Комплексная плоскость

В математике комплексная плоскость — это плоскость , образованная комплексными числами в декартовой системе координат , в которой горизонтальная ось $x$ , называемая действительной осью , образована действительными числами , а вертикальная ось $y$ , называемая мнимой осью , образована мнимыми числами .

Комплексная плоскость допускает геометрическую интерпретацию комплексных чисел. При сложении они складывают подобные векторы . Умножение двух комплексных чисел можно выразить проще в полярных координатах — величина или модуль произведения является произведением двух абсолютных значений , или модулей, а угол или аргумент произведения является суммой двух углов, или аргументов. В частности, умножение на комплексное число с модулем 1 действует как поворот.

Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана или плоскостью Гаусса .

Условные обозначения

Комплексные числа

В комплексном анализе комплексные числа обычно обозначаются символом $z$ , который можно разделить на действительную ( $x$ ) и мнимую ( $y$ ) части:

$z=x+iy$

например: $z = 4 + 5 i$ , где $x$ и $y$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица . В этой общепринятой записи комплексное число $z$ соответствует точке $(x, y)$ на декартовой плоскости ; точка $(x, y)$ может быть также представлена в полярных координатах с помощью:

${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}$

В декартовой плоскости можно предположить, что область действия функции арктангенса принимает значения $(-π/2, π/2)$ (в радианах ), и необходимо проявить некоторую осторожность, чтобы определить более полную функцию арктангенса для точек $(x, y),$ когда $x \leq 0.$ [ ^{примечание 1]} В комплексной плоскости эти полярные координаты принимают вид

${\begin{aligned}z&=x+iy\\&=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\&=|z|e^{i\theta }\end{aligned}}$

где ^{[примечание 2]}

${\begin{aligned}|z|&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arg(z)\\&={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}\\&=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\end{aligned}}$

Здесь $| z |$ — абсолютное значение или модуль комплексного числа $z$ ; $θ$ , аргумент z , обычно берется на интервале $0 \leq$ $θ$ $< 2$ $π$ ; и последнее равенство (to $|$ $z$ $|$ $e$ $iθ$ ) берется из формулы Эйлера . Без ограничения на диапазон $θ$ $аргумент$ z $является$ многозначным, поскольку комплексная показательная функция является периодической с периодом $2$ $πi$ . Таким образом, если $θ$ — одно значение $arg($ $z$ $)$ , другие значения задаются как $arg($ $z$ $) =$ $θ$ $+ 2$ $nπ$ , где $n$ — любое ненулевое целое число. ^[2]

Хотя геометрическое представление комплексных чисел редко используется явно, оно неявно основано на его структуре евклидова векторного пространства размерности 2, где скалярное произведение комплексных чисел $w$ и $z$ задается выражением ; тогда для комплексного числа $z$ его абсолютное значение $|$ $z$ $|$ совпадает с его евклидовой нормой, а его аргумент $arg($ $z$ $)$ — с углом поворота от 1 до $z$ . $\Re (w{\overline {z}})$

Теория контурного интегрирования составляет большую часть комплексного анализа. В этом контексте направление движения по замкнутой кривой важно — изменение направления, в котором проходится кривая, умножает значение интеграла на $-1$ . По соглашению положительное направление — против часовой стрелки. Например, единичная окружность проходится в положительном направлении, когда мы начинаем в точке $z = 1$ , затем движемся вверх и влево через точку $z = i$ , затем вниз и влево через $-1$ , затем вниз и вправо через $- i$ и, наконец, вверх и вправо до $z = 1$ , откуда мы начали.

Почти весь комплексный анализ связан с комплексными функциями , то есть с функциями, которые отображают некоторое подмножество комплексной плоскости в некоторое другое (возможно, перекрывающееся или даже идентичное) подмножество комплексной плоскости. Здесь принято говорить о домене $f$ ( z $)$ $как$ $о$ лежащей в $z$ -плоскости, в то время как область f ( z ) относится к множеству $точек$ $в$ $w$ $-плоскости$ . В $символах$ мы пишем

${\begin{aligned}z&=x+iy\\f(z)&=w\\&=u+iv\end{aligned}}$

и часто думают о функции $f$ как о преобразовании из плоскости $z$ (с координатами $(x, y)$ ) в плоскость $w$ (с координатами $(u, v)$ ).

