Предел (математика)

Значение, приближенное к математическому объекту

В математике предел — это значение , к которому функция (или последовательность ) приближается, когда аргумент (или индекс) приближается к некоторому значению. ^[1] Пределы функций имеют важное значение для исчисления и математического анализа и используются для определения непрерывности , производных и интегралов . Понятие предела последовательности далее обобщается до понятия предела топологической сети и тесно связано с пределом и прямым пределом в теории категорий . Нижний предел и верхний предел предоставляют обобщения понятия предела, которые особенно актуальны, когда предел в точке может не существовать.

Обозначение

В формулах предел функции обычно записывается как

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$

и читается как «предел f от x, когда x приближается к c, равен L ». Это означает, что значение функции f можно сделать произвольно близким к L , выбрав x достаточно близко к c . В качестве альтернативы, тот факт, что функция f приближается к пределу L , когда x приближается к c, иногда обозначается правой стрелкой (→ или ), как в ${\displaystyle \rightarrow }$

${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,}$

что гласит: « из стремится к как стремится к ». ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

История

По мнению Ганкеля (1871), современная концепция предела берет свое начало в предложении X.1 « Начал» Евклида , которое лежит в основе метода исчерпывания, обнаруженного у Евклида и Архимеда: «Если из двух неравных величин вычесть величину, большую, чем ее половина, и из оставшейся величины вычесть величину, большую, чем ее половина, и если этот процесс повторять непрерывно, то останется некоторая величина, меньшая, чем меньшая изложенная величина». ^{[2] [3]}

Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела (терминуса) геометрической прогрессии в своем труде Opus Geometricum (1647): « Конец прогрессии — это конец ряда, которого никакая прогрессия не может достичь, даже если она продолжается в бесконечности, но к которому она может приблизиться ближе, чем на данный отрезок». ^[4]

Современное определение предела восходит к Бернарду Больцано , который в 1817 году разработал основы техники эпсилон-дельта для определения непрерывных функций. Однако его работа оставалась неизвестной другим математикам до тридцати лет после его смерти. ^[5]

В 1821 году Огюстен-Луи Коши ^[6], а затем и Карл Вейерштрасс формализовали определение предела функции, которое стало известно как (ε, δ)-определение предела .

Современное обозначение размещения стрелки под символом предела принадлежит Г. Х. Харди , который ввел его в своей книге «Курс чистой математики» в 1908 году. ^[7]

Типы ограничений

В последовательностях

Реальные цифры

Выражение 0,999... следует интерпретировать как предел последовательности 0,9, 0,99, 0,999, ... и т. д. Можно строго показать, что эта последовательность имеет предел 1, и поэтому это выражение осмысленно интерпретируется как имеющее значение 1. ^[8]

Формально, предположим, что a ₁ , a ₂ , ... — последовательность действительных чисел . Когда предел последовательности существует, действительное число L является пределом этой последовательности тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа ε > 0 существует натуральное число N такое, что для всех n > N имеем | a _n − L | < ε . ^[9] Общепринятое обозначение читается как: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$$

«Предел числа n при стремлении _n к бесконечности равен L » или «Предел числа n при стремлении n к бесконечности _равен L » .

Формальное определение интуитивно означает, что в конечном итоге все элементы последовательности сколь угодно близки к пределу, поскольку абсолютное значение | a _n − L | является расстоянием между a _n и L .

Не каждая последовательность имеет предел. Последовательность с пределом называется сходящейся ; в противном случае она называется расходящейся . Можно показать, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Предел последовательности и предел функции тесно связаны. С одной стороны, предел при n , стремящемся к бесконечности, последовательности { a _n } — это просто предел на бесконечности функции a ( n ) — определенной на натуральных числах { n } . С другой стороны, если X — область определения функции f ( x ) и если предел при n , стремящемся к бесконечности, функции f ( x _n ) равен L для каждой произвольной последовательности точек { x _n } в X − x _{0 ,} которая сходится к x ₀ , то предел функции f ( x ) при x, стремящемся к x _{0 ,} равен L . ^[10] Одной из таких последовательностей будет { x ₀ + 1/ n } .

