплексной плоскости. Тогда пространство Харди H ² ( U ) определяется как пространство голоморфных функций f на U таких, что средние

$${\displaystyle M_{r}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f{\bigl (}re^{i\theta }{\bigr )}\right|^{2}\,\mathrm {d} \theta }$$

остаются ограниченными при r < 1. Норма в этом пространстве Харди определяется как $${\displaystyle \left\|f\right\|_{2}=\lim _{r\to 1}{\sqrt {M_{r}(f)}}\,.}$$

Пространства Харди в круге связаны с рядами Фурье. Функция f принадлежит H ² ( U ) тогда и только тогда, когда , где $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \,.}$$

Таким образом, H ² ( U ) состоит из тех функций, которые являются L ² на окружности, и отрицательные частотные коэффициенты Фурье которых обращаются в нуль.

Пространства Бергмана

Пространства Бергмана — это еще одно семейство гильбертовых пространств голоморфных функций. ^[36] Пусть D — ограниченное открытое множество в комплексной плоскости (или многомерное комплексное пространство), а L ^{2, h} ( D ) — пространство голоморфных функций f в D , которые также находятся в L ² ( D ) в том смысле, что $${\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{D}|f(z)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (z)<\infty \,,}$$

где интеграл берется относительно меры Лебега в D . Очевидно, что L ^{2, h} ( D ) является подпространством L ² ( D ) ; на самом деле, это замкнутое подпространство, и, следовательно, само по себе гильбертово пространство. Это является следствием оценки, справедливой на компактных подмножествах K из D , которая , в свою очередь, следует из интегральной формулы Коши . Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L ² ( D ) влечет также компактную сходимость , и, следовательно, предельная функция также голоморфна. Другим следствием этого неравенства является то, что линейный функционал, который оценивает функцию f в точке D , на самом деле непрерывен на L ^{2, h} ( D ) . Теорема о представлении Рисса подразумевает, что функционал оценки может быть представлен как элемент L ^{2, h} ( D ) . Таким образом, для каждого z ∈ D существует функция η _z ∈ L ^{2, h} ( D ) такая , что для всех f ∈ L ^{2, h} ( D ) . Подынтегральное выражение известно как ядро ​​Бергмана D . Это интегральное ядро ​​удовлетворяет воспроизводящему свойству $${\displaystyle \sup _{z\in K}\left|f(z)\right|\leq C_{K}\left\|f\right\|_{2}\,,}$$ $${\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,\mathrm {d} \mu (\zeta )}$$ $${\displaystyle K(\zeta ,z)={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}}$$ $${\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta )K(\zeta ,z)\,\mathrm {d} \mu (\zeta )\,.}$$

Пространство Бергмана является примером воспроизводящего ядра Гильбертова пространства , которое является гильбертовым пространством функций вместе с ядром K ( ζ , z ), которое проверяет свойство воспроизводства, аналогичное этому. Пространство Харди H ² ( D ) также допускает воспроизводящее ядро, известное как ядро ​​Сегё . ^[37] Воспроизводящие ядра распространены и в других областях математики. Например, в гармоническом анализе ядро ​​Пуассона является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства квадратично-интегрируемых гармонических функций в единичном шаре . То, что последнее вообще является гильбертовым пространством, является следствием теоремы о среднем значении для гармонических функций.

Приложения

Многие приложения гильбертовых пространств используют тот факт, что гильбертовы пространства поддерживают обобщения простых геометрических понятий, таких как проекция и изменение базиса из их обычной конечномерной установки. В частности, спектральная теория непрерывных самосопряженных линейных операторов в гильбертовом пространстве обобщает обычное спектральное разложение матрицы , и это часто играет важную роль в приложениях теории к другим областям математики и физики.

Теория Штурма–Лиувилля

Обертоны вибрирующей струны. Это собственные функции связанной задачи Штурма–Лиувилля. Собственные значения 1, ⁠1/2⁠ , ⁠1/3⁠ , ... образуют (музыкальный) гармонический ряд .

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений спектральные методы на подходящем гильбертовом пространстве используются для изучения поведения собственных значений и собственных функций дифференциальных уравнений. Например, проблема Штурма–Лиувилля возникает при изучении гармоник волн в струне скрипки или барабане и является центральной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях . ^[38] Задача представляет собой дифференциальное уравнение вида для неизвестной функции y на интервале [ a , b ] , удовлетворяющее общим однородным граничным условиям Робина Функции p , q и w заданы заранее, и задача состоит в том, чтобы найти функцию y и константы λ, для которых уравнение имеет решение. Задача имеет решения только для определенных значений λ , называемых собственными значениями системы, и это является следствием спектральной теоремы для компактных операторов , примененной к интегральному оператору, определяемому функцией Грина для системы. Более того, еще одним следствием этого общего результата является то, что собственные значения λ системы могут быть расположены в возрастающей последовательности, стремящейся к бесконечности. ^{[39] [nb 2]} $${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}}$$

Уравнения с частными производными

Гильбертовы пространства образуют основной инструмент в изучении уравнений с частными производными . ^[31] Для многих классов уравнений с частными производными, таких как линейные эллиптические уравнения , можно рассмотреть обобщенное решение (известное как слабое решение) путем расширения класса функций. Многие слабые формулировки включают класс функций Соболева , который является гильбертовым пространством. Подходящая слабая формулировка сводится к геометрической задаче, аналитической задаче нахождения решения или, что часто более важно, демонстрации того, что решение существует и является единственным для заданных граничных данных. Для линейных эллиптических уравнений одним геометрическим результатом, который обеспечивает однозначную разрешимость для большого класса задач, является теорема Лакса–Мильгрэма . Эта стратегия образует рудимент метода Галеркина ( метода конечных элементов ) для численного решения уравнений с частными производными. ^[40]

Типичным примером является уравнение Пуассона −Δ u = g с граничными условиями Дирихле в ограниченной области Ω в R ^2. Слабая формулировка состоит в нахождении функции u такой, что для всех непрерывно дифференцируемых функций v в Ω , обращающихся в нуль на границе: $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.}$$

Это можно переформулировать в терминах гильбертова пространства H¹
₀(Ω), состоящая из функций u таких, что u , вместе со своими слабыми частными производными, квадратично интегрируемы на Ω и исчезают на границе. Тогда вопрос сводится к нахождению u в этом пространстве, такого, что для всех v в этом пространстве $${\displaystyle a(u,v)=b(v)}$$

где a — непрерывная билинейная форма , а b — непрерывный линейный функционал , заданный соответственно формулами $${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.}$$

Поскольку уравнение Пуассона является эллиптическим , то из неравенства Пуанкаре следует, что билинейная форма a является коэрцитивной . Теорема Лакса–Мильграма тогда гарантирует существование и единственность решений этого уравнения. ^[41]

Гильбертовы пространства позволяют формулировать многие эллиптические уравнения в частных производных аналогичным образом, и теорема Лакса–Милгрэма является тогда основным инструментом в их анализе. С подходящими модификациями подобные методы могут быть применены к параболическим уравнениям в частных производных и некоторым гиперболическим уравнениям в частных производных . ^[42]

Эргодическая теория

Траектория бильярдного шара на стадионе Бунимовича описывается эргодической динамической системой .

Область эргодической теории — это изучение долгосрочного поведения хаотических динамических систем . Типичным случаем области, к которой применяется эргодическая теория, является термодинамика , в которой — хотя микроскопическое состояние системы чрезвычайно сложно (невозможно понять совокупность отдельных столкновений между частицами материи) — среднее поведение на достаточно длительных интервалах времени поддается изучению. Законы термодинамики — это утверждения о таком среднем поведении. В частности, одна из формулировок нулевого закона термодинамики утверждает, что на достаточно длительных временных масштабах единственным функционально независимым измерением, которое можно сделать для термодинамической системы в равновесии, является ее полная энергия в форме температуры . ^[43]

Эргодическая динамическая система — это та, для которой, кроме энергии, измеряемой гамильтонианом , нет других функционально независимых сохраняющихся величин на фазовом пространстве . Более конкретно, предположим, что энергия E фиксирована, и пусть Ω _E — подмножество фазового пространства, состоящее из всех состояний энергии E (энергетическая поверхность), и пусть T _t обозначает оператор эволюции на фазовом пространстве. Динамическая система эргодична, если каждая инвариантная измеримая функция на Ω _E постоянна почти всюду . ^[44] Инвариантная функция f — это та, для которой для всех w на Ω _E и всех времен t . Теорема Лиувилля подразумевает, что существует мера μ на энергетической поверхности, которая инвариантна относительно переноса времени . В результате перенос времени является унитарным преобразованием гильбертова пространства L ² (Ω _E , μ ), состоящего из квадратично интегрируемых функций на энергетической поверхности Ω _E относительно скалярного произведения $${\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}$$ $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{E}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.}$$

Эргодическая теорема фон Неймана о среднем ^[24] утверждает следующее:

• Если U _t — (сильно непрерывная) однопараметрическая полугруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве H , а P — ортогональная проекция на пространство общих неподвижных точек U _t , { x ∈ H | U _t x = x , ∀ t > 0} , то $${\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}$$

Для эргодической системы фиксированный набор временной эволюции состоит только из постоянных функций, поэтому эргодическая теорема подразумевает следующее: ^[45] для любой функции f ∈ L ² (Ω _E , μ ) , $${\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}$$

То есть долгосрочное среднее значение наблюдаемой f равно ее математическому ожиданию на энергетической поверхности.

