Последовательность Коши

Последовательность точек, которые постепенно приближаются друг к другу

В математике последовательность Коши — это последовательность , элементы которой произвольно сближаются друг с другом по мере продвижения последовательности. ^[1] Точнее, при любом небольшом положительном расстоянии все элементы последовательности, за исключением конечного числа, находятся на меньшем расстоянии друг от друга, чем данное расстояние. Последовательности Коши названы в честь Огюстена-Луи Коши ; иногда их называют фундаментальными последовательностями . ^[2]

Недостаточно, чтобы каждый член стал произвольно близким к предыдущему члену. Например, в последовательности квадратных корней натуральных чисел: последовательные члены становятся произвольно близкими друг к другу — их разности стремятся к нулю по мере роста индекса n . Однако с ростом значений n члены становятся произвольно большими. Таким образом, для любого индекса n и расстояния d существует индекс m достаточно большой, такой что В результате, как бы далеко мы ни зашли, оставшиеся члены последовательности никогда не станут близкими друг к другу ; следовательно, последовательность не является последовательностью Коши. $${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}},}$$ $${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{m}-a_{n}>d.}$

Полезность последовательностей Коши заключается в том, что в полном метрическом пространстве (где все такие последовательности, как известно, сходятся к пределу ), критерий сходимости зависит только от членов самой последовательности, в отличие от определения сходимости, которое использует предельное значение, а также члены. Это часто используется в алгоритмах , как теоретических, так и прикладных, где итеративный процесс может быть сравнительно легко показан для создания последовательности Коши, состоящей из итераций, тем самым выполняя логическое условие, такое как завершение.

Обобщения последовательностей Коши в более абстрактных однородных пространствах существуют в виде фильтров Коши и сетей Коши .

В реальных цифрах

Последовательность действительных чисел называется последовательностью Коши, если для каждого положительного действительного числа существует положительное целое число N такое, что для всех натуральных чисел , где вертикальные черты обозначают абсолютное значение . Аналогичным образом можно определить последовательности Коши рациональных или комплексных чисел . Коши сформулировал такое условие, потребовав быть бесконечно малыми для каждой пары бесконечных m , n . $${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$ ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle m,n>N,}$ $${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon ,}$$ ${\displaystyle x_{m}-x_{n}}$

Для любого действительного числа r последовательность усеченных десятичных расширений r образует последовательность Коши. Например, когда эта последовательность равна (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). Члены m и n отличаются не более чем на величину , когда m < n , и по мере роста m она становится меньше любого фиксированного положительного числа ${\displaystyle r=\pi ,}$ ${\displaystyle 10^{1-m}}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Модуль сходимости Коши

Если — последовательность в множестве , то модуль сходимости Коши для последовательности — это функция из множества натуральных чисел в себя, такая, что для всех натуральных чисел и натуральных чисел ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$ ${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

Любая последовательность с модулем сходимости Коши является последовательностью Коши. Существование модуля для последовательности Коши следует из свойства полного упорядочения натуральных чисел (пусть будет наименьшим возможным в определении последовательности Коши, принимая, что ). Существование модуля также следует из принципа счетного выбора . Регулярные последовательности Коши — это последовательности с заданным модулем сходимости Коши (обычно или ). Любая последовательность Коши с модулем сходимости Коши эквивалентна регулярной последовательности Коши; это можно доказать без использования какой-либо формы аксиомы выбора. ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle \alpha (k)=k}$ ${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$

Модули сходимости Коши используются конструктивными математиками, которые не желают использовать какую-либо форму выбора. Использование модуля сходимости Коши может упростить как определения, так и теоремы в конструктивном анализе. Регулярные последовательности Коши использовались Бишопом (2012) и Бриджесом (1997) в учебниках по конструктивной математике.

В метрическом пространстве

Поскольку определение последовательности Коши включает только метрические понятия, его легко обобщить на любое метрическое пространство X. Для этого абсолютное значение заменяется расстоянием (где d обозначает метрику ) между и ${\displaystyle \left|x_{m}-x_{n}\right|}$ ${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

Формально, если задано метрическое пространство, последовательность элементов которого является последовательностью Коши, то для каждого положительного действительного числа существует положительное целое число такое, что для всех положительных целых чисел расстояние ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,}$ $${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)<\varepsilon .}$$

Грубо говоря, члены последовательности становятся все ближе и ближе друг к другу таким образом, что это предполагает, что последовательность должна иметь предел в X. Тем не менее, такой предел не всегда существует внутри X : свойство пространства, заключающееся в том, что каждая последовательность Коши сходится в этом пространстве, называется полнотой и подробно описывается ниже.

Полнота

Метрическое пространство ( X , d ), в котором каждая последовательность Коши сходится к элементу X, называется полным .

Примеры

Действительные числа являются полными относительно метрики, индуцированной обычным абсолютным значением, и одна из стандартных конструкций действительных чисел включает последовательности Коши рациональных чисел . В этой конструкции каждый класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел с определенным поведением хвоста — то есть каждый класс последовательностей, которые произвольно приближаются друг к другу — является действительным числом.

