Внутреннее пространство продукта

Обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств

Геометрическая интерпретация угла между двумя векторами, определенными с использованием внутреннего произведения

Пространства скалярных произведений над любым полем имеют «скалярные произведения», симметричные и линейные по первому аргументу. Пространства эрмитовых произведений ограничены полем комплексных чисел и имеют «эрмитовы произведения», которые сопряженно-симметричны и линейны по первому аргументу. Пространства внутренних продуктов могут быть определены для любого поля, имеющие «внутренние продукты», линейные по первому аргументу, сопряженно-симметричные и положительно определенные. В отличие от внутренних произведений, скалярные произведения и эрмитовы произведения не обязательно должны быть положительно определенными.

В математике пространство внутреннего продукта (или, реже, предгильбертово пространство Хаусдорфа ^{[1] [2]} ) — это действительное векторное пространство или комплексное векторное пространство с операцией , называемой внутренним продуктом . Внутреннее произведение двух векторов в пространстве является скаляром , часто обозначаемым угловыми скобками , например, в . Внутренние произведения позволяют формальные определения интуитивных геометрических понятий, таких как длины, углы и ортогональность (нулевой внутренний продукт) векторов. Пространства внутреннего продукта обобщают евклидовы векторные пространства , в которых внутренний продукт является скалярным произведением или скалярным произведением декартовых координат . Внутренние пространства-произведения бесконечной размерности широко используются в функциональном анализе . Пространства внутренних произведений над полем комплексных чисел иногда называют унитарными пространствами . Первое использование концепции векторного пространства со скалярным произведением принадлежит Джузеппе Пеано в 1898 году. ^[3] ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Внутренний продукт естественным образом вызывает связанную норму (обозначенную и на рисунке); Итак, каждое пространство внутреннего продукта является нормированным векторным пространством . Если это нормированное пространство также является полным (то есть банаховым пространством ), то пространство внутреннего произведения является гильбертовым пространством . ^[1] Если пространство внутреннего произведения H не является гильбертовым пространством, оно может быть расширено путем пополнения до гильбертова пространства. Это означает, что это линейное подпространство внутреннего произведения является ограничением внутреннего произведения и плотно в для топологии . определяется нормой. ^{[1] [4]} ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle {\overline {H}}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$

Определение

В этой статье F обозначает поле , которое представляет собой либо действительные , либо комплексные числа. Таким образом , скаляр является элементом F . Черта над выражением, представляющим скаляр, обозначает комплексно-сопряженное значение этого скаляра. Нулевой вектор обозначен для отличия его от скаляра 0 . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Пространство внутреннего продукта — это векторное пространство V над полем F вместе с внутренним продуктом , то есть отображение

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F}$

который удовлетворяет следующим трем свойствам для всех векторов и всех скаляров . ^{[5] [6]} ${\displaystyle x,y,z\in V}$ ${\displaystyle a,b\in F}$

• Сопряженная симметрия :
  $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$$
  Как будто и только если число действительно, сопряженная симметрия подразумевает, что это всегда действительное число. Если F равно , сопряженная симметрия — это просто симметрия. ${\textstyle a={\overline {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Линейность в первом аргументе: ^{[Примечание 1]}
  $${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .}$$
• Положительная определенность : если не ноль, то ${\displaystyle x}$
  $${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$$
  (сопряженная симметрия подразумевает, что это реально). ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

Если условие положительной определенности заменить простым требованием этого для всех , то можно получить определение положительной полуопределенной эрмитовой формы . Положительная полуопределенная эрмитова форма является скалярным произведением тогда и только тогда, когда для всех , если то . ^[7] ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ ${\displaystyle x=\mathbf {0} }$

Основные свойства

В следующих свойствах, которые почти сразу же следуют из определения скалярного произведения, x , y и z — произвольные векторы, а a и b — произвольные скаляры.