анализ Фурье

Суперпозиция базисных функций синусоидальной волны (внизу) для формирования пилообразной волны (вверху)

Сферические гармоники , ортонормированный базис для гильбертова пространства квадратично-интегрируемых функций на сфере, изображенный в виде графика вдоль радиального направления.

Одной из основных целей анализа Фурье является разложение функции в (возможно бесконечную) линейную комбинацию заданных базисных функций: ассоциированный ряд Фурье . Классический ряд Фурье, ассоциированный с функцией f, определенной на интервале [0, 1], представляет собой ряд вида , где $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }}$$ $${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}$$

Пример сложения первых нескольких членов ряда Фурье для пилообразной функции показан на рисунке. Базисные функции — это синусоиды с длинами волн ⁠λ/н⁠ (для целого числа n ) короче длины волны λ самой пилообразной волны (за исключением n = 1 , основной волны).

Существенная проблема в классических рядах Фурье заключается в том, в каком смысле ряд Фурье сходится, если сходится вообще, к функции f . Методы гильбертова пространства дают один из возможных ответов на этот вопрос. ^[46] Функции e _n ( θ ) = e ^{2π inθ} образуют ортогональный базис гильбертова пространства L ² ([0, 1]) . Следовательно, любая квадратично интегрируемая функция может быть выражена в виде ряда $${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle }$$

и , более того, этот ряд сходится в смысле гильбертова пространства (то есть в смысле L2 mean ).

Проблему можно также изучать с абстрактной точки зрения: каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис , и каждый элемент гильбертова пространства может быть записан уникальным образом как сумма кратных этих базисных элементов. Коэффициенты, появляющиеся в этих базисных элементах, иногда абстрактно известны как коэффициенты Фурье элемента пространства. ^[47] Абстракция особенно полезна, когда более естественно использовать различные базисные функции для такого пространства, как L2 ([0, 1]) . Во многих случаях желательно не разлагать функцию на тригонометрические функции, а скорее на ортогональные многочлены или вейвлеты , например, ^{[48] и в более высоких размерностях} на сферические гармоники . ^[49]

Например, если e _n — любые ортонормированные базисные функции L ² [0, 1] , то заданную функцию в L ² [0, 1] можно аппроксимировать как конечную линейную комбинацию ^[50] $${\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}$$

Коэффициенты { a _j } выбираются так, чтобы сделать величину разности ‖ f − f _n ‖ ² как можно меньше. Геометрически наилучшим приближением является ортогональная проекция f на подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций { e _j } , и может быть вычислено по формуле ^[51] $${\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$

То, что эта формула минимизирует разность ‖ f − f _n ‖ ^2, является следствием неравенства Бесселя и формулы Парсеваля.

В различных приложениях к физическим проблемам функция может быть разложена на физически значимые собственные функции дифференциального оператора (обычно оператора Лапласа ): это формирует основу для спектрального изучения функций по отношению к спектру дифференциального оператора. ^[52] Конкретное физическое приложение включает проблему восприятия формы барабана : учитывая основные моды вибрации, которые способна производить мембрана барабана, можно ли вывести форму самого барабана? ^[53] Математическая формулировка этого вопроса включает собственные значения Дирихле уравнения Лапласа на плоскости, которые представляют основные моды вибрации по прямой аналогии с целыми числами, которые представляют основные моды вибрации скрипичной струны.

Спектральная теория также лежит в основе некоторых аспектов преобразования Фурье функции. В то время как анализ Фурье разлагает функцию, определенную на компактном множестве, на дискретный спектр Лапласа (который соответствует колебаниям скрипичной струны или барабана), преобразование Фурье функции является разложением функции, определенной на всем евклидовом пространстве, на ее компоненты в непрерывном спектре Лапласа. Преобразование Фурье также является геометрическим, в некотором смысле, уточненном теоремой Планшереля , которая утверждает, что оно является изометрией одного гильбертова пространства («временной области») с другим («частотной области»). Это свойство изометрии преобразования Фурье является повторяющейся темой в абстрактном гармоническом анализе (поскольку оно отражает сохранение энергии для непрерывного преобразования Фурье), о чем свидетельствует, например, теорема Планшереля для сферических функций, встречающихся в некоммутативном гармоническом анализе .

Квантовая механика

Орбитали электрона в атоме водорода являются собственными функциями энергии .​

В математически строгой формулировке квантовой механики , разработанной Джоном фон Нейманом , ^[54] возможные состояния (точнее, чистые состояния ) квантово-механической системы представлены единичными векторами (называемыми векторами состояния ), находящимися в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве, известном как пространство состояний , хорошо определенное с точностью до комплексного числа нормы 1 ( фазовый множитель ). Другими словами, возможные состояния являются точками в проективизации гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы; например, состояния положения и импульса для одной нерелятивистской частицы со спином ноль являются пространством всех квадратично интегрируемых функций, в то время как состояния для спина одного протона являются единичными элементами двумерного комплексного гильбертова пространства спиноров . Каждая наблюдаемая представлена ​​самосопряженным линейным оператором, действующим на пространстве состояний. Каждое собственное состояние наблюдаемой величины соответствует собственному вектору оператора, а соответствующее собственное значение соответствует значению наблюдаемой величины в этом собственном состоянии. ^[55]

Внутренний продукт между двумя векторами состояния — это комплексное число, известное как амплитуда вероятности . Во время идеального измерения квантово-механической системы вероятность того, что система коллапсирует из заданного начального состояния в определенное собственное состояние, задается квадратом абсолютного значения амплитуд вероятности между начальным и конечным состояниями. ^[56] Возможные результаты измерения — это собственные значения оператора, что объясняет выбор самосопряженных операторов, поскольку все собственные значения должны быть действительными. Распределение вероятностей наблюдаемой в заданном состоянии можно найти, вычислив спектральное разложение соответствующего оператора. ^[57]

Для общей системы состояния обычно не являются чистыми, а вместо этого представлены как статистические смеси чистых состояний или смешанные состояния, заданные матрицами плотности : самосопряженные операторы следа один в гильбертовом пространстве. ^[58] Более того, для общих квантово-механических систем эффекты одного измерения могут влиять на другие части системы таким образом, который вместо этого описывается положительной операторно-значной мерой . Таким образом, структура как состояний, так и наблюдаемых в общей теории значительно сложнее, чем идеализация для чистых состояний. ^[59]

Теория вероятностей

В теории вероятностей гильбертовы пространства также имеют разнообразные приложения. Здесь фундаментальное гильбертово пространство — это пространство случайных величин на заданном вероятностном пространстве , имеющее класс (конечные первый и второй моменты ). Распространенной операцией в статистике является операция центрирования случайной величины путем вычитания ее математического ожидания . Таким образом, если — случайная величина, то — ее центрирование. С точки зрения гильбертова пространства это ортогональная проекция на ядро ​​оператора математического ожидания, которое является непрерывным линейным функционалом на гильбертовом пространстве (фактически, скалярным произведением с постоянной случайной величиной 1), и поэтому это ядро ​​является замкнутым подпространством. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X-E(X)}$ ${\displaystyle X}$

Условное ожидание имеет естественную интерпретацию в гильбертовом пространстве. ^[60] Предположим, что задано вероятностное пространство , где — сигма-алгебра на множестве , а — вероятностная мера на пространстве мер . Если — сигма-подалгебра , то условное ожидание — это ортогональная проекция на подпространство , состоящее из -измеримых функций. Если случайная величина в независима от сигма-алгебры , то условное ожидание , т. е. ее проекция на -измеримые функции, является константой. Эквивалентно, проекция ее центрирования равна нулю. ${\displaystyle (\Omega ,P,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle E[X|{\mathcal {F}}]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})=E(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

В частности, если две случайные величины и (в ) независимы, то центрированные случайные величины и ортогональны. (Это означает, что две переменные имеют нулевую ковариацию : они некоррелированы .) В этом случае теорема Пифагора в ядре оператора ожидания подразумевает, что дисперсии и удовлетворяют тождеству : иногда называемому теоремой Пифагора статистики, и имеет важное значение в линейной регрессии . ^[61] Как выразился Стэплтон (1995), « дисперсионный анализ можно рассматривать как разложение квадрата длины вектора на сумму квадратов длин нескольких векторов с использованием теоремы Пифагора». ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ ${\displaystyle X-E(X)}$ ${\displaystyle Y-E(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y),}$$

Теория мартингалов может быть сформулирована в гильбертовых пространствах. Мартингал в гильбертовом пространстве — это последовательность элементов гильбертова пространства, такая, что для каждого n , является ортогональной проекцией на линейную оболочку . ^[62] Если являются случайными величинами, это воспроизводит обычное определение (дискретного) мартингала: ожидание , обусловленное , равно . ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

Гильбертовы пространства также используются в основах исчисления Ито . ^[63] Любому квадратично-интегрируемому мартингалу можно связать гильбертову норму на пространстве классов эквивалентности прогрессивно измеримых процессов относительно мартингала (используя квадратичную вариацию мартингала в качестве меры). Интеграл Ито можно построить, сначала определив его для простых процессов, а затем используя их плотность в гильбертовом пространстве. Примечательным результатом является изометрия Ито , которая свидетельствует, что для любого мартингала M, имеющего квадратичную меру вариации , и любого прогрессивно измеримого процесса H : всякий раз, когда ожидание в правой части конечно. ${\displaystyle d\langle M\rangle _{t}}$ $${\displaystyle E\left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}dM_{s}\right)^{2}\right]=E\left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M\rangle _{s}\right]}$$