Бесконечность как предел

Существует также понятие предела, «стремящегося к бесконечности», а не к конечному значению . Говорят, что последовательность «стремится к бесконечности», если для каждого действительного числа , известного как граница, существует целое число такое, что для каждого , То есть для каждой возможной границы последовательность в конечном итоге превышает границу. Это часто записывается или просто . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ $${\displaystyle a_{n}>M.}$$ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty }$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow \infty }$

Последовательность может быть расходящейся, но не стремиться к бесконечности. Такие последовательности называются колебательными . Примером колебательной последовательности является . ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$

Существует соответствующее понятие стремления к отрицательной бесконечности, определяемое путем изменения неравенства в приведенном выше определении на ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty }$ ${\displaystyle a_{n}<M,}$ ${\displaystyle M<0.}$

Последовательность с называется неограниченной , определение в равной степени справедливо для последовательностей в комплексных числах , или в любом метрическом пространстве . Последовательности , которые не стремятся к бесконечности , называются ограниченными . Последовательности , которые не стремятся к положительной бесконечности , называются ограниченными сверху , в то время как те , которые не стремятся к отрицательной бесконечности , ограничены снизу . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\infty }$

Метрическое пространство

Обсуждение последовательностей выше относится к последовательностям действительных чисел. Понятие пределов может быть определено для последовательностей, содержащих значения в более абстрактных пространствах, таких как метрические пространства . Если — метрическое пространство с функцией расстояния , а — последовательность в , то предел (когда он существует) последовательности — это элемент такой, что при условии , существует такой , что для каждого , мы имеем Эквивалентное утверждение заключается в том, что если последовательность действительных чисел . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a\in M}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ $${\displaystyle d(a,a_{n})<\epsilon .}$$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}$

Пример: Р^н

Важным примером является пространство -мерных действительных векторов, элементы которого являются действительными, примером подходящей функции расстояния является евклидово расстояние , определяемое формулой Последовательность точек сходится к , если предел существует и . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$$ ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} \|\rightarrow 0}$

Топологическое пространство

В некотором смысле наиболее абстрактным пространством, в котором могут быть определены пределы, являются топологические пространства . Если — топологическое пространство с топологией , а — последовательность в , то предел (когда он существует) последовательности — это точка такая, что при заданной (открытой) окрестности , существует такое , что для каждого выполняется . В этом случае предел (если он существует) может быть не единственным. Однако он должен быть единственным, если — хаусдорфово пространство . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ $${\displaystyle a_{n}\in U}$$ ${\displaystyle X}$

Функциональное пространство

В этом разделе рассматривается идея пределов последовательностей функций, которую не следует путать с идеей пределов функций, обсуждаемой ниже.

Область функционального анализа частично стремится определить полезные понятия сходимости в функциональных пространствах. Например, рассмотрим пространство функций из общего множества в . Если задана последовательность функций , каждая из которых является функцией , предположим, что существует функция такая, что для каждого , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$ $${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

Тогда говорят, что последовательность сходится поточечно к . Однако такие последовательности могут демонстрировать неожиданное поведение. Например, можно построить последовательность непрерывных функций, которая имеет разрывный поточечный предел. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Другое понятие сходимости — равномерная сходимость . Равномерное расстояние между двумя функциями — это максимальная разность между двумя функциями при изменении аргумента. То есть, Тогда говорят, что последовательность равномерно сходится или имеет равномерный предел , если относительно этого расстояния. Равномерный предел имеет «более приятные» свойства, чем поточечный предел. Например, равномерный предел последовательности непрерывных функций непрерывен. ${\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$ $${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$

На функциональных пространствах можно определить множество различных понятий сходимости. Иногда это зависит от регулярности пространства. Яркими примерами функциональных пространств с некоторым понятием сходимости являются пространства Lp и пространство Соболева .

В функциях

Функция f ( x ) , для которой предел на бесконечности равен L. Для любого произвольного расстояния ε должно существовать значение S такое, что функция остается в пределах L ± ε для всех x > S .