Обозначение комплексной плоскости

Комплексная плоскость обозначается как . $\mathbb {C}$

Диаграмма Арганда

Геометрическое представление комплексной точки $z = x + yi$ в комплексной плоскости. Расстояние вдоль прямой от начала координат до точки z $=$ $x + yi является модулем$ или *абсолютным* значением z . Угол $θ$ является *аргументом* $z$ .

Диаграмма Аргана относится к геометрическому графику комплексных чисел в виде точек $z = x + iy,$ использующему горизонтальную ось $x$ в качестве действительной оси и вертикальную ось $y$ в качестве мнимой оси. ^[3] Такие графики названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые они были описаны норвежско-датским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). ^{[примечание 3]} Диаграммы Аргана часто используются для построения графиков положений нулей и полюсов функции на комплексной плоскости.

Стереографические проекции

Может быть полезно думать о комплексной плоскости так, как если бы она занимала поверхность сферы. Дана сфера единичного радиуса, поместите ее центр в начало комплексной плоскости, ориентированной так, чтобы экватор на сфере совпадал с единичной окружностью на плоскости, а северный полюс находился «над» плоскостью.

Мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между точками на поверхности сферы за вычетом северного полюса и точками на комплексной плоскости следующим образом. Для данной точки на плоскости нарисуйте прямую линию, соединяющую ее с северным полюсом на сфере. Эта линия пересечет поверхность сферы ровно в одной другой точке. Точка $z = 0$ будет спроецирована на южный полюс сферы. Поскольку внутренняя часть единичной окружности лежит внутри сферы, вся эта область ( $| z | < 1$ ) будет отображена на южное полушарие. Сама единичная окружность ( $| z | = 1$ ) будет отображена на экватор, а внешняя часть единичной окружности ( $| z | > 1$ ) будет отображена на северное полушарие за вычетом северного полюса. Очевидно, что эта процедура обратима — для любой точки на поверхности сферы, которая не является северным полюсом, мы можем нарисовать прямую линию, соединяющую эту точку с северным полюсом и пересекающую плоскую плоскость ровно в одной точке.

При этой стереографической проекции сам северный полюс не связан ни с одной точкой в комплексной плоскости. Мы совершенствуем взаимно однозначное соответствие, добавляя еще одну точку в комплексную плоскость – так называемую точку на бесконечности – и отождествляя ее с северным полюсом на сфере. Это топологическое пространство, комплексная плоскость плюс точка на бесконечности, известно как расширенная комплексная плоскость . Мы говорим об одной «точке на бесконечности», когда обсуждаем комплексный анализ. На действительной числовой прямой есть две точки на бесконечности (положительная и отрицательная) , но на расширенной комплексной плоскости есть только одна точка на бесконечности (северный полюс). ^[5]

Представьте себе на мгновение, что произойдет с линиями широты и долготы, если их спроецировать со сферы на плоскую плоскость. Линии широты все параллельны экватору, поэтому они станут идеальными окружностями с центром в начале координат $z = 0.$ А линии долготы станут прямыми линиями, проходящими через начало координат (а также через «точку в бесконечности», поскольку они проходят как через северный, так и через южный полюса на сфере).

Это не единственная возможная, но правдоподобная стереографическая ситуация проекции сферы на плоскость, состоящая из двух или более значений. Например, северный полюс сферы может быть помещен поверх начала координат $z = -1$ в плоскости, касательной к окружности. Детали на самом деле не имеют значения. Любая стереографическая проекция сферы на плоскость даст одну «точку в бесконечности», и она отобразит линии широты и долготы на сфере в окружности и прямые линии, соответственно, на плоскости.

Разрезание плоскости

При обсуждении функций комплексной переменной часто удобно думать о разрезе в комплексной плоскости. Эта идея естественным образом возникает в нескольких различных контекстах.

Многозначные отношения и точки ветвления

Рассмотрим простое двузначное отношение

$w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}.$

Прежде чем мы сможем рассматривать это отношение как однозначную функцию , диапазон результирующего значения должен быть как-то ограничен. При работе с квадратными корнями неотрицательных действительных чисел это легко сделать. Например, мы можем просто определить

$y=g(x)={\sqrt {x}}=x^{1/2}$

быть неотрицательным действительным числом $y$ таким, что $y 2 = x$ . Эта идея не работает так хорошо в двумерной комплексной плоскости. Чтобы понять почему, давайте подумаем о том, как изменяется значение $f (z)$ при движении точки $z$ по единичной окружности. Мы можем записать и взять ${\textstyle z=re^{i\theta }}$ ${\begin{aligned}w&=z^{1/2}\\&={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2},\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .\end{aligned}}$

Очевидно, что при движении $z$ по всему кругу $w$ проходит только половину круга. Таким образом, одно непрерывное движение в комплексной плоскости преобразовало положительный квадратный корень $e 0 = 1$ в отрицательный квадратный корень $e iπ = -1$ .