Более глубокое применение гильбертовых пространств, которое особенно важно в теории гауссовских процессов , представляет собой попытку, предпринятую Леонардом Гроссом и другими, придать смысл некоторым формальным интегралам по бесконечномерным пространствам, таким как интеграл Фейнмана по траекториям из квантовой теории поля . Проблема с таким интегралом заключается в том, что не существует бесконечномерной меры Лебега . Понятие абстрактного пространства Винера позволяет построить меру на банаховом пространстве B , которое содержит гильбертово пространство H , называемое пространством Камерона–Мартина , как плотное подмножество, из конечно-аддитивной цилиндрической меры множества на H. Результирующая мера на B является счетно-аддитивной и инвариантной относительно переноса элементами H , и это обеспечивает математически строгий способ мышления о мере Винера как о гауссовой мере на пространстве Соболева . ^[64] ${\displaystyle H^{1}([0,\infty ))}$

Восприятие цвета

Любой истинный физический цвет может быть представлен комбинацией чистых спектральных цветов . Поскольку физические цвета могут состоять из любого количества спектральных цветов, пространство физических цветов может быть удачно представлено гильбертовым пространством над спектральными цветами. У людей есть три типа колбочек для восприятия цвета, поэтому воспринимаемые цвета могут быть представлены трехмерным евклидовым пространством. Линейное отображение «многие к одному» из гильбертова пространства физических цветов в евклидово пространство воспринимаемых человеком цветов объясняет, почему многие различные физические цвета могут восприниматься людьми как идентичные (например, чистый желтый свет по сравнению со смесью красного и зеленого света, см. метамерию ). ^{[65] [66]}

Характеристики

Пифагорейская идентичность

Два вектора u и v в гильбертовом пространстве H ортогональны, когда ⟨ u , v ⟩ = 0 . Обозначение для этого — u ⊥ v . В более общем случае, когда S является подмножеством в H , обозначение u ⊥ S означает, что u ортогонален каждому элементу из S .

Когда u и v ортогональны, имеем $${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$$

Индукцией по n это распространяется на любое семейство u ₁ , ..., u _n из n ортогональных векторов, $${\displaystyle \left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.}$$

В то время как тождество Пифагора, как указано, справедливо в любом пространстве внутреннего произведения, для расширения тождества Пифагора на ряды требуется полнота. ^[67] Ряд Σ u _k ортогональных векторов сходится в H тогда и только тогда, когда сходится ряд квадратов норм, и Более того, сумма ряда ортогональных векторов не зависит от порядка, в котором она берется. $${\displaystyle {\Biggl \|}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}{\Biggr \|}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$$

Тождество параллелограмма и поляризация

Геометрически тождество параллелограмма утверждает, что AC ² + BD ² = 2(AB ² + AD ² ) . На словах, сумма квадратов диагоналей в два раза больше суммы квадратов любых двух смежных сторон.

По определению, каждое гильбертово пространство также является банаховым пространством . Более того, в каждом гильбертовом пространстве выполняется следующее тождество параллелограмма : ^[68] $${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Наоборот, каждое банахово пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма, является гильбертовым пространством, а скалярное произведение однозначно определяется нормой тождества поляризации . ^[69] Для действительных гильбертовых пространств тождество поляризации равно $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Для комплексных гильбертовых пространств это $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Из закона параллелограмма следует, что любое гильбертово пространство является равномерно выпуклым банаховым пространством . ^[70]

Наилучшее приближение

В этом подразделе используется теорема о проекции Гильберта . Если C — непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H , а x — точка в H , то существует единственная точка y ∈ C , которая минимизирует расстояние между x и точками в C , ^[71] $${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.}$$

Это эквивалентно утверждению, что существует точка с минимальной нормой в сдвинутом выпуклом множестве D = C − x . Доказательство состоит в демонстрации того, что каждая минимизирующая последовательность ( d _n ) ⊂ D является последовательностью Коши (используя тождество параллелограмма), следовательно, сходится (используя полноту) к точке в D , которая имеет минимальную норму. В более общем случае это справедливо в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве. ^[72]

Применяя этот результат к замкнутому подпространству F пространства H , можно показать, что точка y ∈ F, ближайшая к x, характеризуется соотношением ^[73] $${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$$

Эта точка y является ортогональной проекцией x на F , а отображение P _F  : x → y является линейным (см . Ортогональные дополнения и проекции). Этот результат особенно важен в прикладной математике , особенно в численном анализе , где он составляет основу методов наименьших квадратов . ^[74]

В частности, когда F не равно H , можно найти ненулевой вектор v ортогональный к F (выберите x ∉ F и v = x − y ). Очень полезный критерий получается путем применения этого наблюдения к замкнутому подпространству F , порожденному подмножеством S из H .

Подмножество S из H охватывает плотное векторное подпространство тогда (и только тогда), когда вектор 0 является единственным вектором v ∈ H, ортогональным к S.

Двойственность

Двойственное пространство H * — это пространство всех непрерывных линейных функций из пространства H в базовое поле. Оно несет естественную норму, определяемую формулой Эта норма удовлетворяет закону параллелограмма , и поэтому двойственное пространство также является пространством скалярного произведения, где это скалярное произведение может быть определено в терминах этой двойственной нормы с помощью тождества поляризации . Двойственное пространство также является полным, поэтому оно является гильбертовым пространством само по себе. Если e _• = ( e _i ) _{i ∈ I} — полный ортонормированный базис для H , то скалярное произведение в двойственном пространстве любых двух равно где все, кроме счетного числа членов в этом ряду, равны нулю. $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$$ ${\displaystyle f,g\in H^{*}}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}$$

Теорема о представлении Рисса дает удобное описание дуального пространства. Каждому элементу u из H соответствует уникальный элемент φ _u из H * , определяемый как , где, кроме того, $${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }$$ ${\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}$

Теорема Рисса о представлении утверждает, что отображение из H в H *, определенное как u ↦ φ _u, является сюръективным , что делает это отображение изометрическим антилинейным изоморфизмом. ^[75] Таким образом, для каждого элемента φ двойственного H * существует один и только один u _φ в H такой, что для всех x ∈ H . Скалярное произведение на двойственном пространстве H * удовлетворяет $${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$$ $${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$$

Изменение порядка в правой части восстанавливает линейность по φ из антилинейности u _φ . В вещественном случае антилинейный изоморфизм из H в его дуальное на самом деле является изоморфизмом, и поэтому вещественные гильбертовы пространства естественно изоморфны своим собственным дуальным.

Представляющий вектор u _φ получается следующим образом. Когда φ ≠ 0 , ядро ​​F = Ker( φ ) является замкнутым векторным подпространством H , не равным H , следовательно, существует ненулевой вектор v , ортогональный F . Вектор u является подходящим скалярным кратным λv вектора v . Требование, чтобы φ ( v ) = ⟨ v , u ⟩ , дает $${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$$

Это соответствие φ ↔ u используется в популярной в физике нотации «бра–кет» . ^[76] В физике принято считать, что скалярное произведение, обозначаемое как ⟨ x | y ⟩ , является линейным справа. Результат ⟨ x | y ⟩ можно рассматривать как действие линейного функционала ⟨ x | ( бра ) на вектор | y ⟩ ( кет ). $${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$$

Теорема Рисса о представлении в основе своей опирается не только на наличие скалярного произведения, но и на полноту пространства. Фактически, теорема подразумевает, что топологическое сопряженное пространство любого скалярного произведения может быть отождествлено с его завершением. ^[77] Непосредственным следствием теоремы Рисса о представлении является также то, что гильбертово пространство H является рефлексивным , что означает, что естественное отображение из H в его двойное сопряженное пространство является изоморфизмом.

Слабо сходящиеся последовательности

В гильбертовом пространстве H последовательность { x _n } слабо сходится к вектору x ∈ H , когда для каждого v ∈ H. $${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }$$

Например, любая ортонормированная последовательность { f _n } слабо сходится к 0, как следствие неравенства Бесселя. Каждая слабо сходящаяся последовательность { x _n } ограничена, по принципу равномерной ограниченности .

Наоборот, каждая ограниченная последовательность в гильбертовом пространстве допускает слабо сходящиеся подпоследовательности ( теорема Алаоглу ). ^[78] Этот факт может быть использован для доказательства результатов минимизации для непрерывных выпуклых функционалов , таким же образом, как теорема Больцано–Вейерштрасса используется для непрерывных функций на R ^d . Среди нескольких вариантов одно простое утверждение выглядит следующим образом: ^[79]

Если f  : H → R — выпуклая непрерывная функция, такая что f ( x ) стремится к +∞, когда ‖ x ‖ стремится к ∞ , то f допускает минимум в некоторой точке x ₀ ∈ H .

Этот факт (и его различные обобщения) являются основополагающими для прямых методов в вариационном исчислении . Результаты минимизации для выпуклых функционалов также являются прямым следствием несколько более абстрактного факта, что замкнутые ограниченные выпуклые подмножества в гильбертовом пространстве H являются слабо компактными , поскольку H рефлексивно. Существование слабо сходящихся подпоследовательностей является частным случаем теоремы Эберлейна–Шмульяна .

