Серия Ламберт

Математический термин

Функция , представленная в виде графика Matplotlib , с использованием версии метода раскраски домена ^[1] ${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

В математике ряд Ламберта , названный в честь Иоганна Генриха Ламберта , представляет собой ряд , имеющий вид

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}$

Формально его можно возобновить , расширив знаменатель:

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}$

где коэффициенты нового ряда задаются сверткой Дирихле _n с постоянной функцией 1( n ) = 1:

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}$

Этот ряд может быть обращен с помощью формулы обращения Мёбиуса и является примером преобразования Мёбиуса .

Примеры

Поскольку эта последняя сумма является типичной теоретико-числовой суммой, почти любая естественная мультипликативная функция будет точно суммируема при использовании в ряду Ламберта. Так, например, имеется

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

где – количество положительных делителей числа  n . ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$

Для функций суммы делителей более высокого порядка имеем

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}$

где любое комплексное число и ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

является функцией делителя. В частности, при , ряд Ламберта получается ${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}$

что является (с точностью до множителя ) логарифмической производной обычной производящей функции для номеров разделов ${\displaystyle q}$

${\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}$

Дополнительные ряды Ламберта, связанные с предыдущим тождеством, включают ряды для вариантов функции Мёбиуса, приведенных ниже. ${\displaystyle \mu (n)}$

^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}$

Связанные ряды Ламберта по функции Мебиуса включают следующие тождества для любого простого числа : ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=q-2q^{2}\\\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{1-q^{n}}}&=-\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}.\end{aligned}}}$

Доказательство первого приведенного выше тождества следует из многосекционного (или пополам) тождества этих производящих функций ряда Ламберта в следующей форме, где мы обозначаем производящую функцию ряда Ламберта арифметической функции f : ${\displaystyle L_{f}(q):=q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}-\sum _{n\geq 1}{\frac {2f(n)q^{2n}}{1-q^{2n}}}\\&=L_{f}(q)-2\cdot L_{f}(q^{2}).\end{aligned}}}$

Второе тождество в предыдущих уравнениях следует из того, что коэффициенты суммы левой части имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d|n}\mu (\alpha d)=\sum _{d|{\frac {n}{(n,\alpha )}}}\mu (d)=\varepsilon \left({\frac {n}{(n,\alpha )}}\right)=1\iff n=(n,\alpha )\iff n=\alpha ^{k},\ {\text{ for some }}k\geq 1,\end{aligned}}}$

где функция является мультипликативным тождеством относительно операции свертки Дирихле арифметических функций. ${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$

Для функции Эйлера : ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

Для функции Фон Мангольдта : ${\displaystyle \Lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}}$

Для функции Лиувилля : ${\displaystyle \lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}$

с суммой справа, аналогичной тэта-функции Рамануджана или тэта-функции Якоби . Обратите внимание, что ряды Ламберта, в которых a _n являются тригонометрическими функциями , например a _n = sin(2 n x ), могут быть вычислены с помощью различных комбинаций логарифмических производных тета-функций Якоби . ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ 

Вообще говоря, мы можем расширить предыдущее расширение производящей функции, обозначив характеристическую функцию степеней , для положительных натуральных чисел и определив обобщенную m -лямбда-функцию Лиувилля как арифметическую функцию, удовлетворяющую . Из этого определения ясно следует, что , что, в свою очередь, показывает, что ${\displaystyle \chi _{m}(n)}$ ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle n=k^{m}\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle \chi _{m}(n):=(1\ast \lambda _{m})(n)}$ ${\displaystyle \lambda _{m}(n)}$ ${\displaystyle \lambda _{m}(n)=\sum _{d^{m}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{m}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{m}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\geq 1}q^{n^{m}},\ {\text{ for }}m\geq 2.}$

У нас также есть несколько более обобщенное разложение в ряд Ламберта, порождающее функцию суммы квадратов в виде ^[3] ${\displaystyle r_{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.}$

В общем, если мы запишем ряды Ламберта, над которыми порождаются арифметические функции , то следующие пары функций соответствуют другим известным сверткам, выраженным их производящими функциями рядов Ламберта в виде ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(m)=(f\ast 1)(m)}$

${\displaystyle (f,g)=(\mu ,\varepsilon ),(\varphi ,\operatorname {Id} _{1}),(\lambda ,\chi _{\operatorname {sq} }),(\Lambda ,\log ),(|\mu |,2^{\omega }),(J_{t},\operatorname {Id} _{t}),(d^{3},(d\ast 1)^{2}),}$

где - мультипликативное тождество для сверток Дирихле , - тождественная функция для степеней, - характеристическая функция для квадратов, которая подсчитывает количество различных простых множителей (см. функцию простого омега ), - функция Жордана , и - функция делителя (см. свертки Дирихле ). ${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$ ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \chi _{\operatorname {sq} }}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J_{t}}$ ${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)}$

Традиционное использование буквы q в суммировании является историческим употреблением, относящимся к ее истокам в теории эллиптических кривых и тета-функций, как нома .

