Абсолютное значение

Расстояние от нуля до числа

График функции абсолютного значения для действительных чисел

Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

В математике абсолютное значение или модуль действительного числа , обозначаемый , является неотрицательным значением независимо от его знака . А именно, если является положительным числом , а если является отрицательным (в этом случае отрицание делает положительное), и . Например , абсолютное значение числа 3 равно 3, а абсолютное значение числа −3 также равно 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|=-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle |0|=0}$

Обобщения абсолютного значения для действительных чисел встречаются в самых разных математических ситуациях. Например, абсолютное значение также определено для комплексных чисел , кватернионов , упорядоченных колец , полей и векторных пространств . Абсолютное значение тесно связано с понятиями величины , расстояния и нормы в различных математических и физических контекстах.

Терминология и обозначения

В 1806 году Жан-Робер Арган ввел термин module , означающий единицу измерения на французском языке, специально для комплексного абсолютного значения, ^{[1] [2]} и он был заимствован в английский язык в 1866 году как латинский эквивалент modulus . ^[1] Термин absolute value использовался в этом смысле по крайней мере с 1806 года во французском языке ^[3] и с 1857 года в английском языке. ^[4] Обозначение | x | , с вертикальной чертой с каждой стороны, было введено Карлом Вейерштрассом в 1841 году. ^[5] Другие названия для absolute value включают numeric value ^[1] и magnetic . ^[1] В языках программирования и пакетах вычислительного программного обеспечения absolute значение обычно представляется как , или похожее выражение. ${\textstyle x}$abs(x)

Обозначение вертикальной черты также появляется в ряде других математических контекстов: например, при применении к множеству оно обозначает его мощность ; при применении к матрице оно обозначает ее определитель . Вертикальные черты обозначают абсолютное значение только для алгебраических объектов, для которых определено понятие абсолютного значения, в частности, элемент нормированной алгебры с делением , например, действительное число, комплексное число или кватернион. Тесно связанная, но отличная нотация — это использование вертикальных черт либо для евклидовой нормы ^[6], либо для sup-нормы ^[7] вектора в , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ хотя двойные вертикальные черты с нижними индексами ( ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ и , ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ соответственно) являются более распространенной и менее неоднозначной нотацией.

Определение и свойства

Реальные цифры

Для любого действительного числа абсолютное ${\displaystyle x}$ значение или модуль обозначается как ${\displaystyle x}$ , с ${\displaystyle |x|}$ вертикальной чертой по обе стороны от величины, и определяется как ^[8] $${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Абсолютное значение всегда ${\displaystyle x}$ является либо положительным числом , либо нулем , но никогда отрицательным . Когда само отрицательно ( ), то его абсолютное значение обязательно положительно ( ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle |x|=-x>0}$

С точки зрения аналитической геометрии , абсолютное значение действительного числа — это расстояние этого числа от нуля вдоль действительной числовой оси , а в более общем смысле абсолютное значение разности двух действительных чисел (их абсолютная разность ) — это расстояние между ними. ^[9] Понятие абстрактной функции расстояния в математике можно рассматривать как обобщение абсолютного значения разности (см. «Расстояние» ниже).

Поскольку символ квадратного корня представляет собой уникальный положительный квадратный корень , при применении к положительному числу следует, что | x | = x 2 . {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.} Это эквивалентно определению выше и может использоваться как альтернативное определение абсолютного значения действительных чисел. ^[10]

Абсолютное значение имеет следующие четыре фундаментальных свойства ( , являются действительными числами), которые используются для обобщения этого понятия на другие области: ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

Неотрицательность, положительная определенность и мультипликативность легко очевидны из определения. Чтобы увидеть, что субаддитивность имеет место, сначала отметим, что где , со знаком, выбранным так, чтобы сделать результат положительным. Теперь, поскольку и , следует, что, какое бы из значений ни было , для всех действительных . Следовательно, , как и требовалось. ${\displaystyle |a+b|=s(a+b)}$ ${\displaystyle s=\pm 1}$ ${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$

Некоторые дополнительные полезные свойства приведены ниже. Они являются либо непосредственными следствиями определения, либо подразумеваются четырьмя фундаментальными свойствами, указанными выше.