Совсем другой тип примера дает метрическое пространство X , имеющее дискретную метрику (где любые две различные точки находятся на расстоянии 1 друг от друга). Любая последовательность Коши элементов X должна быть постоянной за пределами некоторой фиксированной точки и сходиться к в конечном счете повторяющемуся члену.

Непример: рациональные числа

Рациональные числа не являются полными (для обычного расстояния): Существуют последовательности рациональных чисел, которые сходятся (в ) к иррациональным числам ; это последовательности Коши, не имеющие предела в Фактически, если действительное число x иррационально, то последовательность ( x _n ), n -й член которой является усечением до n десятичных знаков десятичного разложения x , дает последовательность Коши рациональных чисел с иррациональным пределом x . Иррациональные числа, безусловно, существуют в , например: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• Последовательность, определяемая как , состоит из рациональных чисел (1, 3/2, 17/12,...), что ясно из определения; однако она сходится к иррациональному квадратному корню из 2 , см. Вавилонский метод вычисления квадратного корня . ${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}}$
• Последовательность отношений последовательных чисел Фибоначчи , которая, если она вообще сходится, сходится к пределу, удовлетворяющему , и ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Если рассматривать это как последовательность действительных чисел, однако, она сходится к действительному числу Золотое сечение , которое является иррациональным. ${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,}$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$
• Известно , что значения экспоненциальной, синусной и косинусной функций exp( x ), sin( x ), cos( x ) иррациональны для любого рационального значения , но каждое из них можно определить как предел рациональной последовательности Коши, используя, например, ряд Маклорена . ${\displaystyle x\neq 0,}$

Непример: открытый интервал

Открытый интервал в множестве действительных чисел с обычным расстоянием в не является полным пространством: в нем есть последовательность, которая является последовательностью Коши (для сколь угодно малого расстояния, охватывающего все члены последовательности в интервале), однако не сходится в — ее «предел», число 0, не принадлежит пространству ${\displaystyle X=(0,2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n>1/d}$ ${\displaystyle (0,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Другие свойства

• Каждая сходящаяся последовательность (скажем, с пределом s ) является последовательностью Коши, поскольку для любого действительного числа за пределами некоторой фиксированной точки каждый член последовательности находится на расстоянии от s , поэтому любые два члена последовательности находятся на расстоянии друг от друга. ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \varepsilon /2}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши ограничена (поскольку для некоторого N все члены последовательности, начиная с N -го, находятся на расстоянии 1 друг от друга, и если M — наибольшее расстояние между и любыми членами до N -го, то ни один член последовательности не имеет расстояния, большего, чем от ). ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{N}}$ ${\displaystyle M+1}$ ${\displaystyle x_{N}}$
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши, имеющая сходящуюся подпоследовательность с пределом s, сама является сходящейся (с тем же пределом), поскольку для любого действительного числа r > 0 за пределами некоторой фиксированной точки исходной последовательности каждый член подпоследовательности находится на расстоянии r /2 от s , а любые два члена исходной последовательности находятся на расстоянии r /2 друг от друга, поэтому каждый член исходной последовательности находится на расстоянии r от s .

Эти два последних свойства вместе с теоремой Больцано–Вейерштрасса дают одно стандартное доказательство полноты действительных чисел, тесно связанное как с теоремой Больцано–Вейерштрасса, так и с теоремой Гейне–Бореля . Каждая последовательность Коши действительных чисел ограничена, следовательно, по Больцано–Вейерштрассу имеет сходящуюся подпоследовательность, следовательно, сама является сходящейся. Это доказательство полноты действительных чисел неявно использует аксиому наименьшей верхней границы . Альтернативный подход, упомянутый выше, построения действительных чисел как завершения рациональных чисел, делает полноту действительных чисел тавтологической.

Одна из стандартных иллюстраций преимущества работы с последовательностями Коши и использования полноты представлена ​​рассмотрением суммирования бесконечного ряда действительных чисел (или, в более общем смысле, элементов любого полного нормированного линейного пространства или банахова пространства ). Такой ряд считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходится последовательность частичных сумм , где Определить, является ли последовательность частичных сумм последовательностью Коши или нет, является рутинной задачей, поскольку для положительных целых чисел ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ ${\displaystyle (s_{m})}$ ${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$ ${\displaystyle p>q,}$ $${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

Если — равномерно непрерывное отображение между метрическими пространствами M и N и ( x _n ) — последовательность Коши в M , то — последовательность Коши в N . Если и — две последовательности Коши в рациональных, действительных или комплексных числах, то сумма и произведение также являются последовательностями Коши. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$

Обобщения

В топологических векторных пространствах

Существует также концепция последовательности Коши для топологического векторного пространства : выберем локальную базу для приблизительно 0; тогда ( ) будет последовательностью Коши, если для каждого члена существует некоторое число такое, что всякий раз, когда является элементом Если топология совместима с инвариантной относительно трансляции метрикой, два определения согласуются. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle V\in B,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$

