Спектральная теорема

Результат о том, когда матрица может быть диагонализирована

В математике , в частности, в линейной алгебре и функциональном анализе , спектральная теорема — это результат о том, когда линейный оператор или матрица могут быть диагонализированы (то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе). Это чрезвычайно полезно, поскольку вычисления, включающие диагонализуемую матрицу, часто можно свести к гораздо более простым вычислениям, включающим соответствующую диагональную матрицу. Концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных векторных пространствах , но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем случае спектральная теорема определяет класс линейных операторов , которые могут быть смоделированы операторами умножения , которые настолько просты, насколько это вообще возможно. На более абстрактном языке спектральная теорема — это утверждение о коммутативных C*-алгебрах . См. также спектральную теорию для исторической перспективы.

Примерами операторов, к которым применима спектральная теорема, являются самосопряженные операторы или, в более общем смысле, нормальные операторы в гильбертовых пространствах .

Спектральная теорема также обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением , базового векторного пространства, на которое действует оператор.

Огюстен-Луи Коши доказал спектральную теорему для симметричных матриц , т. е. что каждая действительная симметричная матрица диагонализируема. Кроме того, Коши был первым, кто систематически изучал определители . ^{[1] [2]} Спектральная теорема, обобщенная Джоном фон Нейманом , сегодня, возможно, является самым важным результатом теории операторов .

В этой статье основное внимание уделяется простейшему виду спектральной теоремы, а именно для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Однако, как отмечено выше, спектральная теорема справедлива и для нормальных операторов в гильбертовом пространстве.

Конечномерный случай

Эрмитовы карты и эрмитовы матрицы

Начнем с рассмотрения эрмитовой матрицы на (но последующее обсуждение будет адаптировано к более ограниченному случаю симметричных матриц на ). Мы рассматриваем эрмитово отображение A на конечномерном комплексном пространстве скалярного произведения V , снабженном положительно определенным полуторалинейным скалярным произведением. Эрмитово условие на означает, что для всех x , y ∈ V , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle ~.}$ ${\displaystyle \ A\ }$ $${\displaystyle \ \langle \ Ax,y\ \rangle =\langle \ x,Ay\ \rangle ~.}$$

Эквивалентным условием является то, что A ^* = A , где A ^* — эрмитово сопряженная матрица A . В случае, когда A отождествляется с эрмитовой матрицей, матрица A ^* равна своей сопряженной транспонированной матрице . (Если A — действительная матрица , то это эквивалентно A ^T = A , то есть A — симметричная матрица .)

Это условие подразумевает, что все собственные значения эрмитового отображения являются действительными: Чтобы увидеть это, достаточно применить его к случаю, когда x = y является собственным вектором. (Напомним, что собственный вектор линейного отображения A является ненулевым вектором v таким, что A v = λv для некоторого скаляра λ . Значение λ является соответствующим собственным значением . Более того, собственные значения являются корнями характеристического многочлена .)

Теорема  —  Если A является эрмитовым на V , то существует ортонормированный базис V , состоящий из собственных векторов A. Каждое собственное значение A является действительным.

Мы приводим набросок доказательства для случая, когда базовым полем скаляров являются комплексные числа .