Предположим, что f — это вещественная функция , а c — вещественное число . Интуитивно говоря, выражение

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

означает, что f ( x ) можно сделать настолько близким к L , насколько это необходимо, сделав x достаточно близким к c . ^[11] В этом случае приведенное выше уравнение можно прочитать как «предел f от x , когда x приближается к c , равен L ».

Формально определение "предела при приближении " дается следующим образом. Предел является действительным числом , так что при заданном произвольном действительном числе (рассматриваемом как "ошибка") существует такое , что для любого удовлетворяющего выполняется . Это известно как (ε, δ)-определение предела . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$

Неравенство используется для исключения из множества рассматриваемых точек, но некоторые авторы не включают это в свое определение пределов, заменяя просто на . Эта замена эквивалентна дополнительному требованию, чтобы было непрерывно при . ${\displaystyle 0<|x-c|}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |x-c|<\delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Можно доказать, что существует эквивалентное определение, которое выявляет связь между пределами последовательностей и пределами функций. ^[12] Эквивалентное определение дается следующим образом. Сначала заметим, что для каждой последовательности в области , существует связанная последовательность , образ последовательности под . Предел является действительным числом , так что для всех последовательностей связанная последовательность . ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

Односторонний предел

Можно определить понятие наличия «левостороннего» предела («снизу») и понятие «правостороннего» предела («сверху»). Они не обязательно должны совпадать. Примером служит функция положительного индикатора , , определенная таким образом, что если , и если . При функция имеет «левосторонний предел» 0, «правосторонний предел» 1, и ее предел не существует. Символически это можно сформулировать так, для этого примера , и , и из этого можно вывести не существует, поскольку . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\leq 0}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$

Бесконечность в пределах функций

Можно определить понятие «стремления к бесконечности» в области , ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L.}$$

В этом выражении бесконечность считается знаковой: либо , либо . «Предел f при стремлении x к положительной бесконечности» определяется следующим образом. Это действительное число , такое что при любом действительном существует , так что если , . Эквивалентно, для любой последовательности , мы имеем . ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x>M}$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

Также можно определить понятие «стремление к бесконечности» в значении , ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}$$

Определение дается следующим образом. Для любого действительного числа существует такое, что для , абсолютное значение функции . Эквивалентно, для любой последовательности , последовательность . ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)|>M}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }$

Нестандартный анализ

В нестандартном анализе (который подразумевает гиперреальное расширение числовой системы) предел последовательности может быть выражен как стандартная часть значения естественного расширения последовательности при бесконечном гипернатуральном индексе n=H . Таким образом, ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{H}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).}$

Здесь стандартная часть функции "st" округляет каждое конечное гипердействительное число до ближайшего действительного числа (разница между ними бесконечно мала ). Это формализует естественную интуицию, что для "очень больших" значений индекса члены в последовательности "очень близки" к предельному значению последовательности. Наоборот, стандартная часть гипердействительного числа, представленная в конструкции ультрастепени последовательностью Коши , является просто пределом этой последовательности: ${\displaystyle a=[a_{n}]}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}$

В этом смысле взятие предельной и взятие стандартной части являются эквивалентными процедурами.

Предельные наборы

Предельный набор последовательности

Пусть будет последовательностью в топологическом пространстве . Для конкретности можно рассматривать как , но определения имеют более общий характер. Предельное множество — это множество точек, такое, что если существует сходящаяся подпоследовательность с , то принадлежит предельному множеству. В этом контексте такое иногда называют предельной точкой. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Это понятие используется для характеристики "долгосрочного поведения" колебательных последовательностей. Например, рассмотрим последовательность . Начиная с n=1, первые несколько членов этой последовательности равны . Можно проверить, что она колебательная, поэтому не имеет предела, но имеет предельные точки . ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ ${\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots }$ ${\displaystyle \{-1,+1\}}$

Предельное множество траектории

Это понятие используется в динамических системах для изучения пределов траекторий. Определяя траекторию как функцию , точка рассматривается как «положение» траектории в «время» . Предельное множество траектории определяется следующим образом. Для любой последовательности возрастающих времен существует связанная последовательность положений . Если — предельное множество последовательности для любой последовательности возрастающих времен, то — предельное множество траектории. ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle x}$

Технически это -предельное множество. Соответствующее предельное множество для последовательностей убывающего времени называется -предельным множеством. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$

Наглядным примером является траектория окружности: . Она не имеет единственного предела, но для каждого точка является предельной точкой, заданной последовательностью времен . Но предельные точки не обязательно должны достигаться на траектории. Траектория также имеет единичную окружность в качестве своего предельного множества. ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n}$ ${\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}$

Использует

Пределы используются для определения ряда важных концепций в анализе.