Два других полезных свойства, касающихся неравенств:

Эти отношения могут быть использованы для решения неравенств, содержащих абсолютные значения. Например:

Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используется для определения абсолютной разницы между произвольными действительными числами, стандартной метрики действительных чисел.

Комплексные числа

Абсолютное значение комплексного числа ${\displaystyle z}$ — это расстояние ${\displaystyle r}$ от ${\displaystyle z}$ начала координат. На рисунке также видно, что и его комплексно-сопряженное число имеют одинаковое абсолютное значение. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Поскольку комплексные числа не упорядочены , определение, данное в верхней части для действительного абсолютного значения, не может быть напрямую применено к комплексным числам. Однако геометрическая интерпретация абсолютного значения действительного числа как его расстояния от 0 может быть обобщена. Абсолютное значение комплексного числа определяется евклидовым расстоянием его соответствующей точки на комплексной плоскости от начала координат . Это можно вычислить с помощью теоремы Пифагора : для любого комплексного числа , где и являются действительными числами, абсолютное значение или модуль обозначается и определяется [ ^11] пифагоровым сложением и , где и обозначают действительную и мнимую части соответственно . Когда мнимая часть равна нулю, это совпадает с определением абсолютного значения действительного числа . $${\displaystyle z=x+iy,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ $${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Когда комплексное число выражено в полярной форме , его абсолютное значение равно ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta },}$ ${\displaystyle |z|=r.}$

Поскольку произведение любого комплексного числа и его комплексно-сопряженного числа с тем же абсолютным значением всегда является неотрицательным действительным числом , абсолютное значение комплексного числа равно квадратному корню , который поэтому называется абсолютным квадратом или квадратом модуля : Это обобщает альтернативное определение для действительных чисел: . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$

Комплексное абсолютное значение разделяет четыре основных свойства, приведенных выше для действительного абсолютного значения. Тождество является частным случаем мультипликативности, которая часто полезна сама по себе. ${\displaystyle |z|^{2}=|z^{2}|}$

Функция абсолютного значения

График функции абсолютного значения для действительных чисел

Композиция абсолютной величины с кубической функцией в разных порядках

Действительная функция абсолютного значения непрерывна всюду. Она дифференцируема всюду, за исключением x = 0. Она монотонно убывает на интервале (−∞, 0] и монотонно возрастает на интервале [0, +∞) . Поскольку действительное число и его противоположность имеют одинаковое абсолютное значение, она является четной функцией и, следовательно, необратимой . Действительная функция абсолютного значения является кусочно-линейной , выпуклой функцией .

Как для действительных, так и для комплексных чисел функция абсолютного значения является идемпотентной (это означает, что абсолютное значение любого абсолютного значения равно самому себе).

Связь со знаковой функцией

Функция абсолютного значения действительного числа возвращает его значение независимо от его знака, тогда как функция знака (или signum) возвращает знак числа независимо от его значения. Следующие уравнения показывают связь между этими двумя функциями:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

или

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

и для x ≠ 0 ,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

Связь с функциями максимума и минимума

Пусть , тогда ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |t-s|=-2\min(s,t)+s+t}$

и

${\displaystyle |t-s|=2\max(s,t)-s-t.}$

Производный

Действительная функция абсолютного значения имеет производную для каждого x ≠ 0 , но не дифференцируема при x = 0. Ее производная для x ≠ 0 задается ступенчатой ​​функцией : ^{[12] [13]}

${\displaystyle {\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}$

Действительная функция абсолютного значения является примером непрерывной функции, которая достигает глобального минимума там, где производная не существует.

Субдифференциал |  x | при  x = 0 — это интервал  [ −1 , 1] . [ ^14]

Комплексная функция абсолютного значения непрерывна всюду, но комплексно дифференцируема нигде, поскольку она нарушает уравнения Коши–Римана . ^[12]

Вторая производная  | x | по  x равна нулю везде, кроме нуля, где она не существует. Как обобщенная функция , вторая производная может быть взята как удвоенная дельта-функция Дирака .

Первообразный

Первообразная (неопределенный интеграл ) действительной функции абсолютного значения равна

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

где C — произвольная константа интегрирования . Это не комплексная первообразная , поскольку комплексные первообразные могут существовать только для комплексно-дифференцируемых ( голоморфных ) функций, а комплексная функция абсолютного значения таковой не является.

