Обозначение скобок

Обозначения квантовых состояний

Обозначение Бракета , также называемое обозначением Дирака , — это обозначение для линейной алгебры и линейных операторов на комплексных векторных пространствах вместе с их дуальным пространством как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае. Оно специально разработано для упрощения типов вычислений, которые часто встречаются в квантовой механике . Его использование в квантовой механике довольно широко распространено.

Обозначение Bra–ket было создано Полем Дираком в его публикации 1939 года «Новая нотация для квантовой механики» . Обозначение было введено как более простой способ записи квантово-механических выражений. ^[1] Название происходит от английского слова «bracket».

Квантовая механика

В квантовой механике для обозначения квантовых состояний повсеместно используется обозначение бра–кет . В обозначении используются угловые скобки , и , а также вертикальная черта , для построения «бра» и «кет». ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ ${\displaystyle |}$

Кет имеет вид . Математически он обозначает вектор , , в абстрактном (комплексном) векторном пространстве , а физически он представляет состояние некоторой квантовой системы. ${\displaystyle |v\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle V}$

Бюстгальтер имеет вид . Математически это обозначает линейную форму , т.е. линейное отображение , которое отображает каждый вектор в число в комплексной плоскости . Позволяя линейному функционалу действовать на вектор , записывается как . ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle |v\rangle }$ ${\displaystyle \langle f|v\rangle \in \mathbb {C} }$

Предположим, что на существует скалярное произведение с антилинейным первым аргументом, которое создает скалярное произведение пространство . Тогда с этим скалярным произведением каждый вектор можно идентифицировать с соответствующей линейной формой, поместив вектор в антилинейный первый слот скалярного произведения: . Соответствие между этими обозначениями тогда таково . Линейная форма является ковектором к , а множество всех ковекторов образует подпространство двойственного векторного пространства к исходному векторному пространству . Цель этой линейной формы теперь можно понять с точки зрения создания проекций на состояние для определения того, насколько линейно зависимы два состояния и т. д. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V^{\vee }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }},}$

Для векторного пространства кеты можно идентифицировать с векторами-столбцами, а бра — с векторами-строками. Комбинации бра, кетов и линейных операторов интерпретируются с помощью умножения матриц . Если имеет стандартное эрмитово внутреннее произведение , при этой идентификации идентификация кетов и бра и наоборот, предоставляемая внутренним произведением, принимает эрмитово сопряжение (обозначается ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w}$ ${\displaystyle \dagger }$

Обычно векторную или линейную форму из нотации бра–кет подавляют и используют только метку внутри типографики для бра или кет. Например, оператор спина в двумерном пространстве спиноров имеет собственные значения с собственными спинорами . В нотации бра–кет это обычно обозначается как , и . Как и выше, кеты и бра с одинаковой меткой интерпретируются как кеты и бра, соответствующие друг другу с помощью внутреннего произведения. В частности, когда они также идентифицируются со строковыми и столбцовыми векторами, кеты и бра с одинаковой меткой идентифицируются с эрмитово сопряженными столбцовыми и строковыми векторами. ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle }$

Нотация Бракета была фактически введена в 1939 году Полем Дираком ; ^{[1] [2]} поэтому она также известна как нотация Дирака, несмотря на то, что у этой нотации был предшественник в лице Германа Грассмана , использовавшего ее для внутренних произведений почти 100 лет назад. ^{[3] [4]} ${\displaystyle [\phi {\mid }\psi ]}$

Векторные пространства

Векторы против кетов

В математике термин «вектор» используется для элемента любого векторного пространства. В физике, однако, термин «вектор» имеет тенденцию относиться почти исключительно к таким величинам, как смещение или скорость , которые имеют компоненты, которые напрямую связаны с тремя измерениями пространства , или релятивистски, с четырьмя измерениями пространства-времени . Такие векторы обычно обозначаются стрелками ( ), жирным шрифтом ( ) или индексами ( ). ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle v^{\mu }}$