Эта проблема возникает из-за того, что точка $z = 0$ имеет только один квадратный корень, в то время как любое другое комплексное число $z \neq 0$ имеет ровно два квадратных корня. На действительной числовой прямой мы могли бы обойти эту проблему, воздвигнув «барьер» в единственной точке $x = 0.$ В комплексной плоскости необходим больший барьер, чтобы предотвратить полное окружение любым замкнутым контуром точки ветвления $z = 0.$ Обычно это делается путем введения разреза ветвления ; в этом случае «разрез» может простираться от точки $z = 0$ вдоль положительной действительной оси до точки на бесконечности, так что аргумент переменной $z$ в плоскости ветвления ограничивается диапазоном $0 \leq arg(z) < 2 π$ .

Теперь мы можем дать полное описание $w = z 1/2$ . Для этого нам нужны две копии $z$ -плоскости, каждая из которых разрезана вдоль действительной оси. На одной копии мы определяем квадратный корень из 1 как $e 0 = 1$ , а на другой мы определяем квадратный корень из 1 как $e iπ = -1$ . Мы называем эти две копии полной плоскости сечения листами . Приводя аргумент непрерывности, мы видим, что (теперь однозначная) функция $w = z 1/2$ отображает первый лист в верхнюю половину $w$ -плоскости, где $0 \leq arg(w) < π$ , в то время как второй лист отображает в нижнюю половину $w$ -плоскости (где $π \leq arg(w) < 2 π$ ). ^[6]

В этом примере ветвь разреза не обязательно должна лежать вдоль действительной оси; она даже не обязательно должна быть прямой линией. Любая непрерывная кривая, соединяющая начало координат $z = 0$ с точкой на бесконечности, подойдет. В некоторых случаях ветвь разреза даже не обязательно должна проходить через точку на бесконечности. Например, рассмотрим соотношение

$w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2}.$

Здесь многочлен $z 2 - 1$ исчезает при $z = \pm1$ , поэтому $g$ , очевидно, имеет две точки ветвления. Мы можем «разрезать» плоскость вдоль действительной оси от $-1$ до $1$ и получить лист, на котором $g (z)$ является однозначной функцией. В качестве альтернативы разрез может проходить от $z = 1$ вдоль положительной действительной оси через точку на бесконечности, а затем продолжаться «вверх» по отрицательной действительной оси до другой точки ветвления, $z = -1$ .

Эту ситуацию проще всего визуализировать, используя стереографическую проекцию, описанную выше. На сфере один из этих разрезов проходит продольно через южное полушарие, соединяя точку на экваторе ( $z = -1$ ) с другой точкой на экваторе ( $z = 1$ ) и проходя по пути через южный полюс (начало координат, $z = 0$ ). Второй вариант разреза проходит продольно через северное полушарие и соединяет те же две экваториальные точки, проходя через северный полюс (то есть точку в бесконечности).

Ограничение области определения мероморфных функций

Мероморфная функция — это сложная функция, которая голоморфна и, следовательно, аналитична всюду в своей области определения, за исключением конечного или счетно бесконечного числа точек. ^{[примечание 4]} Точки, в которых такая функция не может быть определена, называются полюсами мероморфной функции. Иногда все эти полюса лежат на одной прямой. В этом случае математики могут сказать, что функция «голоморфна на плоскости сечения». Например:

Гамма -функция , определяемая как

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\right]$

где $γ$ — постоянная Эйлера–Маскерони , имеющая простые полюса при $0, -1, -2, -3, ...,$ поскольку ровно один знаменатель в бесконечном произведении обращается в нуль, когда $z = 0$ или отрицательное целое число. ^{[примечание 5]} Поскольку все ее полюса лежат на отрицательной действительной оси от $z = 0$ до точки на бесконечности, эту функцию можно описать как «голоморфную на плоскости разреза, причем разрез простирается вдоль отрицательной действительной оси от 0 (включительно) до точки на бесконечности».

Альтернативно, $Γ(z)$ можно описать как «голоморфную в плоскости разреза с $- π < arg(z) < π$ и исключая точку $z = 0$ ».

