В математической физике аксиомы Вайтмана (также называемые аксиомами Гординга–Вайтмана ), [1] [2] названные в честь Артура Вайтмана , [3] являются попыткой математически строгой формулировки квантовой теории поля . Артур Вайтман сформулировал аксиомы в начале 1950-х годов, [4] но они были впервые опубликованы только в 1964 году [5] после того, как теория рассеяния Хаага–Рюэля [6] [7] подтвердила их значимость.
Аксиомы существуют в контексте конструктивной квантовой теории поля и призваны обеспечить основу для строгой обработки квантовых полей и строгого обоснования используемых пертурбативных методов. Одной из проблем тысячелетия является реализация аксиом Вайтмана в случае полей Янга–Миллса .
Одна из основных идей аксиом Вайтмана заключается в том, что существует гильбертово пространство , на котором группа Пуанкаре действует унитарно . Таким образом, реализуются концепции энергии, импульса, момента импульса и центра масс (соответствующие усилениям).
Существует также предположение о стабильности, которое ограничивает спектр 4-импульса положительным световым конусом (и его границей). Однако этого недостаточно для реализации локальности . Для этого аксиомы Уайтмана имеют позиционно-зависимые операторы, называемые квантовыми полями, которые образуют ковариантные представления группы Пуанкаре .
Поскольку квантовая теория поля страдает от ультрафиолетовых проблем , значение поля в точке не является четко определенным. Чтобы обойти это, аксиомы Уайтмана вводят идею размазывания по тестовой функции для усмирения ультрафиолетовых расходимостей, которые возникают даже в теории свободного поля . Поскольку аксиомы имеют дело с неограниченными операторами , области определения операторов должны быть указаны.
Аксиомы Уайтмана ограничивают причинно-следственную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственно-подобными разделенными полями.
Они также постулируют существование инвариантного относительно Пуанкаре состояния, называемого вакуумом , и требуют, чтобы оно было единственным. Более того, аксиомы предполагают, что вакуум является «циклическим», т. е. что множество всех векторов, получаемых путем вычисления в элементах состояния вакуума полиномиальной алгебры, порожденной размазанными полевыми операторами, является плотным подмножеством всего гильбертова пространства.
Наконец, существует примитивное ограничение причинности, которое гласит, что любой полином в размытых полях может быть произвольно точно аппроксимирован (т.е. является пределом операторов в слабой топологии ) полиномами в размытых полях над тестовыми функциями с носителем в открытом множестве в пространстве Минковского, каузальным замыканием которого является все пространство Минковского.
Квантовая механика описывается согласно фон Нейману ; в частности, чистые состояния задаются лучами, т.е. одномерными подпространствами некоторого сепарабельного комплексного гильбертова пространства . В дальнейшем скалярное произведение векторов гильбертова пространства Ψ и Φ обозначается как , а норма Ψ обозначается как . Вероятность перехода между двумя чистыми состояниями [Ψ] и [Φ] может быть определена в терминах ненулевых векторных представителей Ψ и Φ следующим образом:
и не зависит от того, какие репрезентативные векторы Ψ и Φ выбраны.
Теория симметрии описывается по Вигнеру. Это сделано для того, чтобы воспользоваться успешным описанием релятивистских частиц Э. П. Вигнером в его знаменитой статье 1939 года; см. классификацию Вигнера . Вигнер постулировал, что вероятность перехода между состояниями одинакова для всех наблюдателей, связанных преобразованием специальной теории относительности . В более общем смысле он считал, что утверждение о том, что теория инвариантна относительно группы G, выражается в терминах инвариантности вероятности перехода между любыми двумя лучами. Утверждение постулирует, что группа действует на множестве лучей, то есть на проективном пространстве. Пусть ( a , L ) — элемент группы Пуанкаре (неоднородной группы Лоренца). Таким образом, a — это действительный четырехвектор Лоренца , представляющий изменение начала координат пространства-времени x ↦ x − a , где x находится в пространстве Минковского M 4 , а L — преобразование Лоренца , которое можно определить как линейное преобразование четырехмерного пространства-времени, сохраняющее расстояние Лоренца c 2 t 2 − x ⋅ x каждого вектора ( ct , x ). Тогда теория инвариантна относительно группы Пуанкаре, если для каждого луча Ψ пространства Гильберта и каждого элемента группы ( a , L ) задан преобразованный луч Ψ( a , L ) и вероятность перехода не изменяется при преобразовании:
Теорема Вигнера гласит, что при этих условиях преобразования в гильбертовом пространстве являются либо линейными, либо антилинейными операторами (если они, кроме того, сохраняют норму, то они являются унитарными или антиунитарными операторами); оператор симметрии в проективном пространстве лучей может быть поднят в лежащее в основе гильбертово пространство. Проделав это для каждого элемента группы ( a , L ), мы получаем семейство унитарных или антиунитарных операторов U ( a , L ) в нашем гильбертовом пространстве, такое, что луч Ψ, преобразованный ( a , L ), совпадает с лучом, содержащим U ( a , L )ψ. Если мы ограничим внимание элементами группы, связанными с единицей, то антиунитарный случай не возникает.