Ряд

Конкретное выражение интереса, которое формализуется как предел последовательности, — это суммы бесконечных рядов. Это «бесконечные суммы» действительных чисел, обычно записываемые как Это определяется через пределы следующим образом: ^[12] если задана последовательность действительных чисел , последовательность частичных сумм определяется как Если предел последовательности существует, то значение выражения определяется как предел. В противном случае ряд называется расходящимся. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$$ ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Классический пример — Базельская задача , где . Тогда ${\displaystyle a_{n}=1/n^{2}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Однако, в то время как для последовательностей существует по сути единственное понятие сходимости, для рядов существуют различные понятия сходимости. Это связано с тем, что выражение не различает различные упорядочения последовательности , в то время как свойства сходимости последовательности частичных сумм могут зависеть от упорядочения последовательности. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$

Ряд, который сходится для всех порядков, называется безусловно сходящимся . Можно доказать, что он эквивалентен абсолютной сходимости . Это определяется следующим образом. Ряд абсолютно сходится, если хорошо определен. Более того, все возможные порядки дают одно и то же значение. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$

В противном случае ряд условно сходится . Удивительным результатом для условно сходящихся рядов является теорема о рядах Римана : в зависимости от порядка частичные суммы можно заставить сходиться к любому действительному числу, а также . ${\displaystyle \pm \infty }$

Ряд мощности

Полезное применение теории сумм рядов — для степенных рядов. Это суммы рядов вида Часто рассматривается как комплексное число, и требуется подходящее понятие сходимости комплексных последовательностей. Множество значений , для которых сходится сумма ряда, представляет собой окружность с радиусом, известным как радиус сходимости . $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Непрерывность функции в точке

Определение непрерывности в точке дается через пределы.

Приведенное выше определение предела верно, даже если . Действительно, функция f не обязательно должна быть определена в точке c . Однако, если определено и равно , то говорят, что функция непрерывна в точке . ${\displaystyle f(c)\neq L}$ ${\displaystyle f(c)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$

Эквивалентно, функция непрерывна при , если как , или в терминах последовательностей, когда , то . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)\rightarrow f(c)}$ ${\displaystyle x\rightarrow c}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(c)}$

Пример предела, при котором не определен, приведен ниже. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Рассмотрим функцию

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.}$$

тогда f (1) не определена (см. Неопределенная форма ), однако, когда x приближается произвольно близко к 1, f ( x ) соответственно приближается к 2: ^[13]

Таким образом, f ( x ) можно сделать сколь угодно близким к пределу 2 — просто сделав x достаточно близким к 1 .

Другими словами, $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$$

Это также можно вычислить алгебраически, поскольку для всех действительных чисел x ≠ 1 . ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$

Теперь, поскольку x + 1 непрерывно по x в точке 1, мы можем подставить 1 вместо x , что приводит к уравнению $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$$

Помимо пределов при конечных значениях, функции могут также иметь пределы на бесконечности. Например, рассмотрим функцию , где: $${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}$$

• ф (100) = 1,9900
• ф (1000) = 1,9990
• ф (10000) = 1,9999

Когда x становится чрезвычайно большим, значение f ( x ) приближается к 2 , и значение f ( x ) можно сделать настолько близким к 2 , насколько это возможно, сделав x достаточно большим. Так что в этом случае предел f ( x ) при x , стремящемся к бесконечности, равен 2 , или в математической нотации, $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$$