Свойства банахова пространства

Любое общее свойство банаховых пространств продолжает выполняться для гильбертовых пространств. Теорема об открытом отображении утверждает, что непрерывное сюръективное линейное преобразование из одного банахова пространства в другое является открытым отображением , то есть оно переводит открытые множества в открытые множества. Следствием является ограниченная обратная теорема , что непрерывная и биективная линейная функция из одного банахова пространства в другое является изоморфизмом (то есть непрерывным линейным отображением, обратное которому также непрерывно). Эту теорему значительно проще доказать в случае гильбертовых пространств, чем в общих банаховых пространствах. ^[80] Теорема об открытом отображении эквивалентна теореме о замкнутом графике , которая утверждает, что линейная функция из одного банахова пространства в другое непрерывна тогда и только тогда, когда ее график является замкнутым множеством . ^[81] В случае гильбертовых пространств это является основным при изучении неограниченных операторов (см. замкнутый оператор ).

(Геометрическая) теорема Хана–Банаха утверждает, что замкнутое выпуклое множество может быть отделено от любой точки вне его посредством гиперплоскости гильбертова пространства. Это является непосредственным следствием свойства наилучшего приближения: если y — элемент замкнутого выпуклого множества F, ближайший к x , то разделяющая гиперплоскость — это плоскость, перпендикулярная отрезку xy , проходящему через его середину. ^[82]

Операторы в гильбертовых пространствах

Ограниченные операторы

Непрерывные линейные операторы A  : H ₁ → H ₂ из гильбертова пространства H ₁ во второе гильбертово пространство H ₂ ограничены в том смысле, что они отображают ограниченные множества в ограниченные множества. ^[83] Наоборот, если оператор ограничен, то он непрерывен. Пространство таких ограниченных линейных операторов имеет норму , норму оператора, заданную как $${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.}$$

Сумма и композиция двух ограниченных линейных операторов снова ограничены и линейны. Для y в H ₂ отображение, которое отправляет x ∈ H ₁ в ⟨ Ax , y ⟩, является линейным и непрерывным, и согласно теореме Рисса о представлении, следовательно, может быть представлено в виде для некоторого вектора A * y в H ₁ . Это определяет другой ограниченный линейный оператор A * : H ₂ → H ₁ , сопряженный к A . Сопряжённый удовлетворяет A ** = A . Когда теорема Рисса о представлении используется для идентификации каждого гильбертова пространства с его непрерывным двойственным пространством, можно показать, что  сопряженный к A тождественен транспонированному ^t A : H ₂ * → H ₁ * к A , что по определению отправляет в функционал $${\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }$$ ${\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}$ ${\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}$

Множество B( H ) всех ограниченных линейных операторов на H (имеются в виду операторы H → H ) вместе с операциями сложения и композиции, нормой и сопряженной операцией представляет собой C*-алгебру , которая является типом операторной алгебры .

Элемент A из B( H ) называется «самосопряженным» или «эрмитовым», если A * = A . Если A является эрмитовым и ⟨ Ax , x ⟩ ≥ 0 для каждого x , то A называется «неотрицательным», что записывается как A ≥ 0 ; если равенство имеет место только при x = 0 , то A называется «положительным». Множество самосопряженных операторов допускает частичный порядок , в котором A ≥ B , если A − B ≥ 0 . Если A имеет вид B * B для некоторого B , то A неотрицателен; если B обратим, то A положителен. Обратное утверждение также верно в том смысле, что для неотрицательного оператора A существует единственный неотрицательный квадратный корень B такой, что $${\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}$$

В смысле, уточненном спектральной теоремой , самосопряженные операторы можно с пользой рассматривать как операторы, которые являются «действительными». Элемент A из B( H ) называется нормальным, если A * A = AA * . Нормальные операторы распадаются на сумму самосопряженного оператора и мнимого кратного самосопряженного оператора, которые коммутируют друг с другом. Нормальные операторы также можно с пользой рассматривать в терминах их действительных и мнимых частей. $${\displaystyle A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}}$$

Элемент U из B( H ) называется унитарным, если U обратим и его обратный элемент задается как U * . Это также можно выразить, потребовав, чтобы U был на и ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y ⟩ для всех x , y ∈ H . Унитарные операторы образуют группу относительно композиции, которая является группой изометрий H .

Элемент B( H ) компактен, если он переводит ограниченные множества в относительно компактные множества. Эквивалентно, ограниченный оператор T компактен, если для любой ограниченной последовательности { x _k } последовательность { Tx _k } имеет сходящуюся подпоследовательность. Многие интегральные операторы компактны и фактически определяют специальный класс операторов, известных как операторы Гильберта–Шмидта , которые особенно важны при изучении интегральных уравнений . Операторы Фредгольма отличаются от компактного оператора кратностью тождества и эквивалентно характеризуются как операторы с конечномерным ядром и коядром . Индекс оператора Фредгольма T определяется как $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}$$

Индекс гомотопически инвариантен и играет важную роль в дифференциальной геометрии благодаря теореме Атьи–Зингера об индексе .

Неограниченные операторы

Неограниченные операторы также поддаются обработке в гильбертовых пространствах и имеют важные приложения в квантовой механике . ^[84] Неограниченный оператор T в гильбертовом пространстве H определяется как линейный оператор, область определения которого D ( T ) является линейным подпространством H . Часто область определения D ( T ) является плотным подпространством H , и в этом случае T известен как плотно определенный оператор .

Сопряженный оператор плотно определенного неограниченного оператора определяется по существу тем же способом, что и для ограниченных операторов. Самосопряженные неограниченные операторы играют роль наблюдаемых в математической формулировке квантовой механики. Примерами самосопряженных неограниченных операторов в гильбертовом пространстве L ² ( R ) являются: ^[85]

• Подходящее расширение дифференциального оператора , где i — мнимая единица, а f — дифференцируемая функция компактного носителя. $${\displaystyle (Af)(x)=-i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\,,}$$
• Оператор умножения на x : $${\displaystyle (Bf)(x)=xf(x)\,.}$$

Они соответствуют наблюдаемым импульсу и положению соответственно. Ни A, ни B не определены на всем H , поскольку в случае A производная не обязательно должна существовать, а в случае B функция произведения не обязательно должна быть квадратично интегрируемой. В обоих случаях множество возможных аргументов образуют плотные подпространства L ² ( R ) .

Конструкции

Прямые суммы

Два гильбертовых пространства H ₁ и H ₂ можно объединить в другое гильбертово пространство, называемое (ортогональной) прямой суммой [ ^86] и обозначаемое $${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,}$$

состоящий из множества всех упорядоченных пар ( x ₁ , x ₂ ) , где x _i ∈ H _i , i = 1, 2 , и скалярного произведения, определяемого формулой $${\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}$$

В более общем случае, если H _i — семейство гильбертовых пространств, индексированное i ∈ I , то прямая сумма H _i , обозначаемая как , состоит из множества всех индексированных семейств в декартовом произведении H i _, таких что $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}$$ $${\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}$$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}$$

Внутренний продукт определяется как $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}$$

Каждое из H _i включено как замкнутое подпространство в прямую сумму всех H _i . Более того, H _i попарно ортогональны. Обратно, если в гильбертовом пространстве H существует система замкнутых подпространств V _i , i ∈ I , которые попарно ортогональны и объединение которых плотно в H , то H канонически изоморфно прямой сумме V _i . В этом случае H называется внутренней прямой суммой V _i . Прямая сумма (внутренняя или внешняя) также снабжена семейством ортогональных проекций E _i на i -е прямое слагаемое H _i . Эти проекции являются ограниченными, самосопряженными, идемпотентными операторами, которые удовлетворяют условию ортогональности $${\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}$$

Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве H утверждает, что H распадается в ортогональную прямую сумму собственных подпространств оператора, а также дает явное разложение оператора в виде суммы проекций на собственные подпространства. Прямая сумма гильбертовых пространств также появляется в квантовой механике как пространство Фока системы, содержащей переменное число частиц, где каждое гильбертово пространство в прямой сумме соответствует дополнительной степени свободы для квантово-механической системы. В теории представлений теорема Петера–Вейля гарантирует, что любое унитарное представление компактной группы в гильбертовом пространстве распадается в прямую сумму конечномерных представлений.

Тензорные продукты

Если x ₁ , y ₁ ∊ H ₁ и x ₂ , y ₂ ∊ H ₂ , то можно определить скалярное произведение на (обычном) тензорном произведении следующим образом. На простых тензорах пусть $${\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.}$$

Эта формула затем расширяется полуторалинейностью до скалярного произведения на H ₁ ⊗ H ₂ . Гильбертово тензорное произведение H ₁ и H ₂ , иногда обозначаемое как H ₁ H ₂ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ , является гильбертовым пространством, полученным путем дополнения H ₁ ⊗ H ₂ для метрики, связанной с этим скалярным произведением. ^[87]

Примером может служить гильбертово пространство L ² ([0, 1]) . Гильбертово тензорное произведение двух копий L ² ([0, 1]) изометрически и линейно изоморфно пространству L ² ([0, 1] ² ) квадратично-интегрируемых функций на квадрате [0, 1] ² . Этот изоморфизм переводит простой тензор f ₁ ⊗ f ₂ в функцию на квадрате. $${\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}$$

Этот пример типичен в следующем смысле. ^[88] Каждому простому тензорному произведению x ₁ ⊗ x ₂ соответствует оператор ранга один из H^∗
₁в H ₂ , который отображает заданный x * ∈ H^∗
₁как $${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.}$$

Это отображение, определенное на простых тензорах, продолжается до линейного отождествления между H ₁ ⊗ H ₂ и пространством операторов конечного ранга из H^∗
₁к H ₂ . Это распространяется на линейную изометрию гильбертова тензорного произведения H ₁ H ₂ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ с гильбертовым пространством HS ( H^∗
₁, H ₂ ) операторов Гильберта–Шмидта из H^∗
₁к Н ₂ .

