Пространства положения и импульса

Физические пространства, представляющие положение и импульс, дуальные преобразования Фурье

В физике и геометрии существуют два тесно связанных векторных пространства , обычно трехмерные , но в общем случае имеющие любую конечную размерность. Позиционное пространство (также реальное пространство или координатное пространство ) — это множество всех векторов положения r в евклидовом пространстве и имеет размерность длины ; вектор положения определяет точку в пространстве. (Если вектор положения точечной частицы изменяется со временем, он будет описывать путь, траекторию частицы.) Импульсное пространство — это множество всех векторов импульса p , которые может иметь физическая система; вектор импульса частицы соответствует ее движению с единицами измерения [масса][длина][время] ⁻¹ .

Математически дуальность между положением и импульсом является примером дуальности Понтрягина . В частности, если функция задана в пространстве положений f ( r ), то ее преобразование Фурье дает функцию в пространстве импульсов φ ( p ). Наоборот, обратное преобразование Фурье функции пространства импульсов является функцией пространства положений.

Эти величины и идеи выходят за рамки всей классической и квантовой физики, и физическая система может быть описана с использованием либо положений составляющих ее частиц, либо их импульсов, обе формулировки эквивалентно предоставляют одну и ту же информацию о рассматриваемой системе. Другая величина полезна для определения в контексте волн . Волновой вектор k (или просто « k -вектор») имеет размерность, обратную длине , что делает его аналогом угловой частоты ω, которая имеет размерность, обратную времени . Множество всех волновых векторов — это k-пространство . Обычно r более интуитивно понятно и просто, чем k , хотя обратное также может быть верно, например, в физике твердого тела .

Квантовая механика дает два фундаментальных примера дуальности между положением и импульсом: принцип неопределенности Гейзенберга Δ x Δ p ≥ ħ /2, утверждающий, что положение и импульс не могут быть одновременно известны с произвольной точностью, и соотношение де Бройля p = ħ k , утверждающее, что импульс и волновой вектор свободной частицы пропорциональны друг другу. ^{[1] [2]} В этом контексте, когда это недвусмысленно, термины « импульс » и «волновой вектор» используются взаимозаменяемо. Однако соотношение де Бройля неверно в кристалле. ^[3]

Классическая механика

Лагранжева механика

Чаще всего в механике Лагранжа лагранжиан L ( q , dq / dt , t ) находится в конфигурационном пространстве , где q = ( q1 , q2 ,..., _qn ) — это n - кортеж обобщенных координат . Уравнения движения Эйлера– Лагранжа _{имеют вид} $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

(Одна точка сверху указывает на одну производную по времени ). Вводя определение канонического импульса для каждой обобщенной координаты, уравнения Эйлера–Лагранжа принимают вид $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

Лагранжиан также может быть выражен в пространстве импульсов , ^[4] L ′( p , d p / dt , t ), где p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) является n -кортежем обобщенных импульсов. Преобразование Лежандра выполняется для изменения переменных в полном дифференциале обобщенного координатного пространства Лагранжа; где определение обобщенного импульса и уравнения Эйлера-Лагранжа заменили частные производные L . Правило произведения для дифференциалов ^{[nb 1]} позволяет заменять дифференциалы в обобщенных координатах и ​​скоростях на дифференциалы в обобщенных импульсах и их производных по времени, что после подстановки упрощается и преобразуется в $${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$$ $${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$$ $${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

Теперь полный дифференциал лагранжиана импульсного пространства L ′ таков: путем сравнения дифференциалов лагранжианов, импульсов и их производных по времени, лагранжиан импульсного пространства L ′ и обобщенные координаты, полученные из L ′, соответственно равны $${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$$ $${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$$

Объединение последних двух уравнений дает уравнения Эйлера–Лагранжа для импульсного пространства $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

Преимущество преобразования Лежандра в том, что в процессе получается связь между новыми и старыми функциями и их переменными. Как координатная, так и импульсная формы уравнения эквивалентны и содержат одну и ту же информацию о динамике системы. Эта форма может быть более полезной, когда в лагранжиан входит импульс или момент импульса.

Гамильтонова механика

В гамильтоновой механике , в отличие от механики Лагранжа, которая использует либо все координаты , либо импульсы, гамильтоновы уравнения движения ставят координаты и импульсы на равные основания. Для системы с гамильтонианом H ( q , p , t ) уравнения имеют вид $${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

Квантовая механика

В квантовой механике частица описывается квантовым состоянием . Это квантовое состояние может быть представлено как суперпозиция базисных состояний . В принципе, можно свободно выбирать набор базисных состояний, пока они охватывают пространство состояний . Если выбрать (обобщенные) собственные функции оператора положения в качестве набора базисных функций, то можно говорить о состоянии как о волновой функции ψ ( r ) в пространстве положений . Знакомое уравнение Шредингера в терминах положения r является примером квантовой механики в представлении положения. ^[5]

Выбирая собственные функции другого оператора в качестве набора базисных функций, можно прийти к ряду различных представлений одного и того же состояния. Если выбрать собственные функции оператора импульса в качестве набора базисных функций, то результирующая волновая функция называется волновой функцией в импульсном пространстве . ^[5] ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$

Особенностью квантовой механики является то, что фазовые пространства могут быть разных типов: дискретно-переменные, роторные и непрерывно-переменные. В таблице ниже суммированы некоторые соотношения, связанные с тремя типами фазовых пространств. ^[6]

Сравнение и резюме соотношений между сопряженными переменными в фазовых пространствах с дискретными переменными (DV), ротором (ROT) и непрерывными переменными (CV) (взято из arXiv:1709.04460). Большинство физически значимых фазовых пространств состоят из комбинаций этих трех. Каждое фазовое пространство состоит из положения и импульса, возможные значения которых берутся из локально компактной абелевой группы и ее дуальной. Квантово-механическое состояние может быть полностью представлено в терминах любой из переменных, а преобразование, используемое для перехода между пространствами положения и импульса, в каждом из трех случаев является вариантом преобразования Фурье. В таблице используются обозначения скобок, а также математическая терминология, описывающая канонические коммутационные соотношения (CCR).