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$действительна и неотрицательна.
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$если и только если ${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle .}$
  Это означает, что внутренний продукт имеет полуторалинейную форму .
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$где обозначает действительную часть его аргумента. ${\displaystyle \operatorname {Re} }$
  

При превышении сопряженная симметрия сводится к симметрии, а полуторалинейность сводится к билинейности. Следовательно, скалярный продукт в вещественном векторном пространстве представляет собой положительно определенную симметричную билинейную форму . Биномиальное разложение квадрата становится ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$

Конвенционный вариант

Некоторые авторы, особенно в области физики и матричной алгебры , предпочитают определять скалярные произведения и полуторалинейные формы с линейностью по второму аргументу, а не по первому. Тогда первый аргумент становится сопряженным линейным, а не второй. Обозначение Брекета в квантовой механике также использует несколько иное обозначение, т. е . где . ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\left(y,x\right)}$

Обозначения

Для внутренних произведений используются несколько обозначений, включая , и , а также обычное скалярное произведение. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$

Некоторые примеры

Действительные и комплексные числа

Среди простейших примеров пространств внутреннего продукта: и Действительные числа представляют собой векторное пространство , которое становится пространством внутреннего продукта с арифметическим умножением в качестве внутреннего продукта: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

Комплексные числа представляют собой векторное пространство , которое становится пространством внутреннего продукта с внутренним продуктом ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$

определяет ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Евклидово векторное пространство

В более общем смысле, реальное пространство ${\displaystyle n}$ со скалярным произведением является пространством внутреннего произведения, примером евклидова векторного пространства . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$

_ ${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle x.}$

Функция является скалярным произведением тогда и только тогда, когда существует симметричная положительно определенная матрица такая, что для всех If является единичной матрицей, то это скалярное произведение. Другой пример, если и положительно определен (что происходит тогда и только тогда, когда и один/оба диагональных элемента положительны), то для любого ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$ ${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle ad>b^{2}}$

Комплексное координатное пространство

Общая форма скалярного произведения известна как эрмитова форма и определяется выражением ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$

эрмитова положительно определенная матрицасопряженная транспонированнаямасштабированиямасштабными коэффициентамискалярного произведения со взвешенной суммой ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y^{\dagger }}$ ${\displaystyle y.}$

Гильбертово пространство

В статье о гильбертовых пространствах есть несколько примеров пространств внутреннего произведения, в которых метрика, индуцированная внутренним произведением, дает полное метрическое пространство . Примером пространства внутреннего продукта, которое порождает неполную метрику, является пространство непрерывных комплекснозначных функций и на интервале. Внутренний продукт равен ${\displaystyle C([a,b])}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b].}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$

[−1, 1] ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$

$${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

Эта последовательность является последовательностью Коши для нормы, индуцированной предыдущим скалярным произведением, которая не сходится к непрерывной функции.

Случайные переменные

Для реальных случайных величин и ожидаемого значения их произведения ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

$${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$

^{[8] [9] [10]}почти навернякавероятностьслучайные векторы . ${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Комплексные матрицы

Внутренним продуктом для комплексных квадратных матриц одинакового размера является внутренний продукт Фробениуса . Поскольку трассировка и транспонирование линейны, а сопряжение выполняется на второй матрице, это полуторалинейный оператор. Далее мы получаем эрмитову симметрию: ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)}$

$${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$

Векторные пространства с формами

В пространстве внутреннего продукта или, в более общем смысле, векторном пространстве с невырожденной формой (следовательно, изоморфизм ), векторы могут быть отправлены в ковекторы (в координатах, посредством транспонирования), так что можно взять внутренний продукт и внешний продукт двух векторов — не просто вектора и ковектора. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Основные результаты, терминология и определения.

Нормальные свойства

Каждое внутреннее пространство продукта порождает норму , называемую ееканоническая норма , которая определяется

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

нормированным векторным пространством

Итак, все общие свойства нормированных векторных пространств применимы и к пространствам внутреннего произведения. В частности, он обладает следующими свойствами:

Абсолютная однородность

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$

для каждого и (это следует из ). ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$

Неравенство треугольника

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$

Эти два свойства показывают , что норма действительно существует. ${\displaystyle x,y\in V.}$

Неравенство Коши – Шварца

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$

для каждого с равенством тогда и только тогда, когда и линейно зависимы . ${\displaystyle x,y\in V,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Закон параллелограмма

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$

для каждого Закон параллелограмма является необходимым и достаточным условием для того, чтобы норма определялась скалярным произведением. ${\displaystyle x,y\in V.}$

Поляризационная идентичность

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$

для каждого Внутренний продукт можно получить из нормы с помощью поляризационного тождества, поскольку его мнимая часть является действительной частью ${\displaystyle x,y\in V.}$ ${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

Неравенство Птолемея

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$

ибо каждое неравенство Птолемея является необходимым и достаточным условием для того, чтобы полунорма была нормой, определяемой скалярным произведением. ^[11] ${\displaystyle x,y,z\in V.}$