По фундаментальной теореме алгебры , примененной к характеристическому многочлену A , существует по крайней мере одно комплексное собственное значение λ ₁ и соответствующий собственный вектор v ₁ , которые по определению должны быть ненулевыми. Тогда, поскольку мы находим, что λ ₁ является действительным. Теперь рассмотрим пространство ортогонального дополнения v ₁ . По эрмитовости, является инвариантным подпространством A . Чтобы увидеть это, рассмотрим любое так что по определению Чтобы удовлетворить инвариантности, нам нужно проверить, является ли Это верно, поскольку Применение того же аргумента к показывает, что A имеет по крайней мере одно действительное собственное значение и соответствующий собственный вектор Это можно использовать для построения другого инвариантного подпространства Конечная индукция затем завершает доказательство. $${\displaystyle \ \lambda _{1}\ \langle \ v_{1},v_{1}\ \rangle =\langle \ A(v_{1}),v_{1}\ \rangle =\langle \ v_{1},A(v_{1})\ \rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\ \langle \ v_{1},v_{1}\ \rangle \ ,}$$ ${\displaystyle \ {\mathcal {K}}^{n-1}={\text{span}}\left(\ v_{1}\ \right)^{\perp }\ ,}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {K}}^{n-1}\ }$ ${\displaystyle \ k\in {\mathcal {K}}^{n-1}}$ ${\displaystyle \ \langle \ k,v_{1}\ \rangle =0\ }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}~.}$ ${\displaystyle \ A(k)\in {\mathcal {K}}^{n-1}~.}$ ${\displaystyle \ \langle \ A(k),v_{1}\ \rangle =\langle \ k,A(v_{1})\ \rangle =\langle \ k,\lambda _{1}\ v_{1}\ \rangle =0~.}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {K}}^{n-1}\ }$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \ v_{2}\in {\mathcal {K}}^{n-1}\perp v_{1}~.}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {K}}^{n-2}={\text{span}}\left(\ \{v_{1},v_{2}\}\ \right)^{\perp }~.}$

Матричное представление A в базисе собственных векторов диагонально, и по построению доказательство дает базис взаимно ортогональных собственных векторов; выбрав их в качестве единичных векторов, получим ортонормированный базис собственных векторов. A можно записать в виде линейной комбинации попарно ортогональных проекций, называемой ее спектральным разложением . Пусть — собственное пространство, соответствующее собственному значению. Обратите внимание, что определение не зависит от выбора конкретных собственных векторов. В общем случае V — ортогональная прямая сумма пространств , где пробегает спектр $${\displaystyle \ V_{\lambda }=\{\ v\in V\ :\ A\ v=\lambda \ v\ \}\ }$$ ${\displaystyle \ \lambda ~.}$ ${\displaystyle \ V_{\lambda }\ }$ ${\displaystyle \ \lambda \ }$ ${\displaystyle \ A~.}$

Если разлагаемая матрица является эрмитовой, то спектральное разложение является частным случаем разложения Шура (см. доказательство в случае нормальных матриц ниже).

Спектральное разложение и разложение по сингулярным значениям

Спектральное разложение является частным случаем разложения по сингулярным значениям , которое утверждает, что любая матрица может быть выражена как где и являются унитарными матрицами и является диагональной матрицей. Диагональные элементы однозначно определяются и известны как сингулярные значения Если является эрмитовым, то и что подразумевает ${\displaystyle \ A\in \mathbb {C} ^{m\times n}\ }$ ${\displaystyle \ A=U\ \Sigma \ V^{*}\ ,}$ ${\displaystyle \ U\in \mathbb {C} ^{m\times m}\ }$ ${\displaystyle \ V\in \mathbb {C} ^{n\times n}\ }$ ${\displaystyle \ \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}\ }$ ${\displaystyle \ \Sigma \ }$ ${\displaystyle \ A\ }$ ${\displaystyle \ A~.}$ ${\displaystyle \ A\ }$ ${\displaystyle \ A^{*}=A\ }$ ${\displaystyle \ V\ \Sigma \ U^{*}=U\ \Sigma \ V^{*}\ }$ ${\displaystyle \ U=V~.}$

Нормальные матрицы

Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Пусть A — оператор на конечномерном пространстве скалярного произведения. A называется нормальным, если A ^* A = AA ^* .

Можно показать, что A является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно диагонализуема с помощью разложения Шура . То есть, любую матрицу можно записать как A = UTU ^* , где U является унитарной, а T является верхней треугольной . Если A является нормальной, то видно, что TT ^* = T ^* T . Следовательно, T должна быть диагональной, поскольку нормальная верхняя треугольная матрица является диагональной (см. нормальную матрицу ). Обратное очевидно.

