Ортотропный материал

Дерево является примером ортотропного материала. Свойства материала в трех перпендикулярных направлениях (осевом, радиальном и окружном) различны.

В материаловедении и механике твердого тела ортотропные материалы имеют свойства материала в определенной точке, которые различаются вдоль трех ортогональных осей, где каждая ось имеет двойную вращательную симметрию . Эти направленные различия в силе можно определить количественно с помощью уравнения Хэнкинсона .

Они представляют собой подмножество анизотропных материалов , поскольку их свойства изменяются при измерении с разных направлений.

Знакомый пример ортотропного материала — дерево . В древесине можно определить три взаимно перпендикулярных направления в каждой точке, в которых свойства различны. Он наиболее жесткий (и прочный) вдоль волокон (в осевом направлении), потому что большинство фибрилл целлюлозы ориентированы таким образом. Обычно он наименее жесткий в радиальном направлении (между годичными кольцами) и является промежуточным в окружном направлении. Эта анизотропия возникла в результате эволюции, поскольку она лучше всего позволяет дереву оставаться в вертикальном положении.

Поскольку предпочтительной системой координат является цилиндрическо-полярная, этот тип ортотропии также называется полярной ортотропией .

Другим примером ортотропного материала является листовой металл , полученный путем сжатия толстых участков металла между тяжелыми роликами. Это сглаживает и растягивает его зернистую структуру . В результате материал становится анизотропным — его свойства различаются в зависимости от направления прокатки и каждого из двух поперечных направлений. Этот метод успешно используется при изготовлении балок из конструкционной стали и алюминиевой обшивки самолетов.

Если ортотропные свойства различаются между точками внутри объекта, он обладает как ортотропностью, так и неоднородностью . Это говорит о том, что ортотропия — это свойство точки внутри объекта, а не объекта в целом (если только объект не является однородным). Соответствующие плоскости симметрии также определяются для небольшой области вокруг точки и не обязательно должны быть идентичны плоскостям симметрии всего объекта.

Ортотропные материалы представляют собой подмножество анизотропных материалов ; их свойства зависят от направления, в котором они измерены. Ортотропные материалы имеют три плоскости/оси симметрии. Изотропный материал, напротив, имеет одинаковые свойства во всех направлениях . Можно доказать, что материал, имеющий две плоскости симметрии, должен иметь и третью. Изотропные материалы имеют бесконечное количество плоскостей симметрии.

Трансверсально-изотропные материалы — это специальные ортотропные материалы, имеющие одну ось симметрии (любая другая пара осей, перпендикулярная основной и ортогональная между собой, также является осями симметрии). Одним из распространенных примеров трансверсально-изотропного материала с одной осью симметрии является полимер, армированный параллельными волокнами стекла или графита. Прочность и жесткость такого композиционного материала обычно будут выше в направлении, параллельном волокнам, чем в поперечном направлении, а направление толщины обычно имеет свойства, аналогичные поперечному направлению. Другим примером может служить биологическая мембрана, свойства которой в плоскости мембраны будут отличаться от свойств в перпендикулярном направлении. Было показано, что свойства ортотропного материала обеспечивают более точное представление упругой симметрии кости, а также могут дать информацию о трехмерной направленности свойств материала кости на уровне ткани. ^[1]

Важно помнить, что материал, который является анизотропным в одном масштабе длины, может быть изотропным в другом (обычно большем) масштабе длины. Например, большинство металлов являются поликристаллическими с очень мелкими зернами . Каждое из отдельных зерен может быть анизотропным, но если материал в целом содержит множество случайно ориентированных зерен, то его измеренные механические свойства будут средними из свойств по всем возможным ориентациям отдельных зерен.

Ортотропия в физике

Анизотропные материальные отношения

Материальное поведение представлено в физических теориях определяющими отношениями . Большой класс физического поведения может быть представлен линейными моделями материала, которые принимают форму тензора второго порядка . Тензор материала обеспечивает связь между двумя векторами и может быть записан как

${\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d} }$

где – два вектора, представляющие физические величины, – тензор материала второго порядка. Если мы выразим приведенное выше уравнение через компоненты относительно ортонормированной системы координат , мы можем написать ${\displaystyle \mathbf {d} ,\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$

${\displaystyle f_{i}=K_{ij}~d_{j}~.}$

В приведенном выше соотношении предполагалось суммирование по повторяющимся индексам . В матричной форме имеем

${\displaystyle {\underline {\mathbf {f} }}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\mathbf {d} }}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}}$

Примеры физических проблем, соответствующих приведенному выше шаблону, перечислены в таблице ниже. ^[2]