В квантовой механике квантовое состояние обычно представляется как элемент комплексного гильбертова пространства , например, бесконечномерного векторного пространства всех возможных волновых функций (квадратно интегрируемых функций, отображающих каждую точку трехмерного пространства в комплексное число) или некоторого более абстрактного гильбертова пространства, построенного более алгебраически. Чтобы отличить этот тип вектора от описанных выше, в физике принято и полезно обозначать элемент абстрактного комплексного векторного пространства как кет , называть его «кет», а не вектором, и произносить его как «кет- » или «кет-А» для | A ⟩ . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \phi }$

Символы, буквы, числа или даже слова — все, что служит удобной меткой — можно использовать в качестве метки внутри кет-символа, с четким указанием того, что метка указывает на вектор в векторном пространстве. Другими словами, символ « | A ⟩ » имеет узнаваемое математическое значение относительно вида представляемой переменной, в то время как просто « A » само по себе не имеет. Например, |1⟩ + |2⟩ не обязательно равно |3⟩ . Тем не менее, для удобства, обычно за метками внутри кет-символов стоит некоторая логическая схема, например, распространенная практика маркировки энергетических собственных кет-символов в квантовой механике посредством перечисления их квантовых чисел . В простейшем случае метка внутри кет-символа является собственным значением физического оператора, например , , , и т. д. ${\displaystyle |\ \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$

Обозначение

Поскольку кеты — это просто векторы в эрмитовом векторном пространстве, ими можно манипулировать, используя обычные правила линейной алгебры. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что последняя строка выше включает в себя бесконечно много различных кетов, по одному для каждого действительного числа x .

Поскольку кет является элементом векторного пространства, бра является элементом его дуального пространства , то есть бра является линейным функционалом, который является линейным отображением из векторного пространства в комплексные числа. Таким образом, полезно думать о кетах и ​​бра как об элементах разных векторных пространств (см. ниже, однако), причем оба являются разными полезными концепциями. ${\displaystyle \langle A|}$

Бюстгальтер и кет (т.е. функционал и вектор) можно объединить в оператор ранга один с внешним произведением ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

Внутреннее произведение и идентификация скобок в гильбертовом пространстве

Обозначение бра–кет особенно полезно в гильбертовых пространствах, которые имеют скалярное произведение ^[5] , которое допускает эрмитово сопряжение и отождествление вектора с непрерывным линейным функционалом, т. е. кет с бра, и наоборот (см. теорему о представлении Рисса ). Скалярное произведение в гильбертовом пространстве (с первым аргументом антилинейным, как предпочитают физики) полностью эквивалентно (антилинейному) отождествлению между пространством кетов и пространством бра в обозначении бра-кет: для векторного кет определим функционал (т. е. бра) как ${\displaystyle (\ ,\ )}$ ${\displaystyle \phi =|\phi \rangle }$ ${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

Бра и кеты как векторы строк и столбцов

В простом случае, когда мы рассматриваем векторное пространство , кет может быть идентифицирован как вектор-столбец , а бра как вектор-строка . Если, кроме того, мы используем стандартное эрмитово внутреннее произведение на , бра, соответствующие кету, в частности бра ⟨ m | и кет | m ⟩ с той же меткой, являются сопряженными транспонированными . Более того, соглашения установлены таким образом, что написание бра, кетов и линейных операторов рядом друг с другом просто подразумевает умножение матриц . ^[6] В частности, внешнее произведение столбца и вектора-строки кет и бра может быть идентифицировано с умножением матриц (вектор-столбец умножить на вектор-строку равно матрице). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

Для конечномерного векторного пространства, используя фиксированный ортонормированный базис , скалярное произведение можно записать как матричное умножение вектора-строки на вектор-столбец: Исходя из этого, бра и кеты можно определить как: и тогда понятно, что бра рядом с кетом подразумевает матричное умножение. $${\displaystyle \langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Сопряженное транспонирование (также называемое эрмитовым сопряжением ) бюстгальтера является соответствующим кет-множеством и наоборот: потому что если начать с бюстгальтера , затем выполнить комплексное сопряжение , а затем транспонирование матрицы , то в итоге получится кет-множество. $${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}}$$

Запись элементов конечномерного (или mutatis mutandis , счетно бесконечного) векторного пространства в виде вектора-столбца чисел требует выбора базиса . Выбор базиса не всегда полезен, поскольку вычисления в квантовой механике часто включают переключение между различными базисами (например, базис положения, базис импульса, базис собственной энергии), и можно написать что-то вроде " | m ⟩ ", не привязываясь к какому-либо конкретному базису. В ситуациях, включающих два различных важных базисных вектора, базисные векторы могут быть взяты в нотации явно и здесь будут упоминаться просто как " | − ⟩ " и " | + ⟩ ".