Другими словами, A является нормальной тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица U такая, что где D — диагональная матрица . Тогда элементы диагонали D являются собственными значениями A. Векторы-столбцы U являются собственными векторами A , и они ортонормальны. В отличие от эрмитова случая, элементы D не обязательно должны быть действительными. $${\displaystyle \ A=U\ D\ U^{*}\ ,}$$

Компактные самосопряженные операторы

В более общем случае гильбертовых пространств, которые могут иметь бесконечную размерность, формулировка спектральной теоремы для компактных самосопряженных операторов практически такая же, как и в конечномерном случае.

Теорема  —  Предположим, что A — компактный самосопряженный оператор в (действительном или комплексном) гильбертовом пространстве V. Тогда существует ортонормированный базис V, состоящий из собственных векторов оператора A. Каждое собственное значение является действительным.

Что касается эрмитовых матриц, ключевым моментом является доказательство существования хотя бы одного ненулевого собственного вектора. Нельзя полагаться на детерминанты, чтобы показать существование собственных значений, но можно использовать аргумент максимизации, аналогичный вариационной характеристике собственных значений.

Если предположение о компактности убрать, то неверно , что каждый самосопряженный оператор имеет собственные векторы. Например, оператор умножения, на котором переводит каждый в , является ограниченным и самосопряженным, но не имеет собственных векторов. Однако его спектр, соответствующим образом определенный, по-прежнему равен , см. спектр ограниченного оператора . ${\displaystyle M_{x}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \psi (x)\in L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle x\psi (x)}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Ограниченные самосопряженные операторы

Возможное отсутствие собственных векторов

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, — это ограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Такие операторы могут не иметь собственных векторов: например, пусть A — оператор умножения на t на , то есть, ^[3] ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ $${\displaystyle [A\varphi ](t)=t\varphi (t).}$$

Этот оператор не имеет собственных векторов в , хотя имеет собственные векторы в большем пространстве. А именно, распределение , где — дельта-функция Дирака , является собственным вектором при толковании в соответствующем смысле. Дельта-функция Дирака, однако, не является функцией в классическом смысле и не лежит в гильбертовом пространстве L ² [0, 1] или любом другом банаховом пространстве . Таким образом, дельта-функции являются «обобщенными собственными векторами» , но не собственными векторами в обычном смысле. ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \varphi (t)=\delta (t-t_{0})}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A}$

Спектральные подпространства и проекционно-значные меры

При отсутствии (истинных) собственных векторов можно искать «спектральное подпространство», состоящее из почти собственного вектора , т. е. замкнутое подпространство из , связанное с борелевским множеством в спектре . Это подпространство можно рассматривать как замкнутую область обобщенных собственных векторов для с собственными значениями в . ^[4] В приведенном выше примере, где мы могли бы рассмотреть подпространство функций, поддерживаемых на небольшом интервале внутри . Это пространство инвариантно относительно и для любого в этом подпространстве, очень близко к . Каждое подпространство, в свою очередь, кодируется связанным оператором проекции, и совокупность всех подпространств затем представляется проекционно-значной мерой . ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [A\varphi ](t)=t\varphi (t),\;}$ ${\displaystyle [a,a+\varepsilon ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A\varphi }$ ${\displaystyle a\varphi }$

Одна из формулировок спектральной теоремы выражает оператор A как интеграл координатной функции по спектру оператора относительно проекционно-значной меры. ^[5] ${\displaystyle \sigma (A)}$ $${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi (\lambda ).}$$

Когда рассматриваемый самосопряженный оператор компактен , эта версия спектральной теоремы сводится к чему-то похожему на конечномерную спектральную теорему выше, за исключением того, что оператор выражается как конечная или счетно бесконечная линейная комбинация проекций, то есть мера состоит только из атомов.

Версия оператора умножения

Альтернативная формулировка спектральной теоремы гласит, что каждый ограниченный самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения. Значение этого результата в том, что операторы умножения во многих отношениях просты для понимания.