Производные от композиций

Следующие две формулы являются частными случаями цепного правила :

${\displaystyle {d \over dx}f(|x|)={x \over |x|}(f'(|x|))}$

если абсолютное значение находится внутри функции, и

${\displaystyle {d \over dx}|f(x)|={f(x) \over |f(x)|}f'(x)}$

если другая функция находится внутри абсолютного значения. В первом случае производная всегда разрывна при в первом случае и где во втором случае. ${\textstyle x=0}$ ${\textstyle f(x)=0}$

Расстояние

Абсолютное значение тесно связано с идеей расстояния . Как было отмечено выше, абсолютное значение действительного или комплексного числа — это расстояние от этого числа до начала координат, вдоль действительной числовой оси для действительных чисел или в комплексной плоскости для комплексных чисел, и, в более общем смысле, абсолютное значение разности двух действительных или комплексных чисел — это расстояние между ними.

Стандартное евклидово расстояние между двумя точками

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

и

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

в евклидовом n -пространстве определяется как:

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Это можно рассматривать как обобщение, поскольку для и действительных, т.е. в одномерном пространстве, согласно альтернативному определению абсолютного значения, ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

и для комплексных чисел, т.е. в 2-мерном пространстве, ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$ ${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$

Вышеизложенное показывает, что расстояние «по абсолютному значению» для действительных и комплексных чисел согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как одномерных и двумерных евклидовых пространств соответственно.

Свойства абсолютного значения разности двух действительных или комплексных чисел: неотрицательность, тождественность неразличимых, симметрия и неравенство треугольника, приведенные выше, можно рассматривать как мотивирующие более общее понятие функции расстояния следующим образом:

Действительная функция d на множестве X  ×  X называется метрикой (или функцией расстояния ) на  X , если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам: ^[15]

Обобщения

Заказанные кольца

Определение абсолютного значения, данное для действительных чисел выше, может быть распространено на любое упорядоченное кольцо . То есть, если  a является элементом упорядоченного кольца  R , то абсолютное значение a  , обозначаемое как | a | , определяется как: ^[16]

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$

где − a — аддитивная обратная величина a  , 0 — аддитивная единица , а < и ≥ имеют обычное значение относительно порядка в кольце.

Поля

Четыре основных свойства абсолютного значения действительных чисел можно использовать для обобщения понятия абсолютного значения на произвольное поле следующим образом.

Действительная функция  v в поле  F называется абсолютным значением (также модулем , величиной , значением или оценкой ) ^[17] , если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

Где 0 обозначает аддитивную идентичность F.  Из положительной определенности и мультипликативности следует, что v ( 1 ) = 1 , где 1 обозначает мультипликативную идентичность F.  Действительные и комплексные абсолютные значения , определенные выше , являются примерами абсолютных значений для произвольного поля.

Если v является абсолютным значением на  F , то функция  d на F  ×  F , определяемая как d ( a ,  b ) = v ( a − b ) , является метрикой, и следующие условия эквивалентны:

• d удовлетворяет ультраметрическому неравенству для всех x , y , z из  F. ${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$ограничено в  R.​​
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$для каждого . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$для всех . ${\displaystyle a\in F}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$для всех . ${\displaystyle a,b\in F}$

Абсолютное значение, удовлетворяющее любому (следовательно, всем) из вышеперечисленных условий, называется неархимедовым , в противном случае оно называется архимедовым . ^[18]

Векторные пространства

Опять же, основные свойства абсолютного значения для действительных чисел можно использовать, с небольшими изменениями, для обобщения понятия на произвольное векторное пространство.

Действительная функция на векторном пространстве  V над полем  F , представленная как ‖ · ‖ , называется абсолютным значением , но чаще всего нормой , если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Для всех  a в  F и v , u в  V ,

Норма вектора также называется его длиной или величиной .