Ортогональность

Ортогональность

Два вектора и называются ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ортогональные , часто пишутся, если их внутренний продукт равен нулю, то есть если. Это происходит тогда и только тогда, когдадля всех скаляров^[12]и тогда и только тогда, когда действительная функциянеотрицательна. (Это следствие того, что еслитогда скалярминимизируетсясо значением, которое всегда неположительно). Для сложного, нонереального^{[ необходимы разъяснения ]}пространства внутреннего произведениялинейный оператортождественентогда и только тогда, когдадля каждого^[12] ${\displaystyle x\perp y,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$
${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$
${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\perp Tx}$ ${\displaystyle x\in V.}$

Ортогональное дополнение

Ортогональное дополнение подмножества — это набор векторов, ортогональных всем элементам C ; то есть, ${\displaystyle C\subseteq V}$ ${\displaystyle C^{\bot }}$

$${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$

Это множество всегда является замкнутым векторным подпространством , и если замыкание in является векторным подпространством, то ${\displaystyle C^{\bot }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

теорема Пифагора

Если и ортогональны, то ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

Это можно доказать, выразив квадраты норм через скалярные произведения, используя аддитивность для расширения правой части уравнения.
Название теоремы Пифагора происходит от геометрической интерпретации в евклидовой геометрии .

Личность Парсеваля

Индукция по теореме Пифагора дает: если попарно ортогональны, то ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

Угол

Если это действительное число, то из неравенства Коши – Шварца следует, что и, таким образом, что ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$

$${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$

это действительное число. Это позволяет определить (неориентированный) угол двух векторов в современных определениях евклидовой геометрии в терминах линейной алгебры . Это также используется в анализе данных под названием « косинусное сходство » для сравнения двух векторов данных.

Реальные и сложные части внутренних продуктов

Предположим, что это скалярное произведение (поэтому оно антилинейно по второму аргументу). Тождество поляризации показывает, что действительная часть внутреннего продукта равна ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Если — действительное векторное пространство, то ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$

мнимая частькомплексной частью ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle 0.}$

В оставшейся части этого раздела предположим, что это комплексное векторное пространство. Тождество поляризации для комплексных векторных пространств показывает, что ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

Карта, определенная for all, удовлетворяет аксиомам внутреннего продукта, за исключением того, что она антилинейна по своему первому , а не второму аргументу. Действительная часть обоих и равна , но внутренние продукты различаются по своей комплексной части: ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

Последнее равенство аналогично формуле, выражающей линейный функционал через его действительную часть.

Эти формулы показывают, что каждый сложный внутренний продукт полностью определяется своей действительной частью. Более того, эта действительная часть определяет скалярный продукт в реальном векторном пространстве. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между сложными внутренними продуктами в комплексном векторном пространстве и реальными внутренними продуктами в ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V.}$

Например, предположим, что для некоторого целого числа Когда рассматривается как действительное векторное пространство обычным способом (это означает, что оно отождествляется с размерным действительным векторным пространством, каждое из которых идентифицируется с ), тогда скалярное произведение определяет действительное скалярное произведение в этом пространстве. . Уникальный комплексный внутренний продукт, индуцированный скалярным произведением, — это карта, которая отправляет ( поскольку действительная часть этой карты равна скалярному произведению). ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2n-}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ ${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$

Реальные и сложные внутренние продукты

Пусть обозначается как векторное пространство над действительными числами, а не над комплексными числами. Действительная часть комплексного внутреннего продукта — это карта , которая обязательно образует действительный внутренний продукт в реальном векторном пространстве. Каждый внутренний продукт в реальном векторном пространстве является билинейным и симметричным отображением . ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

Например, если со внутренним произведением где — векторное пространство над полем, тогда — векторное пространство над и — скалярное произведение где отождествляется с точкой (и аналогично для ); таким образом, стандартный внутренний продукт является «расширением» скалярного произведения. Кроме того, если бы вместо этого было определено симметричное отображение (а не обычное сопряженное симметричное отображение ), то его реальная часть не была бы скалярным произведением; более того, без комплексно-сопряженного, если бы только тогда , задание не определяло бы норму. ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\cdot y,}$ ${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

Следующие примеры показывают, что, хотя реальные и сложные внутренние продукты имеют много общих свойств и результатов, они не являются полностью взаимозаменяемыми. Например, если тогда , но следующий пример показывает, что обратное, вообще говоря, неверно . Учитывая любой вектор (который является вектором, повернутым на 90 °), принадлежит и, следовательно, также принадлежит (хотя скалярное умножение на не определено в векторе, обозначенном символом, тем не менее, все еще также является элементом ). Для сложного внутреннего продукта, тогда как для реального внутреннего продукта значение всегда равно ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle ix}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ix}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$ ${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