Теорема ^[6]  —  Пусть A — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда существует пространство меры ( X , Σ, μ ) и вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция f на X и унитарный оператор U : H → L ² ( X , μ ) такие, что где T — оператор умножения : и. $${\displaystyle U^{*}TU=A,}$$ $${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x),}$$ ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$

Спектральная теорема является началом обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральная мера .

Существует также аналогичная спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственное отличие в выводе состоит в том, что теперь f может быть комплекснозначным.

Прямые интегралы

Существует также формулировка спектральной теоремы в терминах прямых интегралов . Она похожа на формулировку с оператором умножения, но более канонична.

Пусть будет ограниченным самосопряженным оператором и пусть будет спектром . Формулировка спектральной теоремы в виде прямого интеграла сопоставляет две величины . Во-первых, меру на , а во-вторых, семейство гильбертовых пространств Затем мы образуем гильбертово пространство прямого интеграла Элементами этого пространства являются функции (или «сечения») такие, что для всех . Версия спектральной теоремы в виде прямого интеграла может быть выражена следующим образом: ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \{H_{\lambda }\},\,\,\lambda \in \sigma (A).}$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}$$ ${\displaystyle s(\lambda ),\,\,\lambda \in \sigma (A),}$ ${\displaystyle s(\lambda )\in H_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Теорема  —  Если — ограниченный самосопряженный оператор, то унитарно эквивалентен оператору «умножения на » на для некоторой меры и некоторого семейства гильбертовых пространств. Мера однозначно определяется с точностью до эквивалентности по теории меры; то есть любые две меры, ассоциированные с одной и той же, имеют одинаковые множества меры ноль. Размерности гильбертовых пространств однозначно определяются с точностью до множества меры ноль. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda )}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{H_{\lambda }\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$

Пространства можно рассматривать как нечто вроде «собственных пространств» для . Однако следует отметить, что если одноэлементное множество не имеет положительной меры, пространство на самом деле не является подпространством прямого интеграла. Таким образом, следует рассматривать как «обобщенные собственные пространства» — то есть элементы являются «собственными векторами», которые на самом деле не принадлежат гильбертову пространству. ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$

Хотя и формулировки спектральной теоремы с оператором умножения, и формулировки с прямым интегралом выражают самосопряженный оператор как унитарно эквивалентный оператору умножения, подход с прямым интегралом более каноничен. Во-первых, множество, по которому выполняется прямой интеграл (спектр оператора), является каноническим. Во-вторых, функция, на которую мы умножаем, является канонической в ​​подходе с прямым интегралом: просто функция . ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda }$

Циклические векторы и простой спектр

Вектор называется циклическим вектором для , если векторы охватывают плотное подпространство гильбертова пространства. Предположим, что — ограниченный самосопряженный оператор, для которого существует циклический вектор. В этом случае нет различия между формулировками прямого интеграла и оператора умножения спектральной теоремы. Действительно, в этом случае существует мера на спектре , такая , что унитарно эквивалентна оператору «умножения на » на . ^[8] Этот результат одновременно представляет собой оператор умножения и прямой интеграл, поскольку — просто прямой интеграл, в котором каждое гильбертово пространство — просто . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L^{2}(\sigma (A),\mu )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}(\sigma (A),\mu )}$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Не каждый ограниченный самосопряженный оператор допускает циклический вектор; действительно, в силу уникальности в прямом интегральном разложении это может произойти только тогда, когда все имеют размерность один. Когда это происходит, мы говорим, что имеет «простой спектр» в смысле теории спектральной кратности . То есть ограниченный самосопряженный оператор, допускающий циклический вектор, следует рассматривать как бесконечномерное обобщение самосопряженной матрицы с различными собственными значениями (т.е. каждое собственное значение имеет кратность один). ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$

Хотя не все допускают циклический вектор, легко видеть, что мы можем разложить гильбертово пространство как прямую сумму инвариантных подпространств, на которых имеет циклический вектор. Это наблюдение является ключом к доказательствам форм умножения-оператора и прямого интеграла спектральной теоремы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Функциональное исчисление