Альтернативная форма

Замена одного дает другую общую форму ряда, как ${\displaystyle q=e^{-z}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}$

где

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,}$

как прежде. Примеры рядов Ламберта в этой форме с встречаются в выражениях для дзета-функции Римана для нечетных целых значений; подробности см. в разделе «Дзета-константы» . ${\displaystyle z=2\pi }$

Текущее использование

В литературе мы находим ряды Ламберта , применяемые к самым разным суммам. Например, поскольку это функция полилогарифма , мы можем ссылаться на любую сумму вида ${\displaystyle q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}}$

как ряд Ламберта, предполагая, что параметры соответствующим образом ограничены. Таким образом

${\displaystyle 12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),}$

которое справедливо для всех комплексных q, не принадлежащих единичному кругу, будет считаться тождеством ряда Ламберта. Это тождество прямым образом следует из некоторых тождеств, опубликованных индийским математиком С. Рамануджаном . Очень тщательное исследование творчества Рамануджана можно найти в работах Брюса Берндта .

Теоремы факторизации

Несколько более новая конструкция, опубликованная недавно в 2017–2018 гг., относится к так называемым теоремам факторизации рядов Ламберта вида ^[4]

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1\pm q^{n}}}={\frac {1}{(\mp q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left((s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k))a_{k}\right)q^{n},}$

где - соответствующая сумма или разность ограниченных статистических сумм , которые обозначают количество единиц во всех разбиениях на четное (соответственно нечетное ) количество различных частей. Обозначим обратимую нижнюю треугольную последовательность, первые несколько значений которой показаны в таблице ниже. ${\displaystyle s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k)=[q^{n}](\mp q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1\pm q^{k}}}}$ ${\displaystyle s_{e/o}(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{n,k}:=s_{e}(n,k)-s_{o}(n,k)=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}}$

Другая характерная форма разложений по теореме факторизации в ряды Ламберта дается формулой ^[5]

${\displaystyle L_{f}(q):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}$

где – (бесконечный) символ q-Похгаммера . Обратимые матричные произведения в правой части предыдущего уравнения соответствуют обратным матричным произведениям, нижние треугольные элементы которых заданы через статистическую сумму и функцию Мёбиуса с помощью сумм делителей ${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}=\sum _{d|n}p(d-k)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

В следующей таблице перечислены первые несколько строк соответствующих обратных матриц. ^[6]

Обозначим через последовательность перемежающихся пятиугольных чисел , т. е. так, что теорема о пятиугольных числах разлагается в виде ${\displaystyle G_{j}:={\frac {1}{2}}\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {3j+1}{2}}\right\rceil }$

${\displaystyle (q;q)_{\infty }=\sum _{n\geq 0}(-1)^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }q^{G_{n}}.}$

Тогда для любого ряда Ламберта, порождающего последовательность , мы имеем соответствующее соотношение обращения расширенной выше теоремы о факторизации, заданное формулой ^[7] ${\displaystyle L_{f}(q)}$ ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{d|n}p(d-k)\mu (n/d)\times \sum _{j:k-G_{j}>0}(-1)^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }b(k-G_{j}).}$

Эта работа по теоремам о факторизации рядов Ламберта распространена в ^[8] на более общие разложения вида

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{C(q)}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}(\gamma ){\widetilde {a}}_{k}(\gamma )\right)q^{n},}$

где – любая обратная производящая функция (связанная с разбиением), – любая арифметическая функция , и где модифицированные коэффициенты расширяются на ${\displaystyle C(q)}$ ${\displaystyle \gamma (n)}$

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{d|k}\sum _{r|{\frac {k}{d}}}a_{d}\gamma (r).}$

Соответствующие обратные матрицы в приведенном выше разложении удовлетворяют

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )=\sum _{d|n}[q^{d-k}]{\frac {1}{C(q)}}\gamma \left({\frac {n}{d}}\right),}$