Ортонормированные базисы

Понятие ортонормированного базиса из линейной алгебры обобщается на случай гильбертовых пространств. ^[89] В гильбертовом пространстве H ортонормированный базис — это семейство { e _k } _{k ∈ B} элементов пространства H, удовлетворяющих условиям:

1. Ортогональность : любые два различных элемента B ортогональны: ⟨ e _k , e _j ⟩ = 0 для всех k , j ∈ B с k ≠ j .
2. Нормализация : Каждый элемент семейства имеет норму 1: ‖ e _k ‖ = 1 для всех k ∈ B .
3. Полнота : Линейная оболочка семейства e _k , k ∈ B , плотна в H .

Система векторов, удовлетворяющая первым двум условиям базиса, называется ортонормированной системой или ортонормированным множеством (или ортонормированной последовательностью, если B счетно ) . Такая система всегда линейно независима .

Несмотря на название, ортонормированный базис, в общем случае, не является базисом в смысле линейной алгебры ( базис Гамеля ). Точнее, ортонормированный базис является базисом Гамеля тогда и только тогда, когда гильбертово пространство является конечномерным векторным пространством. ^[90]

Полноту ортонормированной системы векторов гильбертова пространства можно эквивалентно переформулировать так:

для каждого v ∈ H , если ⟨ v , e _k ⟩ = 0 для всех k ∈ B , то v = 0 .

Это связано с тем фактом, что единственным вектором, ортогональным к плотному линейному подпространству, является нулевой вектор, поскольку если S — любое ортонормированное множество, а v ортогонален S , то v ортогонален замыканию линейной оболочки S , которая представляет собой все пространство.

Примеры ортонормированных базисов включают в себя:

• набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} образует ортонормированный базис R ³ со скалярным произведением ;
• последовательность {  f _n | n ∈ Z } с f _n ( x ) = exp (2π inx ) образует ортонормированный базис комплексного пространства L ² ([0, 1]) ;

В бесконечномерном случае ортонормированный базис не будет базисом в смысле линейной алгебры ; чтобы различать эти два базиса, последний базис также называется базисом Гамеля . То, что область базисных векторов плотна, подразумевает, что каждый вектор в пространстве может быть записан как сумма бесконечного ряда, а ортогональность подразумевает, что это разложение является единственным.

Последовательные пространства

Пространство квадратично-суммируемых последовательностей комплексных чисел — это множество бесконечных последовательностей ^[9] действительных или комплексных чисел, таких, что ${\displaystyle \ell _{2}}$ $${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )}$$ $${\displaystyle \left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.}$$

Это пространство имеет ортонормированный базис: $${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Это пространство является бесконечномерным обобщением пространства конечномерных векторов. Обычно это первый пример, используемый для того, чтобы показать, что в бесконечномерных пространствах замкнутое и ограниченное множество не обязательно (последовательно) компактно (как это имеет место во всех конечномерных пространствах). Действительно, множество ортонормированных векторов выше показывает это: это бесконечная последовательность векторов в единичном шаре (т. е. шаре точек с нормой, меньшей или равной единице). Это множество явно ограничено и замкнуто; тем не менее, никакая подпоследовательность этих векторов не сходится ни к чему, и, следовательно, единичный шар в не является компактным. Интуитивно это происходит потому, что «всегда есть другое координатное направление», в которое могут уклониться следующие элементы последовательности. ${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$

Можно обобщить пространство многими способами. Например, если B — это любое множество, то можно сформировать гильбертово пространство последовательностей с индексным множеством B , определяемым формулой ^[91] ${\displaystyle \ell _{2}}$ $${\displaystyle \ell ^{2}(B)={\biggl \{}x:B\xrightarrow {x} \mathbb {C} \mathrel {\bigg |} \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}<\infty {\biggr \}}\,.}$$

Суммирование по B здесь определяется взятием супремума по всем конечным подмножествам  B . Из этого следует, что для того, чтобы эта сумма была конечной, каждый элемент l ² ( B ) имеет только счетное число ненулевых членов. Это пространство становится гильбертовым пространством со скалярным произведением $${\displaystyle \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}\left|x(b_{n})\right|^{2}}$$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}}$$

для всех x , y ∈ l ² ( B ) . Здесь сумма также имеет только счетное число ненулевых членов и безусловно сходится по неравенству Коши–Шварца.

Ортонормированный базис l ² ( B ) индексируется множеством B , заданным формулой

$${\displaystyle e_{b}(b')={\begin{cases}1&{\text{if }}b=b'\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Неравенство Бесселя и формула Парсеваля

Пусть f ₁ , …, f _n — конечная ортонормированная система в  H. Для произвольного вектора x ∈ H пусть $${\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle \,f_{j}\,.}$$

Тогда ⟨ x , f _k ⟩ = ⟨ y , f _k ⟩ для каждого k = 1, …, n . Отсюда следует, что x − y ортогонален каждому f _k , следовательно, x − y ортогонален  y . Используя тождество Пифагора дважды, следует, что $${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl |}\langle x,f_{j}\rangle {\bigr |}^{2}\,.}$$

Пусть { f _i }, i ∈ I , — произвольная ортонормированная система в  H. Применение предыдущего неравенства к каждому конечному подмножеству J из I дает неравенство Бесселя: ^[92] (согласно определению суммы произвольного семейства неотрицательных действительных чисел). $${\displaystyle \sum _{i\in I}{\bigl |}\langle x,f_{i}\rangle {\bigr |}^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H}$$

Геометрически неравенство Бесселя подразумевает, что ортогональная проекция x на линейное подпространство, натянутое на f _{i ,} имеет норму, не превышающую норму x . В двух измерениях это утверждение о том, что длина катета прямоугольного треугольника не может превышать длину гипотенузы.

Неравенство Бесселя является ступенькой к более сильному результату, называемому тождеством Парсеваля , которое управляет случаем, когда неравенство Бесселя на самом деле является равенством. По определению, если { e _k } _{k ∈ B} является ортонормированным базисом H , то каждый элемент x из H может быть записан как $${\displaystyle x=\sum _{k\in B}\left\langle x,e_{k}\right\rangle \,e_{k}\,.}$$

Даже если B несчетно, неравенство Бесселя гарантирует, что выражение хорошо определено и состоит только из счетного числа ненулевых членов. Эта сумма называется разложением Фурье x , а отдельные коэффициенты ⟨ x , e _k ⟩ являются коэффициентами Фурье x . Тогда тождество Парсеваля утверждает, что ^[93] $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\,.}$$

Наоборот, ^[93] если { e _k } — ортонормированное множество, такое, что тождество Парсеваля выполняется для каждого x , то { e _k } — ортонормированный базис.

Размерность Гильберта

Как следствие леммы Цорна , каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; более того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность , называемую гильбертовой размерностью пространства. ^[94] Например, поскольку l ² ( B ) имеет ортонормированный базис, индексированный B , его гильбертова размерность является мощностью B (которая может быть конечным целым числом или счетным или несчетным кардинальным числом ).

Размерность Гильберта не больше размерности Гамеля (обычной размерности векторного пространства). Два измерения равны тогда и только тогда, когда одно из них конечно.

Как следствие тождества Парсеваля, ^[95] если { e _k } _{k ∈ B} является ортонормированным базисом H , то отображение Φ : H → l ² ( B ), определяемое соотношением Φ( x ) = ⟨x, e _k ⟩ _{k ∈ B,} является изометрическим изоморфизмом гильбертовых пространств: это биективное линейное отображение, такое что для всех x , y ∈ H . Кардинальное число B является гильбертовой размерностью H . Таким образом, каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно пространству последовательностей l ² ( B ) для некоторого множества B . $${\displaystyle {\bigl \langle }\Phi (x),\Phi (y){\bigr \rangle }_{l^{2}(B)}=\left\langle x,y\right\rangle _{H}}$$

Разделяемые пространства

По определению, гильбертово пространство сепарабельно , если оно содержит плотное счетное подмножество. Вместе с леммой Цорна это означает, что гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. Все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства, таким образом, изометрически изоморфны квадратично -суммируемому пространству последовательностей ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

В прошлом от гильбертовых пространств часто требовалось, чтобы они были разделимыми как часть определения. ^[96]

В квантовой теории поля

Большинство пространств, используемых в физике, являются сепарабельными, и поскольку все они изоморфны друг другу, часто называют любое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство « гильбертовым пространством» или просто «гильбертовым пространством». ^[97] Даже в квантовой теории поля большинство гильбертовых пространств фактически являются сепарабельными, как это предусмотрено аксиомами Вайтмана . Однако иногда утверждается, что несепарабельные гильбертовы пространства также важны в квантовой теории поля, примерно потому, что системы в теории обладают бесконечным числом степеней свободы , а любое бесконечное тензорное произведение Гильберта (пространств размерности больше единицы) является несепарабельным. ^[98] Например, бозонное поле можно естественным образом рассматривать как элемент тензорного произведения, множители которого представляют гармонические осцилляторы в каждой точке пространства. С этой точки зрения естественное пространство состояний бозона может показаться несепарабельным пространством. ^[98] Однако, это только небольшое отделимое подпространство полного тензорного произведения, которое может содержать физически значимые поля (на которых могут быть определены наблюдаемые). Другое неотделимое гильбертово пространство моделирует состояние бесконечного набора частиц в неограниченной области пространства. Ортонормированный базис пространства индексируется плотностью частиц, непрерывным параметром, и поскольку множество возможных плотностей несчетно, базис несчетен. ^[98]

Ортогональные дополнения и проекции

Если S является подмножеством гильбертова пространства H , то множество векторов, ортогональных S, определяется как $${\displaystyle S^{\perp }=\left\{x\in H\mid \langle x,s\rangle =0\ {\text{ for all }}s\in S\right\}\,.}$$

Множество S ^⊥ является замкнутым подпространством H (это можно легко доказать, используя линейность и непрерывность скалярного произведения) и, таким образом, образует гильбертово пространство. Если V является замкнутым подпространством H , то V ^⊥ называется ортогональным дополнением V . Фактически, каждый x ∈ H может быть тогда записан единственным образом как x = v + w , где v ∈ V и w ∈ V ^⊥ . Следовательно, H является внутренней прямой суммой Гильберта V и V ^⊥ .