Пусть ( a , L ) и ( b , M ) — два преобразования Пуанкаре, и обозначим их групповое произведение через ( a , L )⋅( b , M ) ; из физической интерпретации мы видим, что луч, содержащий U ( a , L )[ U ( b , M )ψ] должен (для любого ψ) быть лучом, содержащим U (( a , L )⋅( b , M ))ψ (ассоциативность групповой операции). Возвращаясь от лучей к гильбертову пространству, эти два вектора могут отличаться фазой (а не нормой, поскольку мы выбираем унитарные операторы), которая может зависеть от двух групповых элементов ( a , L ) и ( b , M ), т. е. у нас есть не представление группы, а скорее проективное представление . Эти фазы не всегда можно отменить, переопределив каждое U ( a ), например, для частиц со спином 1/2. Вигнер показал, что лучшее, что можно получить для группы Пуанкаре, это
т. е. фаза кратна . Для частиц с целым спином (пионы, фотоны, гравитоны, ...) можно убрать знак ± путем дальнейших изменений фазы, но для представлений с полунечетным спином мы не можем, и знак меняется скачкообразно, когда мы обходим любую ось на угол 2π. Мы можем, однако, построить представление накрывающей группы группы Пуанкаре , называемой неоднородной SL(2, C ) ; она имеет элементы ( a , A ), где, как и прежде, a является четырехвектором, но теперь A является комплексной матрицей 2 × 2 с единичным определителем. Мы обозначаем унитарные операторы, которые мы получаем, как U ( a , A ), и они дают нам непрерывное, унитарное и истинное представление в том, что набор U ( a , A ) подчиняется групповому закону неоднородной SL(2, C ).
Из-за смены знака при поворотах на 2π эрмитовы операторы, преобразующиеся как спин 1/2, 3/2 и т. д., не могут быть наблюдаемыми . Это проявляется как правило суперотбора одновалентности : фазы между состояниями спина 0, 1, 2 и т. д. и между состояниями спина 1/2, 3/2 и т. д. не наблюдаются. Это правило является дополнением к ненаблюдаемости общей фазы вектора состояния. Что касается наблюдаемых и состояний | v ⟩, мы получаем представление U ( a , L ) группы Пуанкаре на подпространствах с целым спином и U ( a , A ) неоднородной SL(2, C ) на полунечетно-целых подпространствах, которое действует согласно следующей интерпретации:
Ансамбль , соответствующий U ( a , L )| v ⟩, следует интерпретировать относительно координат точно так же, как ансамбль, соответствующий | v ⟩, интерпретируется относительно координат x ; и аналогично для нечетных подпространств.
Группа пространственно-временных трансляций коммутативна , и поэтому операторы могут быть одновременно диагонализированы. Генераторы этих групп дают нам четыре самосопряженных оператора , которые преобразуются под действием однородной группы как четырехвектор, называемый четырехвектором энергии-импульса .
Вторая часть нулевой аксиомы Уайтмана заключается в том, что представление U ( a , A ) удовлетворяет спектральному условию — что одновременный спектр энергии-импульса содержится в прямом конусе:
Третья часть аксиомы заключается в том, что существует единственное состояние, представленное лучом в гильбертовом пространстве, которое инвариантно относительно действия группы Пуанкаре. Оно называется вакуумом.
Для каждой тестовой функции f , т. е. для функции с компактным носителем и непрерывными производными любого порядка, [8] существует набор операторов , которые вместе со своими сопряженными определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащего вакуум. Поля A являются операторнозначными темперированными распределениями . Гильбертово пространство состояний охватывается полевыми полиномами, действующими на вакуум (условие цикличности).
Поля ковариантны относительно действия группы Пуанкаре и преобразуются согласно некоторому представлению S группы Лоренца , или SL(2, C ), если спин не является целым числом:
Если носители двух полей пространственно разделены, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.
Цикличность вакуума и уникальность вакуума иногда рассматриваются отдельно. Также существует свойство асимптотической полноты — то, что гильбертово пространство состояний охватывается асимптотическими пространствами и , появляющимися в матрице столкновений S . Другим важным свойством теории поля является массовый зазор , который не требуется аксиомами — то, что спектр энергии-импульса имеет зазор между нулем и некоторым положительным числом.