Ненормализуемые состояния и негильбертовы пространства

Обозначение Бракета можно использовать, даже если векторное пространство не является гильбертовым .

В квантовой механике общепринятой практикой является запись кетов, имеющих бесконечную норму , т. е. ненормируемых волновых функций . Примерами служат состояния, волновые функции которых являются дельта-функциями Дирака или бесконечными плоскими волнами . Технически они не принадлежат самому гильбертову пространству . Однако определение «гильбертова пространства» можно расширить, чтобы включить эти состояния (см. конструкцию Гельфанда–Наймарка–Сигала или оснащенные гильбертовы пространства ). Обозначение бра–кет продолжает работать аналогичным образом в этом более широком контексте.

Банаховы пространства являются другим обобщением гильбертовых пространств. В банаховом пространстве B векторы могут быть обозначены как kets, а непрерывные линейные функционалы как bras. Над любым векторным пространством без топологии мы также можем обозначить векторы как kets, а линейные функционалы как bras. В этих более общих контекстах скобка не имеет смысла скалярного произведения, поскольку теорема Рисса о представлении не применяется.

Использование в квантовой механике

Математическая структура квантовой механики в значительной степени основана на линейной алгебре :

• Волновые функции и другие квантовые состояния могут быть представлены как векторы в комплексном гильбертовом пространстве. (Точная структура этого гильбертова пространства зависит от ситуации.) Например, в скобочной нотации электрон может находиться в «состоянии» | ψ ⟩ . (Технически квантовые состояния являются лучами векторов в гильбертовом пространстве, поскольку c | ψ ⟩ соответствует одному и тому же состоянию для любого ненулевого комплексного числа c .)
• Квантовые суперпозиции можно описать как векторные суммы составляющих их состояний. Например, электрон в состоянии ⁠1/√2⁠ |1⟩ + ⁠я/√2⁠ |2⟩ находится в квантовой суперпозиции состояний |1⟩ и |2⟩ .
• Измерения связаны с линейными операторами (называемыми наблюдаемыми ) в гильбертовом пространстве квантовых состояний.
• Динамика также описывается линейными операторами в гильбертовом пространстве. Например, в картине Шредингера существует линейный оператор эволюции времени U со свойством, что если электрон находится в состоянии | ψ ⟩ прямо сейчас, в более позднее время он будет в состоянии U | ψ ⟩ , то же самое U для каждого возможного | ψ ⟩ .
• Нормализация волновой функции — это масштабирование волновой функции таким образом, чтобы ее норма равнялась 1.

Поскольку практически каждое вычисление в квантовой механике включает векторы и линейные операторы, оно может включать, и часто включает, скобочную нотацию. Ниже приведено несколько примеров:

Бесспиновая позиционно-пространственная волновая функция

Компоненты комплексных векторов, построенные против индексного числа; дискретный k и непрерывный x . Выделены два конкретных компонента из бесконечного множества.

Гильбертово пространство точечной частицы со спином -0 охватывается « базисом положения » { | r ⟩ } , где метка r распространяется на множество всех точек в пространстве положения . Эта метка является собственным значением оператора положения, действующего на такое базисное состояние, . ^{[ необходима цитата ]} Поскольку в базисе имеется несчетное бесконечное число векторных компонент, это несчетное бесконечномерное гильбертово пространство. ^[7] Размерности гильбертова пространства (обычно бесконечные) и пространства положения (обычно 1, 2 или 3) не следует смешивать. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle }$

Начиная с любого кет-множителя |Ψ⟩ в этом гильбертовом пространстве, можно определить комплексную скалярную функцию от r , известную как волновая функция , ^{[ необходимо разъяснение ]} $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