Непрерывные функции

Важным классом функций при рассмотрении пределов являются непрерывные функции . Это именно те функции, которые сохраняют пределы , в том смысле, что если — непрерывная функция, то всякий раз, когда в области , то предел существует и, кроме того, равен . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a_{n})}$ ${\displaystyle f(a)}$

В наиболее общем случае топологических пространств краткое доказательство приводится ниже:

Пусть — непрерывная функция между топологическими пространствами и . По определению, для каждого открытого множества в , прообраз открыт в . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X}$

Теперь предположим, что есть последовательность с пределом в . Тогда есть последовательность в , а есть некоторая точка. ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(a_{n})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(a)}$

Выберем окрестность . Тогда — открытое множество (по непрерывности ), которое, в частности, содержит , и, следовательно, является окрестностью . По сходимости к , существует такое, что для , имеем . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle a_{n}\in f^{-1}(V)}$

Тогда применение к обеим сторонам дает, что для того же , для каждого имеем . Первоначально было произвольной окрестностью , поэтому . Это завершает доказательство. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle f(a_{n})\in V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(a)}$

В реальном анализе, для более конкретного случая вещественнозначных функций, определенных на подмножестве , то есть , непрерывная функция может быть также определена как функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$

Лимит баллов

В топологии пределы используются для определения предельных точек подмножества топологического пространства, которые, в свою очередь, дают полезную характеристику замкнутых множеств .

В топологическом пространстве рассмотрим подмножество . Точка называется предельной, если существует последовательность в такая, что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle S\backslash \{a\}}$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$

Причина, по которой определяется как находящееся в , а не просто, проиллюстрирована следующим примером. Возьмем и . Тогда , и поэтому является пределом постоянной последовательности . Но не является предельной точкой . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle S\backslash \{a\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}}$ ${\displaystyle 2\in S}$ ${\displaystyle 2,2,\cdots }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S}$

Замкнутое множество, которое определяется как дополнение открытого множества, эквивалентно любому множеству , содержащему все его предельные точки. ${\displaystyle C}$

Производный

Производная формально определяется как предел. В рамках действительного анализа производная сначала определяется для действительных функций, определенных на подмножестве . Производная при определяется следующим образом. Если предел при существует , то производная при является этим пределом. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$ $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$ ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle x}$

Эквивалентно, это предел по состоянию на ${\displaystyle y\rightarrow x}$ $${\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}$$

Если производная существует, ее обычно обозначают как . ${\displaystyle f'(x)}$

Характеристики

Последовательности действительных чисел

Для последовательностей действительных чисел можно доказать ряд свойств. ^[12] Предположим, что и — две последовательности, сходящиеся к и соответственно. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

• Сумма пределов равна пределу суммы

$${\displaystyle a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.}$$

• Произведение пределов равно пределу произведения

$${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.}$$

• Обратный предел равен пределу обратного (при условии, что ) ${\displaystyle a\neq 0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.}$$Эквивалентно, функция непрерывна относительно ненулевого значения . ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle x}$

Последовательности Коши

Свойством сходящихся последовательностей действительных чисел является то, что они являются последовательностями Коши . ^[12] Определение последовательности Коши заключается в том, что для каждого действительного числа существует такое, что всякий раз , когда , ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ $${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\epsilon .}$$

Неформально, для любой сколь угодно малой ошибки можно найти интервал диаметра такой, что в конечном итоге последовательность будет содержаться внутри этого интервала. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Последовательности Коши тесно связаны со сходящимися последовательностями. Фактически, для последовательностей действительных чисел они эквивалентны: любая последовательность Коши является сходящейся.

В общих метрических пространствах по-прежнему считается, что сходящиеся последовательности также являются последовательностями Коши. Но обратное неверно: не каждая последовательность Коши сходится в общем метрическом пространстве. Классический контрпример — рациональные числа , , с обычным расстоянием. Последовательность десятичных приближений к , усеченная на -м знаке после запятой, является последовательностью Коши, но не сходится в . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Метрическое пространство, в котором каждая последовательность Коши также является сходящейся, то есть последовательности Коши эквивалентны сходящимся последовательностям, называется полным метрическим пространством .