Условие симметрии материала

Матрица материала имеет симметрию относительно данного ортогонального преобразования ( ), если она не изменяется при воздействии этого преобразования. Для инвариантности свойств материала при таком преобразовании потребуем ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}}$

Следовательно, условие симметрии материала (используя определение ортогонального преобразования)

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}}$

Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах матрицей, заданной формулой ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

Следовательно, условие симметрии можно записать в матричной форме как

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

Свойства ортотропного материала

Ортотропный материал имеет три ортогональные плоскости симметрии . Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут иметь вид

${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Можно показать, что если матрица материала инвариантна при отражении от двух ортогональных плоскостей, то она инвариантна и при отражении от третьей ортогональной плоскости. ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$

Рассмотрим отражение о самолете. Тогда у нас есть ${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}}$ ${\displaystyle 1-2\,}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&-K_{13}\\K_{21}&K_{22}&-K_{23}\\-K_{31}&-K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}}$

Из приведенного выше соотношения следует, что . Далее рассмотрим размышление о самолете. Тогда у нас есть ${\displaystyle K_{13}=K_{23}=K_{31}=K_{32}=0}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}}$ ${\displaystyle 1-3\,}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&-K_{12}&0\\-K_{21}&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

Это подразумевает, что . Следовательно, свойства ортотропного материала описываются матрицей ${\displaystyle K_{12}=K_{21}=0}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

Ортотропия в линейной упругости

Анизотропная эластичность

В линейной упругости соотношение между напряжением и деформацией зависит от типа рассматриваемого материала. Это соотношение известно как закон Гука . Для анизотропных материалов закон Гука можно записать в виде ^[3]

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

где – тензор напряжений , – тензор деформаций, – тензор упругой жесткости . Если тензоры в приведенном выше выражении описываются через компоненты относительно ортонормированной системы координат, мы можем написать ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle {\mathsf {c}}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\varepsilon _{k\ell }}$

где суммирование предполагалось по повторяющимся индексам. Поскольку тензоры напряжений и деформаций симметричны и поскольку соотношение «напряжение-деформация» в линейной упругости может быть получено из функции плотности энергии деформации , для линейных упругих материалов справедливы следующие симметрии:

${\displaystyle c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }~,~~c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}~,~~c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}~.}$

Из-за вышеуказанной симметрии зависимость напряжения от деформации для линейно упругих материалов может быть выражена в матричной форме как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Альтернативное представление в обозначениях Фойгта :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$

или

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}$

Матрица жесткости в приведенном выше соотношении удовлетворяет точечной симметрии . ^[4] ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$

Условие симметрии материала

Матрица жесткости удовлетворяет заданному условию симметрии, если она не изменяется при соответствующем ортогональном преобразовании . Ортогональное преобразование может представлять симметрию относительно точки , оси или плоскости . Ортогональные преобразования в линейной упругости включают вращения и отражения, но не преобразования, изменяющие форму, и могут быть представлены в ортонормированных координатах матрицей, заданной выражением ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

В обозначениях Фойгта матрица преобразования тензора напряжений может быть выражена в виде матрицы [ ^4] ${\displaystyle 6\times 6}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&2A_{12}A_{13}&2A_{11}A_{13}&2A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&2A_{22}A_{23}&2A_{21}A_{23}&2A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&2A_{32}A_{33}&2A_{31}A_{33}&2A_{31}A_{32}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

Преобразование тензора деформаций имеет несколько иной вид из-за выбора обозначений. Эта матрица преобразования

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

Это можно показать . ${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}^{-1}}$

Упругие свойства континуума инвариантны относительно ортогонального преобразования тогда и только тогда, когда ^[4] ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} }}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$

Матрицы жесткости и податливости в ортотропной упругости

Ортотропный упругий материал имеет три ортогональные плоскости симметрии . Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут иметь вид

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Можно показать, что если матрица линейно-упругого материала инвариантна при отражении от двух ортогональных плоскостей, то она инвариантна и при отражении от третьей ортогональной плоскости. ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}}$

Если рассматривать отражение относительно плоскости, то имеем ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}}$ ${\displaystyle 1-2\,}$

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Тогда из требования следует, что ^[4] ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&-C_{14}&-C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&-C_{24}&-C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&-C_{34}&-C_{35}&C_{36}\\-C_{14}&-C_{24}&-C_{34}&C_{44}&C_{45}&-C_{46}\\-C_{15}&-C_{25}&-C_{35}&C_{45}&C_{55}&-C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&-C_{46}&-C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}$

Вышеупомянутое требование может быть удовлетворено только в том случае, если

${\displaystyle C_{14}=C_{15}=C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35}=C_{46}=C_{56}=0~.}$