С левой стороны Ψ( r ) — функция, отображающая любую точку пространства в комплексное число; с правой стороны — кет-функция, состоящая из суперпозиции кет-функций с относительными коэффициентами, заданными этой функцией. $${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$

Тогда принято определять линейные операторы, действующие на волновые функции, через линейные операторы, действующие на кет-функции, следующим образом: $${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

Например, оператор импульса имеет следующее координатное представление: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

Иногда даже встречается выражение типа , хотя это своего рода злоупотребление обозначениями . Дифференциальный оператор следует понимать как абстрактный оператор, действующий на кеты, который имеет эффект дифференцирования волновых функций, как только выражение проецируется на базис положения, даже если в базисе импульса этот оператор сводится к простому оператору умножения (на iħ p ). То есть, можно сказать, или ${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

Перекрытие штатов

В квантовой механике выражение ⟨ φ | ψ ⟩ обычно интерпретируется как амплитуда вероятности коллапса состояния ψ в состояние φ . Математически это означает коэффициент для проекции ψ на φ . Его также описывают как проекцию состояния ψ на состояние φ .

Изменение базиса для частицы со спином 1/2

Стационарная частица со спином 1 ⁄ 2 имеет двумерное гильбертово пространство. Один ортонормированный базис имеет вид: где |↑ _z ⟩ — состояние с определенным значением оператора спина S z , равным + 1 ⁄ 2 , а |↓ _z ⟩ — состояние с определенным значением оператора спина S z , равным − 1 ⁄ 2 . $${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

Поскольку они являются базисом, любое квантовое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию (т.е. квантовую суперпозицию ) этих двух состояний: где a _ψ и b _ψ — комплексные числа. $${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

Другой базис для того же самого гильбертова пространства: определяется в терминах S _{x ,} а не S _z . $${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

Опять же, любое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию этих двух: $${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

В векторной форме вы можете писать в зависимости от того, какой базис вы используете. Другими словами, «координаты» вектора зависят от используемого базиса. $${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$

Существует математическая связь между , , и ; см. изменение базиса . ${\displaystyle a_{\psi }}$ ${\displaystyle b_{\psi }}$ ${\displaystyle c_{\psi }}$ ${\displaystyle d_{\psi }}$

Ловушки и неоднозначное использование

Существуют некоторые соглашения и способы обозначения, которые могут оказаться запутанными или неоднозначными для непосвященных или начинающих студентов.

Разделение внутреннего произведения и векторов

Причиной путаницы является то, что нотация не отделяет операцию внутреннего произведения от нотации для (bra)-вектора. Если (дуальный пространственный) бра-вектор построен как линейная комбинация других бра-векторов (например, при выражении его в некотором базисе), нотация создает некоторую двусмысленность и скрывает математические детали. Мы можем сравнить нотацию bra–ket с использованием жирного шрифта для векторов, таких как , и для внутреннего произведения. Рассмотрим следующий дуальный пространственный бра-вектор в базисе : ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$ $${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

Необходимо определить по соглашению, находятся ли комплексные числа внутри или снаружи внутреннего произведения, и каждое соглашение дает разные результаты. ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

Повторное использование символов

Обычно для меток и констант используется один и тот же символ . Например, , где символ используется одновременно как имя оператора , его собственный вектор и связанное с ним собственное значение . Иногда шляпа также сбрасывается для операторов, и можно увидеть такие обозначения, как . ^[8] ${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$

Эрмитово сопряжение кетов

Обычно можно увидеть использование , где крестик ( ) соответствует эрмитовому сопряжению. Однако это неверно с технической точки зрения, поскольку кет, , представляет собой вектор в комплексном гильбертовом пространстве , а бра, , является линейным функционалом на векторах в . Другими словами, является просто вектором, в то время как является комбинацией вектора и скалярного произведения. ${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |}$

Операции внутри бюстгальтеров и кетов

Это делается для быстрой записи масштабирующих векторов. Например, если вектор масштабируется на , он может быть обозначен как . Это может быть неоднозначно, так как это просто метка для состояния, а не математический объект, над которым можно выполнять операции. Такое использование более распространено при обозначении векторов как тензорных произведений, где часть меток перемещается за пределы спроектированного слота, например . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$