Линейный оператор P _V  : H → H , отображающий x в v, называется ортогональной проекцией на V . Существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством всех замкнутых подпространств H и множеством всех ограниченных самосопряженных операторов P таких, что P ² = P . В частности,

Теорема  —  Ортогональная проекция P _V является самосопряженным линейным оператором на H нормы ≤ 1 со свойством P²
_В= P _V . Более того, любой самосопряженный линейный оператор E такой, что E ² = E, имеет вид P _V , где V — область значений E . Для каждого x из H , P _V ( x ) — это единственный элемент v из V , который минимизирует расстояние ‖ x − v ‖ .

Это дает геометрическую интерпретацию P _V ( x ) : это наилучшее приближение к x элементами V . ^[99]

Проекции P _U и P _V называются взаимно ортогональными, если P _U P _V = 0. Это эквивалентно ортогональности U и V как подпространств H. Сумма двух проекций P _U и P _V является проекцией только в том случае, если U и V ортогональны друг другу, и в этом случае P _U + P _V = P _{U + V} . ^[100] Композиция P _U P _V, как правило, не является проекцией; на самом деле, композиция является проекцией тогда и только тогда, когда две проекции коммутируют, и в этом случае P _U P _V = P _{U ∩ V} . ^[101]

Ограничивая область значений гильбертовым пространством V , ортогональная проекция P _V порождает проекционное отображение π  : H → V ; оно является сопряженным к отображению включения, что означает, что для всех x ∈ V и y ∈ H . $${\displaystyle i:V\to H\,,}$$ $${\displaystyle \left\langle ix,y\right\rangle _{H}=\left\langle x,\pi y\right\rangle _{V}}$$

Операторная норма ортогональной проекции P _V на ненулевое замкнутое подпространство V равна 1: $${\displaystyle \|P_{V}\|=\sup _{x\in H,x\neq 0}{\frac {\|P_{V}x\|}{\|x\|}}=1\,.}$$

Каждое замкнутое подпространство V гильбертова пространства является, таким образом, образом оператора P нормы один, такого, что P ² = P . Свойство обладания соответствующими проекционными операторами характеризует гильбертовы пространства: ^[102]

• Банахово пространство размерности выше 2 является (изометрически) гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства V существует оператор P _V нормы один, образом которого является V, такой что P²
  _В= П _В .

Хотя этот результат характеризует метрическую структуру гильбертова пространства, структура гильбертова пространства как топологического векторного пространства сама по себе может быть охарактеризована в терминах наличия дополнительных подпространств: ^[103]

• Банахово пространство X топологически и линейно изоморфно гильбертову пространству тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства V существует замкнутое подпространство W такое, что X равно внутренней прямой сумме V ⊕ W .

Ортогональное дополнение удовлетворяет некоторым более элементарным результатам. Это монотонная функция в том смысле, что если U ⊂ V , то V ^⊥ ⊆ U ^⊥ с равенством, имеющим место тогда и только тогда, когда V содержится в замыкании U . Этот результат является частным случаем теоремы Хана–Банаха . Замыкание подпространства может быть полностью охарактеризовано в терминах ортогонального дополнения: если V является подпространством H , то замыкание V равно V ^⊥⊥ . Таким образом, ортогональное дополнение является связностью Галуа на частичном порядке подпространств гильбертова пространства. В общем случае ортогональное дополнение суммы подпространств является пересечением ортогональных дополнений: ^[104] $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i}V_{i}{\biggr )}^{\perp }=\bigcap _{i}V_{i}^{\perp }\,.}$$

Если V _i дополнительно замкнуты, то $${\displaystyle {\overline {\sum _{i}V_{i}^{\perp }{\vphantom {\Big |}}}}={\biggl (}\bigcap _{i}V_{i}{\biggr )}^{\perp }\,.}$$

Спектральная теория

Существует хорошо развитая спектральная теория для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, которая примерно аналогична изучению симметричных матриц над действительными числами или самосопряженных матриц над комплексными числами. ^[105] В том же смысле можно получить «диагонализацию» самосопряженного оператора как подходящую сумму (фактически интеграл) ортогональных проекционных операторов.

Спектр оператора T , обозначаемый σ ( T ) , представляет собой множество комплексных чисел λ таких, что T − λ не имеет непрерывного обратного. Если T ограничен, то спектр всегда является компактным множеством в комплексной плоскости и лежит внутри круга | z | ≤ ‖ T ‖ . Если T самосопряжен, то спектр является действительным. Фактически, он содержится в интервале [ m , M ] , где $${\displaystyle m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,.}$$

Более того, m и M фактически оба содержатся в спектре.

Собственные пространства оператора T задаются формулой $${\displaystyle H_{\lambda }=\ker(T-\lambda )\,.}$$

В отличие от конечных матриц, не каждый элемент спектра T должен быть собственным значением: линейный оператор T − λ может не иметь обратного значения только потому, что он не является сюръективным. Элементы спектра оператора в общем смысле известны как спектральные значения . Поскольку спектральные значения не обязательно должны быть собственными значениями, спектральное разложение часто более тонкое, чем в конечных измерениях.

Однако спектральная теорема самосопряженного оператора T принимает особенно простую форму, если, кроме того, T предполагается компактным оператором . Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов гласит: ^[106]

• Компактный самосопряженный оператор T имеет только счетное (или конечное) число спектральных значений. Спектр T не имеет предельной точки в комплексной плоскости, за исключением, возможно, нуля. Собственные пространства T разлагают H в ортогональную прямую сумму: Более того, если E _λ обозначает ортогональную проекцию на собственное пространство H _λ , то где сумма сходится относительно нормы на B( H ) . $${\displaystyle H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }\,.}$$ $${\displaystyle T=\sum _{\lambda \in \sigma (T)}\lambda E_{\lambda }\,,}$$

Эта теорема играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений , поскольку многие интегральные операторы компактны, в частности те, которые возникают из операторов Гильберта–Шмидта .

Общая спектральная теорема для самосопряженных операторов включает в себя своего рода операторнозначный интеграл Римана–Стилтьеса , а не бесконечное суммирование. ^[107] Спектральное семейство, связанное с T, связывает с каждым действительным числом λ оператор E _λ , который является проекцией на нулевое пространство оператора ( T − λ ) ⁺ , где положительная часть самосопряженного оператора определяется как $${\displaystyle A^{+}={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\sqrt {A^{2}}}+A{\Bigr )}\,.}$$

Операторы E _λ монотонно возрастают относительно частичного порядка, определенного на самосопряженных операторах; собственные значения точно соответствуют разрывам скачков. Имеется спектральная теорема, которая утверждает $${\displaystyle T=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}$$

Интеграл понимается как интеграл Римана–Стилтьеса, сходящийся по норме на B( H ) . В частности, имеет место обычное скалярнозначное интегральное представление $${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,y\rangle \,.}$$

Несколько похожее спектральное разложение справедливо для нормальных операторов, хотя, поскольку спектр теперь может содержать недействительные комплексные числа, операторнозначная мера Стилтьеса d E _λ должна быть заменена разрешением тождества .

Одним из основных приложений спектральных методов является теорема о спектральном отображении , которая позволяет применить к самосопряженному оператору T любую непрерывную комплексную функцию f, определенную на спектре T, образуя интеграл $${\displaystyle f(T)=\int _{\sigma (T)}f(\lambda )\,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}$$

Полученное непрерывное функциональное исчисление имеет приложения, в частности, к псевдодифференциальным операторам . ^[108]

Спектральная теория неограниченных самосопряженных операторов лишь немного сложнее, чем для ограниченных операторов. Спектр неограниченного оператора определяется точно так же, как и для ограниченных операторов: λ является спектральным значением, если резольвентный оператор $${\displaystyle R_{\lambda }=(T-\lambda )^{-1}}$$

не может быть хорошо определенным непрерывным оператором. Самосопряженность T по-прежнему гарантирует, что спектр является действительным. Таким образом, основная идея работы с неограниченными операторами заключается в том, чтобы вместо этого рассматривать резольвенту R _λ, где λ недействительна. Это ограниченный нормальный оператор, который допускает спектральное представление, которое затем может быть передано в спектральное представление самого T. Подобная стратегия используется, например, для изучения спектра оператора Лапласа: вместо того, чтобы обращаться к оператору напрямую, вместо этого смотрят на связанную резольвенту, такую ​​как потенциал Рисса или потенциал Бесселя .

Точная версия спектральной теоремы в этом случае такова: ^[109]

Теорема  —  Дан плотно определенный самосопряженный оператор T в гильбертовом пространстве H , соответствует единственное разрешение единицы E на борелевских множествах R , такое, что для всех x ∈ D ( T ) и y ∈ H. Спектральная мера E сосредоточена на спектре T . $${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{x,y}(\lambda )}$$

Существует также версия спектральной теоремы, применимая к неограниченным нормальным операторам.