Взаимное отношение

Импульсное представление волновой функции и соотношение де Бройля тесно связаны с теоремой об обращении Фурье и понятием частотной области . Поскольку свободная частица имеет пространственную частоту, пропорциональную импульсу , описание частицы как суммы частотных компонентов эквивалентно описанию ее как преобразования Фурье « достаточно хорошей » волновой функции в импульсном пространстве. ^[2] ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle p=|\mathbf {p} |=\hbar k}$

Позиция пространства

Предположим, что у нас есть трехмерная волновая функция в пространстве положений ψ ( r ) , тогда мы можем записать эту функцию как взвешенную сумму ортогональных базисных функций ψj ( r ) : или, в непрерывном случае, как интеграл. Очевидно, что если мы укажем набор функций , скажем, как набор собственных функций оператора импульса, то функция будет содержать всю информацию, необходимую для восстановления _ψ ( r ) , и, следовательно, будет альтернативным описанием состояния . $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$ ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi }$

В координатном представлении оператор импульса задается как ^[7] (см. матричное исчисление для обозначения знаменателя) с соответствующей областью определения . Собственные функции и собственные значения ħ k . Таким образом , и мы видим, что представление импульса связано с представлением положения преобразованием Фурье. ^[8] $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$$ $${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

Пространство импульса

Наоборот, трехмерная волновая функция в импульсном пространстве может быть выражена как взвешенная сумма ортогональных базисных функций или как интеграл , ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

В импульсном представлении оператор положения задается как ^[9] с собственными функциями и собственными значениями r . Таким образом, аналогичное разложение может быть сделано в терминах собственных функций этого оператора, что оказывается обратным преобразованием Фурье, ^[8] $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$ $${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

Унитарная эквивалентность

Операторы положения и импульса унитарно эквивалентны , причем унитарный оператор явно задается преобразованием Фурье, а именно четвертьцикловым вращением в фазовом пространстве, генерируемым гамильтонианом осциллятора. Таким образом, они имеют одинаковый спектр . На физическом языке p , действующий на волновые функции импульсного пространства, совпадает с r, действующим на волновые функции позиционного пространства (под образом преобразования Фурье).

Взаимное пространство и кристаллы

Для электрона (или другой частицы ) в кристалле его значение k почти всегда связано с его кристаллическим импульсом , а не с его нормальным импульсом. Следовательно, k и p не просто пропорциональны , а играют разные роли. См. , например, теорию возмущений k·p . Кристаллический импульс подобен волновой огибающей , которая описывает, как волна изменяется от одной элементарной ячейки к другой, но не дает никакой информации о том, как волна изменяется внутри каждой элементарной ячейки.

Когда k относится к импульсу кристалла вместо истинного импульса, концепция k -пространства все еще имеет смысл и чрезвычайно полезна, но она отличается несколькими способами от некристаллического k -пространства, обсуждавшегося выше. Например, в k -пространстве кристалла существует бесконечное множество точек, называемых обратной решеткой , которые «эквивалентны» k = 0 (это аналогично алиасингу ). Аналогично, « первая зона Бриллюэна » представляет собой конечный объем k -пространства, такой, что каждое возможное k «эквивалентно» ровно одной точке в этой области.

Смотрите также

• Фазовое пространство
• Взаимное пространство
• Конфигурация пространства
• Дробное преобразование Фурье

Примечания

1. Для двух функций u и v дифференциал произведения равен d ( uv ) = udv + vdu .

1. Баллентайн 1998, стр. 102.
2. Hall 2013, стр. 60.
3. Айсберг и Резник 1985, стр. 58.
4. Hand, Louis N; Finch, Janet D (1998). Аналитическая механика. стр. 190. ISBN 978-0-521-57572-0.
5. Пелег, Ю.; Пнини, Р.; Заарур, Э.; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (серия очерков Шаума) (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-162358-2.
6. Альберт, Виктор В.; Паскацио, Саверио; Деворе, Мишель Х. (2017). «Общие фазовые пространства: от дискретных переменных до роторных и континуальных пределов». Журнал физики A: Математические и теоретические . 50 (50): 504002. arXiv : 1709.04460 . doi : 10.1088/1751-8121/aa9314. S2CID  119290497.
7. Баллентайн 1998, стр. 98.
8. R. Penrose (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
9. Баллентайн 1998, стр. 127.

Ссылки

• Баллентайн, Лесли Э. (1998). Квантовая механика . WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/3142. ISBN 978-981-02-2707-4.
• Айсберг, Р.; Резник, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
• Холл, BC (2013). Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том 267. Springer. Bibcode :2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158.