Линейные операторы

Линейные операторы, действующие на кеты

Линейный оператор — это отображение, которое принимает на вход кет-вектор и выводит кет-вектор. (Чтобы называться «линейным», необходимо обладать определенными свойствами .) Другими словами, если — линейный оператор и — кет-вектор, то — другой кет-вектор. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

В -мерном гильбертовом пространстве мы можем наложить базис на пространство и представить в терминах его координат как вектор-столбец . Используя тот же базис для , он представляется комплексной матрицей. Кет-вектор теперь можно вычислить путем умножения матриц. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

Линейные операторы повсеместно встречаются в теории квантовой механики. Например, наблюдаемые физические величины представлены самосопряженными операторами , такими как энергия или импульс , тогда как преобразующие процессы представлены унитарными линейными операторами, такими как вращение или прогрессия времени.

Линейные операторы, действующие на бюстгальтеры

Операторы также можно рассматривать как действующие на бюстгальтеры с правой стороны . В частности, если A — линейный оператор, а ⟨ φ | — бюстгальтер, то ⟨ φ | A — другой бюстгальтер, определенный правилом (другими словами, композиция функций ). Это выражение обычно записывается как (ср. energy inner product ) $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$ $${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

В N -мерном гильбертовом пространстве ⟨ φ | можно записать как вектор-строку размером 1 × N , а A (как в предыдущем разделе) — это матрица размером N × N. Тогда bra ⟨ φ | A можно вычислить с помощью обычного умножения матриц.

Если один и тот же вектор состояния появляется как на стороне бра, так и на стороне кет, то это выражение дает математическое ожидание или среднее значение наблюдаемой, представленной оператором A для физической системы в состоянии | ψ ⟩ . $${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$

Внешние продукты

Удобный способ определения линейных операторов в гильбертовом пространстве H задается внешним произведением : если ⟨ ϕ | — бра, а | ψ ⟩ — кет-множитель, то внешнее произведение обозначает оператор ранга один с правилом $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$ $${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

Для конечномерного векторного пространства внешнее произведение можно понимать как простое умножение матриц: внешнее произведение представляет собой матрицу N × N , как и ожидалось для линейного оператора. $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$

Одним из применений внешнего произведения является построение операторов проекции . Если задан кет | ψ ⟩ нормы 1, ортогональная проекция на подпространство, натянутое на | ψ ⟩, равна Это идемпотент в алгебре наблюдаемых, действующий в гильбертовом пространстве. $${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$

Эрмитов сопряженный оператор

Так же, как кеты и бра могут быть преобразованы друг в друга (превращая | ψ ⟩ в ⟨ ψ | ), элемент из дуального пространства, соответствующий A | ψ ⟩, есть ⟨ ψ | A ^† , где A ^† обозначает эрмитово сопряженное (или сопряженное) значение оператора A . Другими словами, $${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

Если A выражена как матрица N × N , то A ^† является ее сопряженной транспонированной матрицей.

Характеристики

Нотация Bra–ket была разработана для облегчения формальной манипуляции линейно-алгебраическими выражениями. Некоторые свойства, которые позволяют эту манипуляцию, перечислены здесь. В дальнейшем c ₁ и c ₂ обозначают произвольные комплексные числа , c * обозначает комплексно сопряженное число c , A и B обозначают произвольные линейные операторы, и эти свойства должны сохраняться для любого выбора bra и ket.

Линейность

• Поскольку бюстгальтеры являются линейными функционалами, $${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• По определению сложения и скалярного умножения линейных функционалов в сопряженном пространстве, ^[9] $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

Ассоциативность

При наличии любого выражения, включающего комплексные числа, bras, kets, внутренние произведения, внешние произведения и/или линейные операторы (но не сложение), записанного в нотации bra–ket, группировки в скобках не имеют значения (т. е. сохраняется ассоциативное свойство ). Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

и так далее. Выражения справа (без каких-либо скобок) могут быть записаны однозначно из-за равенств слева. Обратите внимание, что ассоциативное свойство не выполняется для выражений, которые включают нелинейные операторы, такие как антилинейный оператор обращения времени в физике.