Если является сложным внутренним продуктом и является непрерывным линейным оператором, который удовлетворяет всем требованиям, то Это утверждение больше не верно, если вместо этого является реальным внутренним продуктом, как показывает следующий пример. Предположим, что он имеет внутренний продукт, упомянутый выше. Тогда карта , определенная с помощью, является линейной картой (линейной для обоих и ), которая обозначает вращение на в плоскости. Поскольку и являются перпендикулярными векторами и представляют собой просто скалярное произведение, тем не менее, для всех векторов эта карта вращения определенно не идентична . Напротив, использование комплексного внутреннего продукта дает , что (как и ожидалось) не равно нулю. ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle A:V\to V}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle A=0.}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}}$ ${\displaystyle A:V\to V}$ ${\displaystyle Ax=ix}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},}$

Ортонормированные последовательности

Пусть - конечномерное пространство внутреннего произведения размерности. Напомним, что каждый базис состоит из точно линейно независимых векторов. Используя процесс Грама – Шмидта, мы можем начать с произвольного базиса и преобразовать его в ортонормированный базис. То есть в базис, в котором все элементы ортогональны и имеют единичную норму. В символах базис ортонормирован, если для каждого и для каждого индекса ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ ${\displaystyle i.}$

Это определение ортонормированного базиса обобщается на случай бесконечномерных пространств внутреннего произведения следующим образом. Пусть это любое пространство внутреннего продукта. Тогда коллекция ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}}$$

базисомортонормированный базис ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0}$$

${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

Используя бесконечномерный аналог процесса Грамма-Шмидта, можно показать:

Теорема. Любое сепарабельное внутреннее пространство продукта имеет ортонормированный базис.

Используя принцип максимума Хаусдорфа и тот факт, что в полном внутреннем пространстве корректно определена ортогональная проекция на линейные подпространства, можно также показать, что

Теорема. Любое полное пространство внутреннего продукта имеет ортонормированный базис.

Две предыдущие теоремы поднимают вопрос о том, имеют ли все пространства скалярных произведений ортонормированный базис. Ответ, оказывается, отрицательный. Это нетривиальный результат, и он будет доказан ниже. Следующее доказательство взято из книги Халмоша «Задачи гильбертового пространства» (см. Ссылки). ^{[ нужна цитата ]}

Тождество Парсеваля немедленно приводит к следующей теореме:

Теорема. Пусть – сепарабельное пространство внутреннего произведения и ортонормированный базис. Тогда отображение ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$ ${\displaystyle V.}$

$${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$

${\displaystyle V\mapsto \ell ^{2}}$

Эту теорему можно рассматривать как абстрактную форму ряда Фурье , в которой роль последовательности тригонометрических полиномов играет произвольный ортонормированный базис . Обратите внимание, что базовый набор индексов может быть любым счетным набором (и фактически любой набор, если он определен соответствующим образом, как объяснено в статье «Гильбертово пространство »). В частности, мы получаем следующий результат в теории рядов Фурье: ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Теорема. Пусть – пространство внутреннего произведения. Тогда последовательность (индексированная по множеству всех целых чисел) непрерывных функций ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$

$${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$

${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

Ортогональность последовательности непосредственно следует из того, что если то ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle k\neq j,}$

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

Нормальность последовательности предусмотрена замыслом, то есть коэффициенты выбираются так, чтобы норма была равна 1. Наконец, тот факт, что последовательность имеет плотную алгебраическую промежутку в норме скалярного произведения , следует из того факта, что последовательность имеет плотную алгебраическую оболочку, на этот раз в пространстве непрерывных периодических функций с равномерной нормой. В этом состоит содержание теоремы Вейерштрасса о равномерной плотности тригонометрических полиномов. ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Операторы в пространствах внутренних продуктов