Теперь рассмотрим отражение относительно плоскости. В таком случае ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}}$ ${\displaystyle 1-3\,}$

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Снова используя условие инвариантности, мы получаем дополнительное требование, что

${\displaystyle C_{16}=C_{26}=C_{36}=C_{45}=0~.}$

Никакой дополнительной информации получить невозможно, поскольку отражение о третьей плоскости симметрии не является независимым от отражений о плоскостях, которые мы уже рассмотрели. Следовательно, матрицу жесткости ортотропного линейно-упругого материала можно записать в виде

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}}$

Обратная матрица обычно записывается как ^[5]

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {21}}}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {31}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {12}}}{E_{\rm {1}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {32}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {13}}}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {23}}}{E_{\rm {2}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {23}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {31}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {12}}}}\\\end{bmatrix}}}$

где модуль Юнга вдоль оси , модуль сдвига в направлении на плоскости, нормаль которой находится в направлении , и коэффициент Пуассона , который соответствует сжатию в направлении , когда растяжение применяется в направлении . ${\displaystyle {E}_{\rm {i}}\,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G_{\rm {ij}}\,}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \nu _{\rm {ij}}\,}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

Границы модулей ортотропных упругих материалов

Зависимость деформации от напряжения для ортотропных линейно-упругих материалов можно записать в обозначениях Фойгта как

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\underline {\underline {\mathsf {S}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}}$

где матрица соответствия определяется выражением ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&0&0&0\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&0&0&0\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&0&0&0\\0&0&0&S_{44}&0&0\\0&0&0&0&S_{55}&0\\0&0&0&0&0&S_{66}\end{bmatrix}}}$

Матрица податливости симметрична и должна быть положительно определенной , чтобы плотность энергии деформации была положительной. Из критерия Сильвестра это означает , что все главные миноры матрицы положительны, ^[6] , т.е.

${\displaystyle \Delta _{k}:=\det({\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}})>0}$

где – главная подматрица . _ ${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}>0&\implies \quad S_{11}>0\\\Delta _{2}>0&\implies \quad S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}>0\\\Delta _{3}>0&\implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^{2})S_{33}-S_{11}S_{23}^{2}+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^{2}>0\\\Delta _{4}>0&\implies \quad S_{44}\Delta _{3}>0\implies S_{44}>0\\\Delta _{5}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}\Delta _{3}>0\implies S_{55}>0\\\Delta _{6}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta _{3}>0\implies S_{66}>0\end{aligned}}}$

Можно показать, что из этого набора условий следует, что ^[7]

${\displaystyle S_{11}>0~,~~S_{22}>0~,~~S_{33}>0~,~~S_{44}>0~,~~S_{55}>0~,~~S_{66}>0}$

или

${\displaystyle E_{1}>0,E_{2}>0,E_{3}>0,G_{12}>0,G_{23}>0,G_{13}>0}$

Однако для значений коэффициентов Пуассона нельзя установить аналогичные нижние границы . ^[6] ${\displaystyle \nu _{ij}}$

Смотрите также

• Анизотропия
• Стресс (механика)
• Теория бесконечно малых деформаций
• Теория конечной деформации
• Закон Гука

Рекомендации

1. Geraldes DM et al, 2014, Сравнительное исследование ортотропной и изотропной адаптации костей бедренной кости , Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии, том 30, выпуск 9, страницы 873–889, DOI: 10.1002/cnm.2633, http ://onlinelibrary.wiley.com/wol1/doi/10.1002/cnm.2633/full
2. Милтон, Г.В., 2002, Теория композитов , Издательство Кембриджского университета.
3. Лехницкий, С.Г., 1963, Теория упругости анизотропного упругого тела , Holden-Day Inc.
4. Славински, Массачусетс, 2010, Волны и лучи в упругих средах: 2-е изд. , Всемирный научный. [1]
5. Борези, А.П., Шмидт, Р.Дж. и Сайдботтом, О.М., 1993, Передовая механика материалов , Wiley.
6. Ting, TCT и Chen, T., 2005, Коэффициент Пуассона для анизотропных упругих материалов не может иметь границ, QJ Mech. Прил. Математика, 58(1), стр. 73–82.
7. Тинг, TCT (1996), «Положительная определенность анизотропных упругих констант», Mathematics & Mechanics of Solids , 1 (3): 301–314, doi : 10.1177/108128659600100302, S2CID  122747373.

дальнейшее чтение

• Уравнения моделирования ортотропии из раздела руководства OOFEM Matlib.
• Закон Гука для ортотропных материалов.