Эрмитово сопряжение

Обозначение Bra–ket делает особенно простым вычисление эрмитово сопряженного (также называемого dagger и обозначаемого † ) выражения. Формальные правила таковы:

• Эрмитово сопряжение бюстгальтера — это соответствующий кет, и наоборот.
• Эрмитово сопряженное число комплексного числа — это его комплексно сопряженное число.
• Эрмитово сопряженное эрмитово сопряженное значение чего-либо (линейных операторов, бра, кетов, чисел) само по себе, т.е. $${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• Для любой комбинации комплексных чисел, бра-, кет-, скалярных произведений, внешних произведений и/или линейных операторов, записанной в скобочно-кетной нотации, ее эрмитово сопряженное число можно вычислить, изменив порядок компонентов на обратный и взяв эрмитово сопряженное число каждого из них.

Этих правил достаточно для формальной записи эрмитово сопряженного выражения любого такого типа; вот некоторые примеры:

• Кеты: $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• Внутренние произведения: Обратите внимание, что ⟨ φ | ψ ⟩ является скаляром, поэтому эрмитово сопряжение является просто комплексным сопряжением, т.е. $${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$ $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• Элементы матрицы: $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• Внешние продукты: $${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$

Композитные бюстгальтеры и кеты

Два гильбертовых пространства V и W могут образовывать третье пространство V ⊗ W с помощью тензорного произведения . В квантовой механике это используется для описания составных систем. Если система состоит из двух подсистем, описанных в V и W соответственно, то гильбертово пространство всей системы является тензорным произведением двух пространств. (Исключением является случай, когда подсистемы на самом деле являются идентичными частицами . В этом случае ситуация немного сложнее.)

Если | ψ ⟩ — кет-контур в V и | φ ⟩ — кет-контур в W , то тензорное произведение двух кет-контуров является кет-контуром в V ⊗ W . Это записывается в различных обозначениях:

${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.}$

См. квантовую запутанность и парадокс ЭПР для получения информации о применении этого продукта.

Оператор установки

Рассмотрим полную ортонормированную систему ( базис ) для гильбертова пространства H относительно нормы из скалярного произведения ⟨·,·⟩ . $${\displaystyle \{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,}$$

Из базового функционального анализа известно, что любой кет-умножитель можно также записать в виде ⟨ ·|·⟩ со скалярным произведением в гильбертовом пространстве. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,}$$

Из коммутативности кет-множеств с (комплексными) скалярами следует, что должен быть оператор тождества , который переводит каждый вектор в себя. $${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I} }$$

Затем это можно вставить в любое выражение, не влияя на его значение; например , в последней строке для избежания беспорядка использовано соглашение Эйнштейна о суммировании . $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}}$$

В квантовой механике часто бывает так, что мало или совсем нет информации о внутреннем произведении ⟨ ψ | φ ⟩ двух произвольных (состояний) кетов, в то время как все еще можно что-то сказать о коэффициентах разложения ⟨ ψ | e _i ⟩ = ⟨ e _i | ψ ⟩ * и ⟨ e _i | φ ⟩ этих векторов относительно определенного (ортонормированного) базиса. В этом случае особенно полезно вставить единичный оператор в скобки один или несколько раз.

Для получения дополнительной информации см. Разрешение тождества , ^[10] где $${\displaystyle {\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,}$$ $${\displaystyle |p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

Так как ⟨ x ′ | x ⟩ = δ ( x − x ′ ) , то следуют плоские волны, $${\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

В своей книге (1958), гл. III.20, Дирак определяет стандартный кет , который с точностью до нормировки является трансляционно-инвариантным собственным состоянием импульса в импульсном представлении, т.е. . Следовательно, соответствующая волновая функция является константой, , а также ${\textstyle |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {p}}|\varpi \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1}$ $${\displaystyle |x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},}$$ $${\displaystyle |p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .}$$

Обычно, когда все матричные элементы оператора, такие как доступны, это разрешение служит для восстановления полного оператора, $${\displaystyle \langle x|A|y\rangle }$$ $${\displaystyle \int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.}$$

Обозначения, используемые математиками

Объектом, который физики рассматривают при использовании скобочной нотации, является гильбертово пространство ( полное внутреннее произведение).