В топологических группах

Поскольку определение последовательности Коши в топологическом векторном пространстве требует только того, чтобы существовала непрерывная операция «вычитания», его можно с тем же успехом сформулировать в контексте топологической группы : последовательность в топологической группе является последовательностью Коши, если для каждой открытой окрестности единицы в существует некоторое число такое, что всякий раз, когда следует, что Как и выше, достаточно проверить это для окрестностей в любой локальной базе единицы в ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$ ${\displaystyle G.}$

Как и в конструкции пополнения метрического пространства , можно далее определить бинарное отношение на последовательностях Коши в том, что и эквивалентны, если для каждой открытой окрестности единицы в существует некоторое число такое, что всякий раз, когда следует, что Это отношение является отношением эквивалентности : Оно рефлексивно, поскольку последовательности являются последовательностями Коши. Оно симметрично, поскольку , которое по непрерывности обратной является другой открытой окрестностью единицы. Оно транзитивно , поскольку , где и являются открытыми окрестностями единицы такими, что ; такие пары существуют по непрерывности групповой операции. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (y_{k})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$ ${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$ ${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U''}$ ${\displaystyle U'U''\subseteq U}$

В группах

Существует также понятие последовательности Коши в группе : Пусть — убывающая последовательность нормальных подгрупп группы конечного индекса . Тогда последовательность в называется последовательностью Коши (относительно ), если и только если для любого существует такое, что для всех ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H=(H_{r})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

Технически это то же самое, что и топологическая групповая последовательность Коши для конкретного выбора топологии, а именно той, для которой является локальная база. ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$

Множество таких последовательностей Коши образует группу (для покомпонентного произведения), а множество нулевых последовательностей (последовательностей таких, что ) является нормальной подгруппой группы Фактор -группа называется пополнением относительно ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle C/C_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$

Затем можно показать, что это завершение изоморфно обратному пределу последовательности ${\displaystyle (G/H_{r}).}$

Примером этой конструкции, известной в теории чисел и алгебраической геометрии, является конструкция -адического пополнения целых чисел относительно простого числа. В этом случае — это целые числа, подлежащие сложению, а — аддитивная подгруппа, состоящая из целых кратных ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle p_{r}.}$

Если — конфинальная последовательность (то есть любая нормальная подгруппа конечного индекса содержит некоторое ), то это пополнение является каноническим в том смысле, что оно изоморфно обратному пределу , где варьируется по всем нормальным подгруппам конечного индекса . Более подробную информацию см. в гл. I.10 в «Алгебре» Лэнга . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle (G/H)_{H},}$ ${\displaystyle H}$

В гиперреальном континууме

Действительная последовательность имеет естественное гипердействительное расширение, определенное для гиперестественных значений H индекса n в дополнение к обычному натуральному n . Последовательность является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда для любых бесконечных H и K значения и бесконечно близки или равны , то есть ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$ ${\displaystyle u_{H}}$ ${\displaystyle u_{K}}$

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

где «st» — стандартная частичная функция .

Коши завершение категорий

Краузе (2020) ввел понятие пополнения Коши категории . Применительно к (категории, объекты которой являются рациональными числами, и существует морфизм из x в y тогда и только тогда, когда ), это пополнение Коши дает (снова интерпретируемое как категория, использующая ее естественный порядок). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$

Смотрите также

• Режимы конвергенции (аннотированный указатель)  – Аннотированный указатель различных режимов конвергенции
• Дедекиндово сечение  – Метод построения действительных чисел

Ссылки

1. Ланг 1992.
2. Эббингауз, Хайнц-Дитер (1991). Числа . Нью-Йорк: Springer. С. 40.

Дальнейшее чтение

• Бишоп, Эрретт Альберт (2012). Основы конструктивного анализа . Ishi Press. ISBN 9784871877145.

• Бурбаки, Николас (1972). Коммутативная алгебра (перевод на английский язык). Addison-Wesley / Hermann. ISBN 0-201-00644-8.

• Бриджес, Дуглас Сазерленд (1997). Основы конструктивного анализа . Springer. ISBN 978-0-387-98239-7.

• Краузе, Хеннинг (2020). «Завершение совершенных комплексов: с приложениями Тобиаса Бартеля и Бернхарда Келлера». Mathematische Zeitschrift . 296 (3–4): 1387–1427. arXiv : 1805.10751 . дои : 10.1007/s00209-020-02490-z .

• Ланг, Серж (1992). Алгебра (3-е изд.). Рединг, Массачусетс: Addison Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-55540-0. Збл  0848.13001.

• Спивак, Майкл (1994). Calculus (3-е изд.). Беркли, Калифорния: Publish or Perish. ISBN 0-914098-89-6. Архивировано из оригинала 2007-05-17 . Получено 2007-05-26 .

• Троелстра, А.С .; ван Дален, Д. (1988). Конструктивизм в математике: Введение .(для использования в конструктивной математике)

Внешние ссылки

• «Последовательность Коши», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]