В популярной культуре

В романе Томаса Пинчона «Радуга тяготения» (1973) один из персонажей носит имя «Сэмми Гильберт-Шпасс», игра слов на «Пространство Гильберта». В романе также упоминаются теоремы Гёделя о неполноте . ^[110]

Смотрите также

• Математический портал

• Банахово пространство  – Нормированное векторное пространство, которое является полным
• Пространство Фока  – многочастичное пространство состояний
• Основная теорема гильбертовых пространств
• Пространство Адамара  – геодезически полное метрическое пространство неположительной кривизныPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Хаусдорфово пространство  – Тип топологического пространства
• алгебра Гильберта
• Гильбертов C*-модуль  – Математические объекты, обобщающие понятие гильбертовых пространств.
• Гильбертово многообразие  – многообразие, смоделированное на основе гильбертовых пространств
• L-полускадровое произведение  – обобщение скалярных произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Теория операторов  – Математическая область изучения
• Операторные топологии  – Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Пространство квантовых состояний  – математическое пространство, представляющее физические квантовые системы.
• Оснащенное гильбертово пространство  – конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Замечания

1. В некоторых соглашениях внутренние произведения линейны по своим вторым аргументам.
2. Собственные значения ядра Фредгольма равны ⁠1/λ⁠ , которые стремятся к нулю.

Примечания

1. Акслер 2014, стр. 164 §6.2
2. Однако некоторые источники называют конечномерные пространства с этими свойствами предгильбертовыми пространствами, резервируя термин «гильбертово пространство» для бесконечномерных пространств; см., например, Левитан 2001.
3. Марсден 1974, §2.8
4. Математический материал этого раздела можно найти в любом хорошем учебнике по функциональному анализу, например, Дьедонне (1960), Хьюитт и Стромберг (1965), Рид и Саймон (1980) или Рудин (1987).
5. Шефер и Вольф 1999, стр. 122–202.
6. Дьедонне 1960, §6.2
7. Роман 2008, стр. 327
8. Роман 2008, стр. 330 Теорема 13.8
9. Штейн и Шакарчи 2005, с. 163
10. Дьедонне 1960
11. В значительной степени из работы Германа Грассмана , по настоянию Августа Фердинанда Мёбиуса (Boyer & Merzbach 1991, стр. 584–586). Первое современное аксиоматическое описание абстрактных векторных пространств в конечном итоге появилось в отчете Джузеппе Пеано 1888 года (Grattan-Guinness 2000, §5.2.2; O'Connor & Robertson 1996).
12. Подробный отчет об истории гильбертовых пространств можно найти в работе Бурбаки 1987.
13. Шмидт 1908
14. Титчмарш 1946, §IX.1
15. Лебег 1904. Более подробную информацию об истории теории интеграции можно найти в работах Бурбаки (1987) и Сакса (2005).
16. Бурбаки 1987.
17. Данфорд и Шварц 1958, §IV.16
18. В работе Данфорда и Шварца (1958, §IV.16) результат о том, что каждый линейный функционал на L2 [0,1] ^{представляется} интегрированием, совместно приписывается Фреше (1907) и Риссу (1907). Общий результат о том, что сопряженное к гильбертову пространству пространство отождествляется с самим гильбертовым пространством, можно найти в работе Рисса (1934).
19. фон Нейман 1929.
20. Клайн 1972, стр. 1092
21. Гильберт, Нордхайм и фон Нейман, 1927 г.
22. Weyl 1931.
23. Пруговечки 1981, стр. 1–10.
24. фон Нейман 1932
25. Перес 1993, стр. 79–99.
26. Мерфи 1990, стр. 112
27. Мерфи 1990, стр. 72
28. Халмош 1957, Раздел 42.
29. Хьюитт и Стромберг 1965.
30. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
31. Берс, Джон и Шехтер 1981.
32. Джусти 2003.
33. Штейн 1970
34. Подробности можно найти в книге Уорнера (1983).
35. Общим справочником по пространствам Харди является книга Дюрена (1970).
36. Кранц 2002, §1.4
37. Кранц 2002, §1.5
38. Янг 1988, Глава 9.
39. Педерсен 1995, §4.4
40. Более подробную информацию о методах конечных элементов с этой точки зрения можно найти в работе Бреннера и Скотта (2005).
41. Брезис 2010, раздел 9.5
42. Эванс 1998
43. Патрия (1996), Главы 2 и 3
44. Эйнсидлер и Уорд (2011), Предложение 2.14.
45. Рид и Саймон 1980
46. Трактовка рядов Фурье с этой точки зрения доступна, например, в работах Рудина (1987) или Фолланда (2009).
47. Халмош 1957, §5
48. Бахман, Наричи и Бекенштейн 2000
49. Штейн и Вайс 1971, §IV.2.
50. Ланцош 1988, стр. 212–213
51. Ланцош 1988, Уравнение 4-3.10
52. Классическим источником информации о спектральных методах является работа Куранта и Гильберта (1953). Более современным источником является работа Рида и Саймона (1975).
53. Кац 1966
54. фон Нейман 1955
55. Холево 2001, стр. 17
56. Риффел и Полак 2011, стр. 55
57. Перес 1993, стр. 101
58. Перес 1993, стр. 73
59. Нильсен и Чуанг 2000, стр. 90
60. Биллингсли (1986), стр. 477, пр. 34.13}}
61. Стэплтон 1995
62. Хьюитт и Стромберг (1965), Упражнение 16.45.
63. Карацас и Шрив 2019, Глава 3
64. Струк (2011), Глава 8.
65. Герман Вейль (2009), «Разум и природа», Разум и природа: избранные труды по философии, математике и физике , Princeton University Press.
66. Бертье, М. (2020), «Геометрия восприятия цвета. Часть 2: воспринимаемые цвета из реальных квантовых состояний и повтор Геринга», Журнал математической нейронауки , 10 (1): 14, doi : 10.1186/s13408-020-00092-x , PMC 7481323 , PMID  32902776 .
67. Рид и Саймон 1980, Теорема 12.6
68. Рид и Саймон 1980, стр. 38
69. Янг 1988, стр. 23.
70. Кларксон 1936.
71. Рудин 1987, Теорема 4.10
72. Данфорд и Шварц 1958, II.4.29
73. Рудин 1987, Теорема 4.11
74. Бланше, Жерар; Шарби, Морис (2014). Цифровая обработка сигналов и изображений с использованием MATLAB . Том 1 (Второе изд.). Нью-Джерси: Wiley. С. 349–360. ISBN 978-1848216402.
75. Вайдман 1980, Теорема 4.8
76. Перес 1993, стр. 77–78.
77. Вайдманн (1980), Упражнение 4.11.
78. Вайдман 1980, §4.5
79. Бутаццо, Джаквинта и Хильдебрандт 1998, Теорема 5.17.
80. Халмош 1982, Задача 52, 58
81. Рудин 1973
82. Трев 1967, Глава 18
83. Общая ссылка для этого раздела — Рудин (1973), глава 12.
84. См. Prugovečki (1981), Reed & Simon (1980, Глава VIII) и Folland (1989).
85. Пруговечки 1981, III, §1.4
86. Данфорд и Шварц 1958, IV.4.17-18
87. Вайдман 1980, §3.4
88. Кадисон и Рингроуз, 1983, Теорема 2.6.4.
89. Данфорд и Шварц 1958, §IV.4.
90. Роман 2008, стр. 218
91. Рудин 1987, Определение 3.7
92. Для случая конечных индексных множеств см., например, Halmos 1957, § 5. Для бесконечных индексных множеств см. Weidmann 1980, теорема 3.6.
93. Хьюитт и Стромберг (1965), Теорема 16.26.
94. Левитан 2001. Многие авторы, такие как Данфорд и Шварц (1958, §IV.4), называют это просто размерностью. Если только гильбертово пространство не является конечномерным, это не то же самое, что его размерность как линейного пространства (мощность базиса Гамеля).
95. Хьюитт и Стромберг (1965), Теорема 16.29.
96. Пруговечки 1981, I, §4.2
97. Фон Нейман (1955) определяет гильбертово пространство через счетный базис Гильберта, который представляет собой изометрический изоморфизм с l ² . Соглашение все еще сохраняется в большинстве строгих трактовок квантовой механики; см., например, Sobrino 1996, Приложение B.
98. Стритер и Уайтман 1964, стр. 86–87
99. Янг 1988, Теорема 15.3
100. фон Нейман 1955, Теорема 16
101. фон Нейман 1955, Теорема 14
102. Какутани 1939
103. Линденштраусс и Цафрири 1971
104. Халмош 1957, §12
105. Общий отчет о спектральной теории в гильбертовых пространствах можно найти в Riesz & Sz.-Nagy (1990). Более сложный отчет на языке C*-алгебр находится в Rudin (1973) или Kadison & Ringrose (1997)
106. См., например, Riesz & Sz.-Nagy (1990, Глава VI) или Weidmann 1980, Глава 7. Этот результат был известен еще Шмидту (1908) в случае операторов, возникающих из интегральных ядер.
107. Рисс и Сз.-Надь 1990, §§107–108.
108. Шубин 1987
109. Рудин 1973, Теорема 13.30.
110. Пинчон, Томас (1973). Радуга гравитации . Viking Press. С. 217, 275. ISBN 978-0143039945.