Пусть — гильбертово пространство, а h ∈ H — вектор в H. То, что физики обозначают как | h ⟩, — это сам вектор. То есть, ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ $${\displaystyle |h\rangle \in {\mathcal {H}}.}$$

Пусть H * будет двойственным пространством H . Это пространство линейных функционалов на H . Вложение определяется соотношением , где для каждого h ∈ H линейный функционал удовлетворяет для каждого g ∈ H функциональному уравнению . Возникает путаница в обозначениях при отождествлении φ _h и g с ⟨ h | и | g ⟩ соответственно. Это происходит из-за буквальных символических подстановок. Пусть и пусть g = G = | g ⟩ . Это дает ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi (h)=\varphi _{h}}$ ${\displaystyle \varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\langle h\mid g\rangle }$ ${\displaystyle \varphi _{h}=H=\langle h\mid }$ $${\displaystyle \varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.}$$

Один игнорирует скобки и удаляет двойные черты.

Более того, математики обычно пишут дуальную сущность не на первом месте, как это делают физики, а на втором, и обычно используют не звездочку, а черточку сверху (которую физики оставляют для средних значений и сопряженного спинора Дирака ) для обозначения комплексно-сопряженных чисел; т. е. для скалярных произведений математики обычно пишут, тогда как физики написали бы для той же величины $${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,\mathrm {d} x\,,}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.}$$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• n- щелевое интерферометрическое уравнение
• Квантовое состояние
• Внутреннее пространство продукта

Примечания

1. Дирак 1939
2. Шанкар 1994, Глава 1
3. Грассман 1862
4. Лекция 2 | Квантовые запутанности, часть 1 (Стэнфорд), Леонард Сасскинд о комплексных числах, комплексно-сопряженных, бра, кет. 2006-10-02.
5. Лекция 2 | Квантовые запутанности, часть 1 (Стэнфорд), Леонард Сасскинд о внутреннем произведении, 2006-10-02.
6. «Гидни, Крейг (2017). Обозначение Бра–Кета упрощает умножение матриц».
7. Сакурай и Наполитано 2021 Раздел 1.2
8. Сакурай и Наполитано 2021 Раздел 1.2, 1.3
9. Заметки лекций Роберта Литтлджона, архив 2012-06-17 в Wayback Machine , уравнения 12 и 13
10. Сакурай и Наполитано 2021 Раздел 1.2, 1.3

Ссылки

• Дирак, П. А. М. (1939). «Новая нотация для квантовой механики». Математические труды Кембриджского философского общества . 35 (3): 416–418. Bibcode :1939PCPS...35..416D. doi :10.1017/S0305004100021162. S2CID  121466183.. См. также его стандартный текст, Принципы квантовой механики , IV издание, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115 
• Грассман, Х. (1862). Теория расширений . История источников математики. Перевод 2000 г. Ллойда К. Канненберга. Американское математическое общество, Лондонское математическое общество.
• Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений, том II. Open Court Publishing . стр. 134. ISBN 978-0-486-67766-8.
• Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). ISBN 0-306-44790-8.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1965). Лекции Фейнмана по физике. Том III. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02118-8.
• Сакурай, Дж. Дж.; Наполитано, Дж. (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42241-3.

Внешние ссылки

• Ричард Фицпатрик, «Квантовая механика: курс для выпускников», Техасский университет в Остине. Включает:
  • 1. Кетское пространство
  • 2. Место для бюстгальтера
  • 3. Операторы
  • 4. Внешний продукт
  • 5. Собственные значения и собственные векторы
• Роберт Литтлджон, Конспект лекций по теме «Математический формализм квантовой механики», включая скобочную нотацию. Калифорнийский университет в Беркли.
• Gieres, F. (2000). «Математические сюрпризы и формализм Дирака в квантовой механике». Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893–1931. arXiv : quant-ph/9907069 . Bibcode :2000RPPh...63.1893G. doi :10.1088/0034-4885/63/12/201. S2CID  10854218.