Из этих аксиом вытекают некоторые общие теоремы:
Артур Уайтман показал, что распределения ожидаемых значений вакуума , удовлетворяющие определенному набору свойств, которые следуют из аксиом, достаточны для реконструкции теории поля — теорема реконструкции Уайтмана, включая существование вакуумного состояния ; он не нашел условия на ожидаемые значения вакуума, гарантирующего уникальность вакуума; это условие, свойство кластера , было найдено позже Ресом Йостом , Клаусом Хеппом , Дэвидом Рюэллем и Отмаром Штайнманном.
Если теория имеет массовый разрыв , т.е. нет масс между 0 и некоторой константой, большей нуля, то распределения вакуумных ожиданий асимптотически независимы в удаленных областях.
Теорема Хаага утверждает, что не может быть никакой картины взаимодействия — что мы не можем использовать пространство Фока невзаимодействующих частиц в качестве гильбертова пространства — в том смысле, что мы идентифицировали бы гильбертовы пространства через полевые полиномы, действующие на вакуум в определенный момент времени.
Структура Уайтмана не охватывает состояния с бесконечной энергией, такие как состояния с конечной температурой.
В отличие от локальной квантовой теории поля , аксиомы Вайтмана ограничивают каузальную структуру теории явно, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственноподобными разделенными полями, вместо того, чтобы выводить каузальную структуру как теорему. Если рассмотреть обобщение аксиом Вайтмана на измерения, отличные от 4, этот постулат (анти)коммутативности исключает анионы и косовую статистику в меньших измерениях.
Постулат Уайтмана об уникальном вакуумном состоянии не обязательно делает аксиомы Уайтмана неприменимыми для случая спонтанного нарушения симметрии , поскольку мы всегда можем ограничиться сектором суперотбора .
Цикличность вакуума, требуемая аксиомами Уайтмана, означает, что они описывают только сектор суперселекции вакуума; опять же, это не большая потеря общности. Однако это предположение не учитывает состояния с конечной энергией, такие как солитоны, которые не могут быть сгенерированы полиномом полей, размазанных тестовыми функциями, поскольку солитон, по крайней мере с точки зрения теории поля, является глобальной структурой, включающей топологические граничные условия на бесконечности.
Структура Уайтмана не охватывает эффективные теории поля , поскольку не существует предела тому, насколько мала может быть поддержка тестовой функции. То есть, не существует шкалы отсечения .
Рамка Вайтмана также не охватывает калибровочные теории . Даже в абелевых калибровочных теориях общепринятые подходы начинаются с «гильбертова пространства» с неопределенной нормой (следовательно, не совсем гильбертова пространства, которое требует положительно определенной нормы, но физики тем не менее называют его гильбертовым пространством), а физические состояния и физические операторы принадлежат когомологиям . Это, очевидно, нигде не охватывается в рамках Вайтмана. (Однако, как показали Швингер, Крист и Ли, Грибов, Цванцигер, Ван Баал и т. д., каноническое квантование калибровочных теорий в кулоновской калибровке возможно с обычным гильбертовым пространством, и это может быть способом заставить их подпадать под применимость аксиоматической систематики.)
Аксиомы Уайтмана можно перефразировать в терминах состояния, называемого функционалом Уайтмана на алгебре Борхерса, равной тензорной алгебре пространства тестовых функций.
Аксиомы Уайтмана можно обобщить на измерения, отличные от 4. В измерениях 2 и 3 были построены взаимодействующие (т.е. несвободные) теории, удовлетворяющие аксиомам.
В настоящее время нет доказательств того, что аксиомы Вайтмана могут быть удовлетворены для взаимодействующих теорий в размерности 4. В частности, Стандартная модель физики элементарных частиц не имеет математически строгих основ. Существует приз в миллион долларов за доказательство того, что аксиомы Вайтмана могут быть удовлетворены для калибровочных теорий , с дополнительным требованием массового зазора.
При определенных технических предположениях было показано, что евклидова квантовая теория поля может быть повернута по Вику в квантовую теорию поля Вайтмана, см. теорему Остервальдера–Шрадера . Эта теорема является ключевым инструментом для построения взаимодействующих теорий в размерности 2 и 3, которые удовлетворяют аксиомам Вайтмана.
![{\displaystyle P{\big (}[\Psi ],[\Phi ]{\big)} = {\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \ rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41bba3a028458b17cd7ca1495269d09599edebb)