Ссылки

• Акслер, Шелдон (18 декабря 2014 г.), Линейная алгебра, выполненная правильно , Undergraduate Texts in Mathematics (3-е изд.), Springer Publishing (опубликовано в 2015 г.), стр. 296, ISBN 978-3-319-11079-0
• Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2000), Фурье и вейвлет-анализ , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98899-3, г-н  1729490.
• Берс, Липман ; Джон, Фриц ; Шехтер, Мартин (1981), Уравнения с частными производными , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0049-2.
• Биллингсли, Патрик (1986), Вероятность и мера , Wiley.
• Бурбаки, Николя (1986), Спектральные теории , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-201-00767-1.
• Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута С. (1991), История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Бреннер, С.; Скотт, Р.Л. (2005), Математическая теория методов конечных элементов (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-95451-6.
• Брезис, Хаим (2010), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных , Springer.
• Буттаццо, Джузеппе; Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1998), Одномерные вариационные задачи , Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, т. 15, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850465-8, г-н  1694383.
• Кларксон, JA (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Trans. Amer. Math. Soc. , 40 (3): 396–414, doi : 10.2307/1989630 , JSTOR  1989630.
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, т. I , Interscience.
• Дьедонне, Жан (1960), Основы современного анализа , Academic Press.
• Дирак, П.А.М. (1930), Принципы квантовой механики , Оксфорд: Clarendon Press.
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, части I и II , Wiley-Interscience.
• Дюрен, П. (1970), Теория H ^p -пространств , Нью-Йорк: Academic Press.
• Эйнзидлер, Манфред; Уорд, Томас (2011), Эргодическая теория с видом на теорию чисел , Springer.
• Эванс, Л.К. (1998), Уравнения с частными производными , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2.
• Фолланд, Джеральд Б. (2009), Анализ Фурье и его применение (переиздание Уодсворта и Брукса/Коула, 1992 г.), Книжный магазин Американского математического общества, ISBN 978-0-8218-4790-9.
• Фолланд, Джеральд Б. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Annals of Mathematics Studies, т. 122, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08527-2.
• Фреше, Морис (1907), «Sur les ансамбли функций и линейные операции», CR Acad. наук. Париж , 144 : 1414–1416 гг..
• Фреше, Морис (1904), «Sur les opérations linéaires», Труды Американского математического общества , 5 (4): 493–499, номер документа : 10.2307/1986278, JSTOR  1986278.
• Джусти, Энрико (2003), Прямые методы в вариационном исчислении , World Scientific, ISBN 978-981-238-043-2.
• Грэттан-Гиннесс, Айвор (2000), Поиск математических корней, 1870–1940 , Princeton Paperbacks, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05858-0, г-н  1807717.
• Халмос, Пол (1957), Введение в гильбертово пространство и теорию спектральной кратности , Chelsea Pub. Co.
• Халмош, Пол (1982), Книга задач гильбертова пространства , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0.
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Гильберт, Дэвид ; Нордхайм, Лотар Вольфганг ; фон Нейман, Джон (1927), «Über die Grundlagen der Quantenmechanik», Mathematische Annalen , 98 : 1–30, doi : 10.1007/BF01451579, S2CID  120986758.
• Холево, Александр С. (2001), Статистическая структура квантовой теории , Lecture Notes in Physics, Springer, ISBN 3-540-42082-7, OCLC  318268606.
• Кац, Марк (1966), «Можно ли услышать форму барабана?», American Mathematical Monthly , 73 (4, часть 2): 1–23, doi :10.2307/2313748, JSTOR  2313748.
• Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1997), Основы теории операторных алгебр. Том I , Аспирантура по математике, том 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0819-1, г-н  1468229.
• Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983), Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория , Нью-Йорк: Academic Press, Inc.
• Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен (2019), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-97655-6

• Какутани, Сидзуо (1939), «Некоторые характеристики евклидова пространства», Японский математический журнал , 16 : 93–97, doi : 10.4099/jjm1924.16.0_93 , MR  0000895.
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних времен до наших дней, том 3 (3-е изд.), Oxford University Press (опубликовано в 1990 г.), ISBN 978-0-19-506137-6.
• Колмогоров, Андрей ; Фомин, Сергей В. (1970), Вводный реальный анализ (пересмотренное английское издание, перевод Ричарда А. Сильвермана (1975) ред.), Dover Press, ISBN 978-0-486-61226-3.
• Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Ланцос, Корнелиус (1988), Прикладной анализ (переиздание издания Prentice-Hall 1956 г.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-65656-4.
• Лебег, Анри (1904), «Уроки интеграции и исследования примитивных функций», Готье-Виллар.
• Левитан, Б.М. (2001) [1994], "Гильбертово пространство", Энциклопедия математики , EMS Press.
• Линденштраус, Дж.; Цафрири, Л. (1971), «О проблеме дополнительных подпространств», Israel Journal of Mathematics , 9 (2): 263–269, doi :10.1007/BF02771592, ISSN  0021-2172, MR  0276734, S2CID  119575718.
• Марсден, Джерролд Э. (1974), Элементарный классический анализ , WH Freeman and Co., MR  0357693.
• Мерфи, Джеральд Дж. (1990), C*-алгебры и теория операторов , Academic Press, ISBN 0-12-511360-9.
• фон Нейман, Джон (1929), «Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren», Mathematische Annalen , 102 : 49–131, doi : 10.1007/BF01782338, S2CID  121249803.
• фон Нейман, Джон (1932), «Физические приложения эргодической гипотезы», Proc Natl Acad Sci USA , 18 (3): 263–266, Bibcode : 1932PNAS...18..263N, doi : 10.1073/pnas.18.3.263 , JSTOR  86260, PMC  1076204 , PMID  16587674.
• фон Нейман, Джон (1955), Математические основы квантовой механики , Princeton Landmarks in Mathematics, перевод Бейера, Роберта Т., Princeton University Press (опубликовано в 1996 году), ISBN 978-0-691-02893-4, г-н  1435976.
• Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек Л. (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5, OCLC  634735192.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1996), «Абстрактные линейные пространства», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Патрия, Р.К. (1996), Статистическая механика (2-е изд.), Academic Press.
• Педерсен, Герт (1995), Анализ сейчас , Тексты для выпускников по математике, том. 118, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-1-4612-6981-6, МР  0971256
• Перес, Эшер (1993), Квантовая теория: концепции и методы , Kluwer, ISBN 0-7923-2549-4, OCLC  28854083
• Пруговечки, Эдуард (1981), Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.), Дувр (опубликовано в 2006 г.), ISBN 978-0-486-45327-9.
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980), Функциональный анализ (т. I из 4 томов) , Методы современной математической физики, Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6.
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1975), Анализ Фурье, Самосопряженность (том II из 4 томов) , Методы современной математической физики, Academic Press, ISBN 9780125850025.
• Риффель, Элеанор Г.; Полак, Вольфганг Х. (2011-03-04), Квантовые вычисления: краткое введение , MIT Press, ISBN 978-0-262-01506-6.
• Рис, Фридьес (1907), «Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables», CR Acad. наук. Париж , 144 : 1409–1411..
• Рис, Фридьес (1934), "Zur Theorie des Hilbertschen Raumes", Acta Sci. Математика. Сегед , 7 : 34–38..
• Рисс, Фридьес ; Сз.-Надь, Бела (1990), Функциональный анализ , Дувр, ISBN 978-0-486-66289-3.
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
• Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 25 (первое издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259.
• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9.
• Сакс, Станислав (2005), Теория интеграла (2-е изд. Дувра), Дувр, ISBN 978-0-486-44648-6; первоначально опубликовано Monografje Matematyczne , vol. 7, Варшава, 1937 г.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шмидт, Эрхард (1908), «Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten», Rend. Цирк. Мат. Палермо , 25 : 63–77, doi : 10.1007/BF03029116, S2CID  120666844.
• Шубин, М.А. (1987), Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория , Springer Series in Soviet Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13621-7, МР  0883081.
• Собрино, Луис (1996), Элементы нерелятивистской квантовой механики , Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., Bibcode : 1996lnrq.book.....S, doi : 10.1142/2865, ISBN 978-981-02-2386-1, МР  1626401.
• Стэплтон, Джеймс (1995), Линейные статистические модели , John Wiley and Sons.
• Стюарт, Джеймс (2006), Исчисление: концепции и контексты (3-е изд.), Томсон/Брукс/Коул.
• Стайн, Э. (1970), Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Princeton Univ. Press, ISBN 978-0-691-08079-6.
• Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Стайн, Э.; Шакарчи, Р. (2005), Действительный анализ, теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства , Princeton University Press.
• Стритер, Рэй ; Уайтман, Артур (1964), PCT, спин и статистика и все такое , WA Benjamin, Inc..
• Струк, Дэниел (2011), Теория вероятностей: аналитический взгляд (2-е изд.), Cambridge University Press.
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; с приложениями к операторам Шредингера. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5..
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1946), Разложения по собственным функциям, часть 1 , Оксфордский университет: Clarendon Press.
• Трев, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Academic Press.
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90894-6.
• Вайдманн, Иоахим (1980), Линейные операторы в гильбертовых пространствах , Тексты для аспирантов по математике, том. 68, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90427-6, МР  0566954.
• Вейль, Герман (1931), Теория групп и квантовая механика (англ. изд. 1950 г.), Dover Press, ISBN 978-0-486-60269-1.
• Янг, Николас (1988), Введение в гильбертово пространство , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33071-8, ЗБЛ  0645.46024.

Внешние ссылки

• «Гильбертово пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Гильбертово пространство в Mathworld
• 245B, примечания 5: Гильбертовы пространства Теренса Тао