Этот разрез немного отличается от разреза ветви, с которым мы уже сталкивались, потому что он фактически исключает отрицательную действительную ось из плоскости разреза. Разрез ветви оставляет действительную ось соединенной с плоскостью разреза с одной стороны $(0 \leq θ)$ , но отделяет ее от плоскости разреза вдоль другой стороны $(θ < 2 π)$ .

Конечно, на самом деле не обязательно исключать весь отрезок прямой от $z = 0$ до $-\infty,$ чтобы построить область, в которой $Γ(z)$ голоморфна. Все, что нам действительно нужно сделать, это проколоть плоскость в счетно бесконечном множестве точек ${0, -1, -2, -3, ...}$ . Но замкнутый контур в проколотой плоскости может охватывать один или несколько полюсов $Γ(z)$ , давая контурный интеграл , который не обязательно равен нулю, по теореме о вычетах . Разрезание комплексной плоскости гарантирует не только то, что $Γ(z)$ голоморфна в этой ограниченной области, но и то, что контурный интеграл гамма-функции по любой замкнутой кривой, лежащей в плоскости разреза, тождественно равен нулю.

Указание областей конвергенции

Многие сложные функции определяются бесконечными рядами или непрерывными дробями . Фундаментальным соображением при анализе этих бесконечно длинных выражений является определение части комплексной плоскости, в которой они сходятся к конечному значению. Разрез на плоскости может облегчить этот процесс, как показывают следующие примеры.

Рассмотрим функцию, определяемую бесконечным рядом

$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.$

Поскольку $z 2 = (- z) 2$ для каждого комплексного числа $z$ , ясно, что $f (z)$ является четной функцией z , поэтому анализ можно ограничить одной половиной комплексной плоскости. И поскольку ряд не определен, $когда$

$z^{2}+n=0\quad \iff \quad z=\pm i{\sqrt {n}},$

имеет смысл разрезать плоскость вдоль всей мнимой оси и установить сходимость этого ряда, где действительная часть $z$ не равна нулю, прежде чем приступать к более трудной задаче исследования $f (z),$ когда $z$ является чисто мнимым числом. ^{[примечание 6]}

В этом примере разрез является просто удобством, поскольку точки, в которых бесконечная сумма не определена, изолированы, а плоскость разреза может быть заменена соответствующим образом проколотой плоскостью. В некоторых контекстах разрез необходим, а не просто удобен. Рассмотрим бесконечную периодическую непрерывную дробь

$f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}.$

Можно показать , что $f (z)$ сходится к конечному значению, если $z$ не является отрицательным действительным числом, таким что $z < − .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 4$ . Другими словами, область сходимости для этой непрерывной дроби — это плоскость сечения, где разрез проходит вдоль отрицательной действительной оси от − 1 ⁄ 4 до точки на бесконечности. ^[8]

Склеивание разрезанной плоскости обратно

Мы уже видели, как взаимосвязь

$w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}$

можно превратить в однозначную функцию, разделив область определения $f$ на два несвязных листа. Также можно «склеить» эти два листа обратно, чтобы сформировать одну риманову поверхность , на которой $f (z) = z 1/2$ может быть определена как голоморфная функция, изображением которой является вся $w$ -плоскость (за исключением точки $w = 0$ ). Вот как это работает.

Представьте себе две копии разрезанной комплексной плоскости, разрезы простираются вдоль положительной действительной оси от $z = 0$ до точки на бесконечности. На одном листе определим $0 \leq arg(z) < 2 π$ , так что $1 1/2 = e 0 = 1$ , по определению. На втором листе определим $2 π \leq arg(z) < 4 π$ , так что $1 1/2 = e iπ = -1$ , снова по определению. Теперь переверните второй лист вверх дном так, чтобы мнимая ось указывала в противоположном направлении мнимой оси на первом листе, при этом обе действительные оси указывали в одном направлении, и «склейте» два листа вместе (так, чтобы край на первом листе, помеченный « $θ = 0$ », был соединен с краем, помеченным « $θ < 4 π$ » на втором листе, а край на втором листе, помеченный « $θ = 2 π$ », был соединен с краем, помеченным « $θ < 2 π$ » на первом листе). Результатом является область поверхности Римана, на которой $f (z) = z 1/2$ является однозначной и голоморфной (за исключением случая, когда $z = 0$ ). ^[6]