Имеют значение несколько типов линейных карт между пространствами внутренних продуктов : ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• Непрерывные линейные карты :линейны и непрерывны по отношению к метрике, определенной выше, или, что то же самое,линейны, а набор неотрицательных действительных чисел,пробегающих по замкнутому единичному шару,ограничен. ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V,}$
• Симметричные линейные операторы : линейны и для всех ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V.}$
• Изометрии :удовлетворяетвсемЛинейная изометрия (соответственно антилинейная изометрия ) — это изометрия, которая также является линейной картой (соответственно антилинейной картой ). Для пространств внутреннего продукта поляризационная идентичность может использоваться, чтобы показать, чтоэто изометрия тогда и только тогда, когдадля всех Все изометрии инъективны . Теорема Мазура -Улама устанавливает, что каждая сюръективная изометрия между двумя вещественными нормированными пространствами является аффинным преобразованием . Следовательно, изометриямежду реальными пространствами внутреннего продукта является линейным отображением тогда и только тогда, когдаизометрии являются морфизмами между пространствами внутреннего продукта, а морфизмы реальных пространств внутреннего продукта являются ортогональными преобразованиями (сравните с ортогональной матрицей ). ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(0)=0.}$
• Изометрические изоморфизмы : это изометрия, которая является сюръективной (и, следовательно, биективной ). Изометрические изоморфизмы также известны как унитарные операторы (ср. с унитарной матрицей ). ${\displaystyle A:V\to W}$

С точки зрения теории пространства внутреннего продукта нет необходимости различать два пространства, которые изометрически изоморфны. Спектральная теорема обеспечивает каноническую форму для симметричных, унитарных и, в более общем смысле, нормальных операторов в конечномерных пространствах внутреннего произведения. Обобщение спектральной теоремы справедливо для непрерывных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. ^[13]

Обобщения

Любую из аксиом внутреннего продукта можно ослабить, приведя к обобщенным понятиям. Обобщения, наиболее близкие к скалярным произведениям, возникают там, где билинейность и сопряженная симметрия сохраняются, но положительная определенность ослаблена.

Вырожденные внутренние продукты

Если — векторное пространство и полуопределенная полуопределенная форма, то функция: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$

) ${\displaystyle \|x\|=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle W.}$

Эта конструкция используется во многих контекстах. Особенно важным примером использования этого метода является конструкция Гельфанда –Наймарка–Сигала . Другой пример — представление полуопределенных ядер на произвольных множествах.

Невырожденные сопряженные симметричные формы

В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы спаривание было невырожденной формы , что означает, что для всех ненулевых существуют такие , которые, хотя и не обязательно равны ; другими словами, индуцированное отображение в дуальное пространство инъективно. Это обобщение важно в дифференциальной геометрии : многообразие, касательные пространства которого имеют скалярное произведение, является римановым многообразием , а если это связано с невырожденной сопряженной симметричной формой, то многообразие является псевдоримановым многообразием . По закону инерции Сильвестра , так же, как каждый внутренний продукт подобен скалярному произведению с положительными весами на наборе векторов, каждая невырожденная сопряженная симметричная форма аналогична скалярному произведению с ненулевыми весами на наборе векторов, а число положительные и отрицательные веса называются соответственно положительным индексом и отрицательным индексом. Произведение векторов в пространстве Минковского является примером неопределенного внутреннего продукта, хотя, технически говоря, оно не является внутренним продуктом согласно стандартному определению, приведенному выше. Пространство Минковского имеет четыре измерения и индексы 3 и 1 (присвоение им «+» и «-» различается в зависимости от соглашений ). ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Чисто алгебраические утверждения (те, которые не используют позитивность) обычно полагаются только на невырожденность (инъективный гомоморфизм ) и, таким образом, справедливы в более общем смысле. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Сопутствующие товары

Термин «внутренний продукт» противопоставляется термину « внешний продукт » , который является несколько более общей противоположностью. Проще говоря, в координатах внутренний продукт — это произведение ковектора на вектор , дающий матрицу (скаляр), а внешний продукт — это произведение вектора на ковектор, дающий матрицу. Внешний продукт определяется для разных измерений, тогда как внутренний продукт требует одного и того же измерения. Если размеры одинаковы, то внутренний продукт является следом внешнего продукта (след правильно определяется только для квадратных матриц). В неофициальном резюме: «внутреннее — это горизонтальное, умноженное на вертикальное, и сжимается, внешнее — это вертикальное, умноженное на горизонтальное, и расширяется». ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle m\times n}$

Более абстрактно, внешний продукт — это билинейная карта, отправляющая вектор и ковектор на линейное преобразование ранга 1 ( простой тензор типа (1, 1)), а внутренний продукт — это билинейная карта оценки, полученная путем оценки ковектора на вектор; порядок векторных пространств предметной области здесь отражает различие между ковектором и вектором. ${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$ ${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$

Внутренний продукт и внешний продукт не следует путать с внутренним продуктом и внешним продуктом , которые вместо этого представляют собой операции над векторными полями и дифференциальными формами или, в более общем плане, над внешней алгеброй .