Одним из важных приложений спектральной теоремы (в любой форме) является идея определения функционального исчисления . То есть, учитывая функцию, определенную на спектре , мы хотим определить оператор . Если — просто положительная степень, , то — просто -я степень , . Интересны случаи, когда — неполиномиальная функция, такая как квадратный корень или экспонента. Любая из версий спектральной теоремы обеспечивает такое функциональное исчисление. ^[9] В версии прямого интеграла, например, действует как оператор «умножения на » в прямом интеграле: То есть каждое пространство в прямом интеграле является (обобщенным) собственным пространством для с собственным значением . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle [f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda ).}$$ ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle f(\lambda )}$

Неограниченные самосопряженные операторы

Многие важные линейные операторы, которые встречаются в анализе , такие как дифференциальные операторы , являются неограниченными . Существует также спектральная теорема для самосопряженных операторов , которая применяется в этих случаях. Приведем пример: каждый дифференциальный оператор с постоянным коэффициентом унитарно эквивалентен оператору умножения. Действительно, унитарным оператором, который реализует эту эквивалентность, является преобразование Фурье ; оператор умножения является типом множителя Фурье .

В общем случае спектральная теорема для самосопряженных операторов может принимать несколько эквивалентных форм. ^[10] Примечательно, что все формулировки, приведенные в предыдущем разделе для ограниченных самосопряженных операторов — версия с проекционно-значной мерой, версия с оператором умножения и версия с прямым интегралом — продолжают действовать для неограниченных самосопряженных операторов с небольшими техническими изменениями для решения проблем домена. В частности, единственная причина, по которой оператор умножения на ограничен, заключается в выборе домена . Тот же оператор на , например, был бы неограниченным. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

Понятие «обобщенных собственных векторов» естественным образом распространяется на неограниченные самосопряженные операторы, поскольку они характеризуются как ненормализуемые собственные векторы. Однако, в отличие от случая почти собственных векторов, собственные значения могут быть действительными или комплексными и, даже если они действительны, не обязательно принадлежат спектру. Хотя для самосопряженных операторов всегда существует действительное подмножество «обобщенных собственных значений», такое, что соответствующий набор собственных векторов является полным . ^[11]

Смотрите также

• Теорема Хана-Хеллингера  – Линейный оператор, равный своему сопряженномуPages displaying short descriptions of redirect targets
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр
• Функциональное исчисление Бореля
• Спектральная теория
• Матричное разложение
• Каноническая форма
• Разложение Жордана , частным случаем которого является спектральное разложение.
• Сингулярное разложение , обобщение спектральной теоремы на произвольные матрицы.
• Собственное разложение матрицы
• Теорема Винера–Хинчина

Примечания

1. Хокинс, Томас (1975). «Коши и спектральная теория матриц». Historia Mathematica . 2 : 1–29. doi : 10.1016/0315-0860(75)90032-4 .
2. Краткая история теории операторов Эванса М. Харрелла II
3. Холл 2013 Раздел 6.1
4. Холл 2013 Теорема 7.2.1
5. Холл 2013 Теорема 7.12
6. Холл 2013 Теорема 7.20
7. Холл 2013 Теорема 7.19
8. Холл 2013 Лемма 8.11
9. Например, Холл 2013 Определение 7.13
10. См. раздел 10.1 Зала 2013 г.
11. де ла Мадрид Модино 2001, стр. 95–97.

Ссылки

• Шелдон Акслер , «Линейная алгебра, сделанная правильно» , Springer Verlag, 1997
• Холл, BC (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Пол Халмос , «Что говорит спектральная теорема?», American Mathematical Monthly , том 70, номер 3 (1963), страницы 241–247 Другая ссылка
• de la Madrid Modino, R. (2001). Квантовая механика на языке оснастки гильбертова пространства (диссертация на соискание степени доктора философии). Universidad de Valladolid.
• М. Рид и Б. Саймон , Методы математической физики , тома I–IV, Academic Press, 1972.
• Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, Американское математическое общество, 2009.
• Вальтер Моретти (2017). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраическую формулировку 2-е издание. Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.