В случае евклидова пространства функция определяется формулой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

является нормой, называемой евклидовой нормой. Когда действительные числа рассматриваются как одномерное векторное пространство , абсолютное значение является нормой , и является p -нормой (см. пространство L p ) для любого  p . Фактически, абсолютное значение является "единственной" нормой на , в том смысле, что для каждой нормы ‖ · ‖ на , ‖ x ‖ = ‖ 1 ‖ ⋅ | x | . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Комплексное абсолютное значение является частным случаем нормы в пространстве внутреннего произведения , которая идентична евклидовой норме, когда комплексная плоскость идентифицируется как евклидова плоскость  . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Композиционные алгебры

Каждая композиционная алгебра A имеет инволюцию x → x *, называемую ее сопряжением . Произведение в A элемента x и его сопряженного элемента x * записывается N ( x ) = xx * и называется нормой x .

Действительные числа , комплексные числа и кватернионы — это композиционные алгебры с нормами, заданными определенными квадратичными формами . Абсолютное значение в этих алгебрах с делением задается квадратным корнем нормы композиционной алгебры. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

В общем случае норма композиционной алгебры может быть квадратичной формой , которая не определена и имеет нулевые векторы . Однако, как и в случае алгебр с делением, когда элемент x имеет ненулевую норму, то x имеет мультипликативную обратную, заданную как x */ N ( x ).

Смотрите также

• Наименьшие абсолютные значения

Примечания

1. Оксфордский словарь английского языка , черновик редакции, июнь 2008 г.
2. Нахин, О'Коннор и Робертсон, а также functions.Wolfram.com.; о французском значении см. Литтре , 1877
3. Лазар Николя М. Карно , «Мемуар о соотношении, которое существует между расстояниями, соответствующими cinq point quelconques pris dans l'espace» , с. 105 в Google Книгах
4. Джеймс Милл Пирс, Учебник аналитической геометрии в Архиве Интернета. Самая старая цитата во 2-м издании Оксфордского словаря английского языка датируется 1907 годом. Термин «абсолютное значение» также используется в противопоставлении « относительному значению» .
5. Николас Дж. Хайэм, Справочник по написанию математических наук , SIAM. ISBN  0-89871-420-6 , стр. 25
6. Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях . Боулдер, Колорадо: Westview. стр. 1. ISBN 0805390219.
7. Манкрес, Джеймс (1991). Анализ многообразий . Боулдер, Колорадо: Westview. стр. 4. ISBN 0201510359.
8. Мендельсон, стр. 2.
9. Смит, Карл (2013). Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving. Jones & Bartlett Publishers. стр. 8. ISBN 978-0-7637-5177-7.
10. Стюарт, Джеймс Б. (2001). Исчисление: концепции и контексты . Австралия: Brooks/Cole. стр. A5. ISBN 0-534-37718-1.
11. Гонсалес, Марио О. (1992). Классический комплексный анализ. CRC Press. стр. 19. ISBN 9780824784157.
12. "Weisstein, Eric W. Абсолютное значение. Из MathWorld – веб-ресурса Wolfram".
13. Бартл и Шерберт, стр. 163.
14. Питер Риггерс, Панайотис Панатиотопулос, ред., Новые разработки в области контактных проблем , 1999, ISBN 3-211-83154-1 , стр. 31–32 
15. Эти аксиомы не являются минимальными; например, неотрицательность может быть выведена из остальных трех: 0 = d ( a ,  a ) ≤ d ( a ,  b ) + d ( b ,  a ) = 2 d ( a ,  b ) .
16. Мак Лейн, стр. 264.
17. Шехтер, стр. 260. Это значение оценки встречается редко. Обычно оценка — это логарифм обратной величины абсолютного значения
18. Шехтер, стр. 260–261.

Ссылки

• Бартл; Шерберт; Введение в действительный анализ (4-е изд.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6 . 
• Нахин, Пол Дж.; Воображаемая история ; Издательство Принстонского университета; (твердый переплет, 1998). ISBN 0-691-02795-1 . 
• Мак Лейн, Сондерс, Гаррет Биркгофф, Алгебра , Американское математическое общество, 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2 . 
• Мендельсон, Эллиот, Шаум. Очерк начального анализа , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2 . 
• О'Коннор, Джей-Джей и Робертсон, Э.Ф.; «Жан Робер Арган».
• Шехтер, Эрик; Справочник по анализу и его основам , стр. 259–263, «Абсолютные значения», Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8 . 

Внешние ссылки

• «Абсолютное значение». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• абсолютное значение в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютная ценность». Математический мир .