В качестве дальнейшего усложнения в геометрической алгебре внутренний продукт и внешний (грассмановский) продукт объединяются в геометрический продукт (продукт Клиффорда в алгебре Клиффорда ) – внутренний продукт отправляет два вектора (1-вектора) в скаляр (а 0-вектор), в то время как внешний продукт отправляет два вектора в бивектор (2-вектор) – и в этом контексте внешний продукт обычно называют внешним продуктом (альтернативно, клиновым продуктом ). Внутренний продукт в этом контексте правильнее называть скалярным произведением, поскольку рассматриваемая невырожденная квадратичная форма не обязательно должна быть положительно определенной (не обязательно быть внутренним продуктом).

Смотрите также

• Билинейная форма  – Скалярнозначная билинейная функция.
• Биортогональная система
• Двойное пространство  - в математике векторное пространство линейных форм.
• Энергетическое пространство  - подпространство данного реального гильбертова пространства, оснащенное новым «энергетическим» внутренним продуктом.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• L-полувнутренний продукт  - обобщение внутренних произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Расстояние Минковского  - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Ортогональный базис
• Ортогональное дополнение  - понятие в линейной алгебре
• Ортонормированный базис  - Конкретный линейный базис (математика)
• Риманово многообразие

Примечания

1. Комбинируя линейное свойство первого аргумента со свойством сопряженной симметрии , вы получаете сопряженно-линейное свойство второго аргумента : . Именно так изначально был определен внутренний продукт и который используется в большинстве математических контекстов. В теоретической физике и квантовой механике было принято другое соглашение, берущее начало в обозначениях скобок Поля Дирака , где внутренний продукт считается линейным по второму аргументу и линейно-сопряженным по первому аргументу ; это соглашение используется во многих других областях, таких как инженерия и информатика. ${\textstyle \langle x,by\rangle =\langle x,y\rangle {\overline {b}}}$

Рекомендации

1. Treves 2006, стр. 112–125.
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 40–45.
3. Мур, Грегори Х. (1995). «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875–1940». История Математики . 22 (3): 262–303. дои : 10.1006/hmat.1995.1025 .
4. Шефер и Вольф 1999, стр. 36–72.
5. Джайн, ПК; Ахмад, Халил (1995). «5.1 Определения и основные свойства пространств внутреннего произведения и гильбертовых пространств». Функциональный анализ (2-е изд.). Нью Эйдж Интернэшнл. п. 203. ИСБН 81-224-0801-Х.
6. Пруговечки, Эдуард (1981). «Определение 2.1». Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Академическая пресса. стр. 18 и далее. ISBN 0-12-566060-Х.
7. Шефер и Вольф 1999, стр. 44.
8. Оувеханд, Питер (ноябрь 2010 г.). «Пространства случайных величин» (PDF) . ЦЕЛИ . Архивировано из оригинала (PDF) 5 сентября 2017 г. Проверено 5 сентября 2017 г.
9. Зигрист, Кайл (1997). «Векторные пространства случайных величин». Случайные: вероятность, математическая статистика, случайные процессы . Проверено 5 сентября 2017 г.
10. Бигони, Даниэле (2015). «Приложение B: Теория вероятностей и функциональные пространства» (PDF) . Количественная оценка неопределенности с применением к инженерным задачам (доктор философии). Технический университет Дании . Проверено 5 сентября 2017 г.
11. Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордальная метрика». Журнал «Математика» . 40 (5): 233–235. дои : 10.2307/2688275. JSTOR  2688275.
12. Рудин 1991, стр. 306–312.
13. Рудин 1991 г.

Библиография

• Экслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра сделана правильно (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98258-8.
• Дьедонне, Жан (1969). Трактат об анализе, Vol. Я [Основы современного анализа] (2-е изд.). Академическая пресса . ISBN 978-1-4067-2791-3.
• Эмч, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля . Уайли-Интерсайенс . ISBN 978-0-471-23900-0.
• Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0. ОСЛК  8169781.
• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Проверено 22 июля 2020 г.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Янг, Николас (1988). Введение в гильбертово пространство . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-33717-5.
• Замани, А.; Мослехян, М.С.; и Франк, М. (2015) «Отображения, сохраняющие угол», Journal of Analysis and Applications 34: от 485 до 500 doi : 10.4171/ZAA/1551