Одна из причин, по которой с последовательностями Коши «легче работать», чем со сходящимися последовательностями, заключается в том, что они являются свойством только последовательности, в то время как сходящиеся последовательности требуют не только последовательности, но и предела последовательности . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$

Порядок сходимости

Помимо того, сходится ли последовательность к пределу , можно описать, насколько быстро последовательность сходится к пределу. Один из способов количественной оценки этого — использование порядка сходимости последовательности. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$

Формальное определение порядка сходимости можно сформулировать следующим образом. Предположим, что есть последовательность действительных чисел, которая сходится с пределом . Кроме того, для всех . Если существуют положительные константы и такие, что то говорят, что сходится к с порядком сходимости . Константа известна как асимптотическая константа погрешности. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}\neq a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda }$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$

Порядок сходимости используется, например, в области численного анализа , при анализе ошибок.

Вычислимость

Пределы могут быть трудно вычисляемыми. Существуют предельные выражения, модуль сходимости которых неразрешим . В теории рекурсии предельная лемма доказывает, что возможно кодировать неразрешимые проблемы с помощью пределов. ^[14]

Существует несколько теорем или тестов, которые показывают, существует ли предел. Они известны как тесты сходимости . Примерами являются тест отношения и теорема о сжатии . Однако они могут не сообщать, как вычислить предел.

Смотрите также

• Асимптотический анализ : метод описания предельного поведения
  • Обозначение «О» большое : используется для описания предельного поведения функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности.
• Банахов предел, определенный на банаховом пространстве , который расширяет обычные пределы. ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• Сходимость случайных величин
• Сходящаяся матрица
• Предел в теории категорий
  • Прямой предел
  • Обратный предел
• Предел функции
  • Односторонний предел : один из двух пределов функций действительной переменной x , когда x приближается к точке сверху или снизу.
  • Список ограничений : список ограничений для общих функций
  • Теорема сжатия : находит предел функции путем сравнения с двумя другими функциями
• Предел верхний и предел нижний
• Режимы конвергенции
  • Аннотированный индекс

Примечания

1. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Шубринг, Герт (2005). Конфликты между обобщением, строгостью и интуицией: числовые концепции, лежащие в основе развития анализа во Франции и Германии XVII–XIX веков . Нью-Йорк: Springer. С. 22–23. ISBN 0387228365.
3. «Элементы Евклида, Книга X, Предложение 1». aleph0.clarku.edu .
4. Ван Лой, Герман (1984). «Хронология и исторический анализ математических рукописей Грегориуса Санкто Винченцио (1584–1667)». История Математики . 11 (1): 57–75. дои : 10.1016/0315-0860(84)90005-3 .
5. Фельшер, Вальтер (2000), «Больцано, Коши, Эпсилон, Дельта», American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi : 10.2307/2695743, JSTOR  2695743
6. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (Девятое изд.). Брукс/Коул , Cengage Learning . ISBN 978-0-547-20998-2.
7. Миллер, Джефф (1 декабря 2004 г.), Earlyest Uses of Symbols of Calculus, архивировано из оригинала 2015-05-01 , извлечено 2008-12-18
8. Стиллвелл, Джон (1994), Элементы алгебры: геометрия, числа, уравнения , Springer, стр. 42, ISBN 978-1441928399
9. Weisstein, Eric W. "Limit". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 2020-06-20 . Получено 18-08-2020 .
10. Апостол (1974, стр. 75–76)
11. Weisstein, Eric W. "Epsilon-Delta Definition". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 2020-06-25 . Получено 2020-08-18 .
12. Чуа, Декстер. «Анализ I (на основе курса, прочитанного Тимоти Гауэрсом)». Заметки из Mathematical Tripos .
13. "limit | Definition, Example, & Facts". Encyclopedia Britannica . Архивировано из оригинала 2021-05-09 . Получено 2020-08-18 .
14. Соаре, Роберт И. (2014). Рекурсивно перечислимые множества и степени: исследование вычислимых функций и вычислимо порожденных множеств. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66681-3. OCLC  1154894968.

Ссылки

• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Менло-Парк: Addison-Wesley , LCCN  72011473

Внешние ссылки