Энергетическое пространство

В математике , точнее в функциональном анализе , энергетическое пространство — это, интуитивно, подпространство заданного реального гильбертова пространства, снабженное новым «энергетическим» внутренним произведением . Мотивация для названия пришла из физики , поскольку во многих физических задачах энергия системы может быть выражена в терминах энергетического внутреннего произведения. Пример этого будет приведен далее в статье.

Энергетическое пространство

Формально рассмотрим вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой . Пусть будет линейным подпространством и будет строго монотонным симметричным линейным оператором , то есть линейным оператором, удовлетворяющим ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B:Y\to X}$

• ${\displaystyle (Bu|v)=(u|Bv)\,}$для всех в ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle (Bu|u)\geq c\|u\|^{2}}$для некоторой константы и всего в ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y.}$

Энергетический внутренний продукт определяется как

${\displaystyle (u|v)_{E}=(Bu|v)\,}$для всех в ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle Y}$

и энергетическая нормаявляется

${\displaystyle \|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,}$для всех в ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y.}$

Множество вместе с энергетическим скалярным произведением является предгильбертовым пространством . Энергетическое пространство определяется как пополнение в энергетической норме. можно считать подмножеством исходного гильбертова пространства , поскольку любая последовательность Коши в энергетической норме является также последовательность Коши в норме (это следует из свойства сильной монотонности ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

Энергетический внутренний продукт расширяется от до на ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}$

где и — последовательности в Y , которые сходятся к точкам в в энергетической норме. ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle (v_{n})}$ ${\displaystyle X_{E}}$

Энергичное расширение

Оператор допускает энергичное расширение ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{E}}$

${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$

определено на со значениями в двойственном пространстве , которое задается формулой ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}}$для всех в ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle X_{E}.}$

Здесь обозначает скобку двойственности между и, таким образом, фактически обозначает ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{E}}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle X_{E},}$ ${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}}$ ${\displaystyle (B_{E}u)(v).}$

Если и являются элементами исходного подпространства , то ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y,}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle }$

по определению энергетического внутреннего произведения. Если рассматривать который является элементом в как элемент в двойственном через теорему о представлении Рисса , то также будет в двойственном (по свойству сильной монотонности ). Посредством этих отождествлений из приведенной выше формулы следует, что Другими словами, исходный оператор можно рассматривать как оператор и тогда это просто расширение функции от до ${\displaystyle Bu,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle Bu}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{E}u=Bu.}$ ${\displaystyle B:Y\to X}$ ${\displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}$ ${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}.}$

Пример из физики

Струна с закрепленными концами, находящаяся под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим струну, концы которой зафиксированы в двух точках на действительной прямой (здесь рассматриваемой как горизонтальная прямая). Пусть вертикальная внешняя плотность силы в каждой точке струны будет , где — единичный вектор, направленный вертикально, а — прогиб струны в точке под действием силы. Предполагая, что прогиб мал, упругая энергия струны равна ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a\leq x\leq b)}$ ${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}$

а полная потенциальная энергия струны равна

${\displaystyle F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}$

Отклонение, минимизирующее потенциальную энергию, будет удовлетворять дифференциальному уравнению ${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle -u''=f\,}$

с граничными условиями

${\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}$

Для изучения этого уравнения рассмотрим пространство , которое есть пространство Lp всех квадратично-интегрируемых функций относительно меры Лебега . Это пространство является Гильбертовым относительно скалярного произведения ${\displaystyle X=L^{2}(a,b),}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}$

с нормой, заданной

${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u|u)}}.}$

Пусть — множество всех дважды непрерывно дифференцируемых функций с граничными условиями Тогда — линейное подпространство ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u(a)=u(b)=0.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Рассмотрим оператор, заданный формулой ${\displaystyle B:Y\to X}$

${\displaystyle Bu=-u'',\,}$

поэтому прогиб удовлетворяет уравнению Используя интегрирование по частям и граничные условия, можно увидеть, что ${\displaystyle Bu=f.}$

${\displaystyle (Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}$

для любого и в Следовательно, является симметричным линейным оператором. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B}$также сильно монотонна, поскольку по неравенству Фридрихса

${\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)}$

для некоторых ${\displaystyle C>0.}$

Энергетическое пространство относительно оператора тогда является пространством Соболева. Мы видим, что упругая энергия струны, которая мотивировала это исследование, равна ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},}$

так что это половина энергетического внутреннего продукта самого себя. ${\displaystyle u}$

Чтобы вычислить прогиб, минимизирующий полную потенциальную энергию струны, можно записать эту задачу в виде ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle F(u)}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=(f|v)\,}$для всех в . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{E}}$

Далее обычно аппроксимируют некоторым , функцией в конечномерном подпространстве истинного пространства решений. Например, можно позволить быть непрерывной кусочно-линейной функцией в энергетическом пространстве, что дает метод конечных элементов . Приближение можно вычислить, решив систему линейных уравнений . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{h}}$ ${\displaystyle u_{h}}$ ${\displaystyle u_{h}}$

Энергетическая норма оказывается естественной нормой, в которой следует измерять ошибку между и , см. лемму Сеа . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{h}}$

Смотрите также

• Внутреннее пространство продукта
• Положительно-определенное ядро

Ссылки

• Zeidler, Eberhard (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7.

• Джонсон, Клаес (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов . Cambridge University Press. ISBN 0-521-34514-6.