Чтобы понять, почему $f$ однозначно в этой области, представьте себе контур вокруг единичной окружности, начинающийся с $z = 1$ на первом листе. Когда $0 \leq θ < 2 π,$ мы все еще находимся на первом листе. Когда $θ = 2 π,$ мы переходим на второй лист и обязаны сделать второй полный контур вокруг точки ветвления $z = 0,$ прежде чем вернуться в нашу исходную точку, где $θ = 4 π$ эквивалентно $θ = 0$ , из-за способа, которым мы склеили два листа вместе. Другими словами, поскольку переменная $z$ совершает два полных оборота вокруг точки ветвления, изображение $z$ в $w$ -плоскости вычерчивает только один полный круг.

Формальная дифференциация показывает, что

$f(z)=z^{1/2}\quad \Rightarrow \quad f'(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1/2}$

из чего можно сделать вывод, что производная функции $f$ существует и конечна всюду на римановой поверхности, за исключением случая $z = 0$ (то есть $f$ голоморфна, за исключением случая $z = 0$ ).

Как может быть построена риманова поверхность для функции

$w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2},$

также обсуждалось выше, быть построено? Снова мы начинаем с двух копий z $-плоскости$ , но на этот раз каждая из них разрезана вдоль действительного отрезка прямой, простирающегося от $z = -1$ до $z = 1$ – это две точки ветвления $g (z)$ . Мы переворачиваем одну из них вверх дном, так что две мнимые оси указывают в противоположных направлениях, и склеиваем соответствующие края двух вырезанных листов вместе. Мы можем проверить, что $g$ является однозначной функцией на этой поверхности, проведя контур по окружности единичного радиуса с центром в $z = 1$ . Начиная с точки $z = 2$ на первом листе, мы поворачиваемся на полпути по окружности, прежде чем сталкиваемся с разрезом в $z = 0$ . Разрез заставляет нас перейти на второй лист, так что когда $z$ описал один полный оборот вокруг точки ветвления $z = 1$ , $w$ сделал всего половину полного оборота, знак $w$ изменился на противоположный (потому что $e iπ = -1$ ), и наш путь привел нас к точке $z = 2$ на втором листе поверхности. Продолжая движение еще на пол-оборота, мы сталкиваемся с другой стороной разреза, где $z = 0$ , и, наконец, достигаем нашей начальной точки ( $z = 2$ на первом листе), сделав два полных оборота вокруг точки ветвления.

Естественный способ обозначить $θ = arg(z)$ в этом примере — установить $- π < θ \leq π$ на первом листе, с $π < θ \leq 3 π$ на втором. Мнимые оси на двух листах указывают в противоположных направлениях, так что направление положительного вращения против часовой стрелки сохраняется, когда замкнутый контур перемещается с одного листа на другой (помните, второй лист перевернут ) . Представьте себе эту поверхность, вложенную в трехмерное пространство, причем оба листа параллельны плоскости $xy$ . Тогда на поверхности, по-видимому, есть вертикальное отверстие, где соединяются два разреза. Что, если разрез сделан от $z = -1$ вниз по действительной оси до точки на бесконечности, и от $z = 1$ вверх по действительной оси, пока разрез не встретится с самим собой? Снова можно построить риманову поверхность, но на этот раз «отверстие» горизонтально. С топологической точки зрения обе версии этой римановой поверхности эквивалентны — они представляют собой ориентируемые двумерные поверхности рода один.

Использование в теории управления

В теории управления одно из применений комплексной плоскости известно как s-плоскость . Она используется для графического представления корней уравнения, описывающего поведение системы (характеристическое уравнение). Уравнение обычно выражается как полином относительно параметра $s$ преобразования Лапласа , отсюда и название $s$ -плоскость. Точки в s-плоскости принимают вид $s = σ + jω$ , где ' $j$ ' используется вместо обычного ' $i$ ' для представления мнимой составляющей (переменная ' $i$ ' часто используется для обозначения электрического тока в инженерных контекстах).

Другое связанное использование комплексной плоскости связано с критерием устойчивости Найквиста . Это геометрический принцип, который позволяет определить устойчивость замкнутой системы обратной связи путем проверки графика Найквиста ее амплитуды и фазового отклика разомкнутой системы как функции частоты (или передаточной функции контура ) в комплексной плоскости.

Плоскость $z$ представляет собой дискретную версию плоскости $s$ , в которой вместо преобразования Лапласа используются $z$ -преобразования .

Квадратичные пространства

Комплексная плоскость связана с двумя различными квадратичными пространствами . Для точки $z = x + iy$ в комплексной плоскости функция возведения в квадрат $z 2$ и квадрат нормы $x 2 + y 2$ являются квадратичными формами . Первая часто игнорируется в связи с использованием последней для задания метрики на комплексной плоскости. Эти различные грани комплексной плоскости как квадратичного пространства возникают при построении алгебр над полем с помощью процесса Кэли–Диксона . Эту процедуру можно применить к любому полю , и для полей R и C получаются разные результаты : когда R — поле старта, то C строится с помощью квадратичной формы $x 2 + y 2$ , но процесс может также начинаться с C и $z 2$ , и в этом случае генерируются алгебры, которые отличаются от тех, которые получены из R . В любом случае генерируемые алгебры являются композиционными алгебрами ; в этом случае комплексная плоскость представляет собой множество точек для двух различных композиционных алгебр.

Другие значения термина «комплексная плоскость»

В предыдущих разделах этой статьи рассматривается комплексная плоскость в терминах геометрического представления комплексных чисел. Хотя это использование термина «комплексная плоскость» имеет долгую и математически богатую историю, это ни в коем случае не единственное математическое понятие, которое можно охарактеризовать как «комплексная плоскость». Существует по крайней мере три дополнительных возможности.

Двумерное комплексное векторное пространство, «комплексная плоскость» в том смысле, что это двумерное векторное пространство, координаты которого являются комплексными числами . См. также: Комплексное аффинное пространство § Два измерения .
$(1 + 1)$ -мерное пространство Минковского , также известное как расщепленная комплексная плоскость , является «комплексной плоскостью» в том смысле, что алгебраические расщепленные комплексные числа можно разделить на две действительные компоненты, которые легко связать с точкой $(x, y)$ на декартовой плоскости.
Множество двойственных чисел над действительными числами также можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с точками $(x, y)$ декартовой плоскости, и оно представляет собой еще один пример «комплексной плоскости».

Смотрите также

Комплексное координатное пространство
Сложная геометрия
Сложная линия
Диаграмма созвездия
Сфера Римана , которая является расширенной комплексной плоскостью
s-плоскость
Синфазные и квадратурные компоненты
Реальная линия

Примечания

^ Подробное определение комплексного аргумента в терминах полного арктангенса можно найти в описании функции $atan2$ .
^ Все известные свойства комплексной показательной функции, тригонометрических функций и комплексного логарифма могут быть выведены непосредственно из степенного ряда для $e z$ . В частности, главное значение $log r$ , где $| r | = 1$ , может быть вычислено без ссылки на какие-либо геометрические или тригонометрические построения. ^[1]
↑ Мемуары Весселя были представлены Датской академии в 1797 году; статья Аргана была опубликована в 1806 году. ^[4]
^ См. также Доказательство того, что голоморфные функции являются аналитическими .
^ Бесконечное произведение для $Γ(z)$ равномерно сходится в любой ограниченной области, где ни один из его знаменателей не обращается в нуль; поэтому оно определяет мероморфную функцию на комплексной плоскости. ^[7]
^ При $Re(z) > 0$ эта сумма сходится равномерно в любой ограниченной области по сравнению с $ζ (2)$ , где $ζ (s)$ — дзета-функция Римана .

Ссылки

^ Уиттекер и Уотсон 1927, Приложение .
↑ Уиттекер и Уотсон 1927, стр. 10.
^ Weisstein, Eric W. (8 февраля 2024 г.). «Диаграмма Аргана». MathWorld . Получено 17 февраля 2024 г. .
↑ Уиттекер и Уотсон 1927, стр. 9.
↑ Фланиган 1983, стр. 305.
^ ab Moretti 1964, стр. 113–119.
↑ Уиттекер и Уотсон 1927, стр. 235–236.
↑ Уолл 1948, стр. 39.

Цитируемые работы

Фланиган, Фрэнсис Дж. (1983). Комплексные переменные: гармонические и аналитические функции . Довер. ISBN 0-486-61388-7.
Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной . Prentice-Hall.
Уолл, Х. С. (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей . D. Van Nostrand Company.Переиздано (1973) издательством Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8 .
Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (четвертое издание). Cambridge University Press.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Сложная плоскость» .

Жан-Робер Арган, « Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les builds géométriques », 1806 г., онлайн и проанализировано на BibNum [для английской версии нажмите « à télécharger »]