так что, как и в первом варианте факторизационной теоремы Ламберта выше, мы получаем соотношение обращения для коэффициентов правой части вида

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )\times [q^{k}]\left(\sum _{d=1}^{k}{\frac {a_{d}q^{d}}{1-q^{d}}}C(q)\right).}$

Рекуррентные отношения

В этом разделе мы определяем следующие функции для натуральных чисел : ${\displaystyle n,x\geq 1}$

${\displaystyle g_{f}(n):=(f\ast 1)(n),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x):=\sum _{1\leq n\leq x}g_{f}(n).}$

Примем также обозначения из предыдущего раздела, что

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}$

где – бесконечный символ q-Похгаммера . Тогда мы имеем следующие рекуррентные соотношения для включения этих функций и пятиугольных чисел, доказанные в: ^[7] ${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle g_{f}(n+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24n+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}g_{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24x+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}\Sigma _{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{n=0}^{x}\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k).}$

Производные

Производные ряда Ламберта можно получить почленным дифференцированием ряда по . Для почленных производных ряда Ламберта для любого ^{[9] [10]} имеются следующие тождества: ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle s\geq 1}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\frac {(-1)^{s-k}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{r=0}^{s}\left[\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {s-k}{r}}{\frac {(-1)^{s-k-r}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right]q^{(r+1)i},}$

где треугольные коэффициенты в скобках в предыдущих уравнениях обозначают числа Стирлинга первого и второго рода . У нас также есть следующее тождество для извлечения отдельных коэффициентов членов, неявно присутствующих в предыдущих разложениях, заданных в виде

${\displaystyle [q^{n}]\left(\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{mi}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right)=\sum _{\begin{matrix}d|n\\t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \end{matrix}}{\binom {{\frac {n}{d}}-m+k}{k}}a_{d}.}$

Теперь, если мы определим функции для любого по ${\displaystyle A_{t}(n)}$ ${\displaystyle n,t\geq 1}$

${\displaystyle A_{t}(n):=\sum _{\begin{matrix}0\leq k\leq m\leq t\\0\leq r\leq t\end{matrix}}\sum _{d|n}\left[{\begin{matrix}t\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {t-k}{r}}{\binom {{\frac {n}{d}}-1-r+k}{k}}(-1)^{t-k-r}k!d^{m}\cdot a_{d}\cdot \left[t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{r+1}}\right\rfloor \right]_{\delta },}$

где обозначает соглашение Айверсона , то мы имеем коэффициенты для производных ряда Ламберта, заданные формулой ${\displaystyle [\cdot ]_{\delta }}$ ${\displaystyle t^{th}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{t}(n)&=[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)\\&=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(A_{t}\ast \mu )(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).\end{aligned}}}$

Конечно, в результате типичного рассуждения, основанного исключительно на операциях над формальными степенными рядами, мы также получаем, что

${\displaystyle [q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq 1}{\frac {f(i)q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)={\frac {n!}{(n-t)!}}\cdot (f\ast 1)(n).}$

Смотрите также

• Константа Эрдеша – Борвейна
• Арифметическая функция
• Свертка Дирихле

Рекомендации

1. "Программа просмотра блокнотов Jupyter" .
2. См. сообщение на форуме здесь (или статью arXiv : 1112.4911) и раздел выводов arXiv : 1712.00611 Мерки и Шмидта (2018), где описано использование этих двух менее стандартных рядов Ламберта для функции Мебиуса в практических приложениях.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Серия Ламберта». Математический мир . Проверено 22 апреля 2018 г.
4. Мерка, Мирча (13 января 2017 г.). «Теорема факторизации ряда Ламберта». Журнал Рамануджана . 44 (2): 417–435. дои : 10.1007/s11139-016-9856-3. S2CID  125286799.
5. Мерка, М. и Шмидт, доктор медицины (2019). «Генерация специальных арифметических функций с помощью факторизации ряда Ламберта». Вклад в дискретную математику . 14 (1): 31–45. arXiv : 1706.00393 . Бибкод : 2017arXiv170600393M. дои : 10.11575/cdm.v14i1.62425 .
6. "А133732". Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей . Проверено 22 апреля 2018 г.
7. Шмидт, Макси Д. (8 декабря 2017 г.). «Новые рекуррентные соотношения и матричные уравнения для арифметических функций, порожденных рядом Ламберта». Акта Арифметика . 181 (4): 355–367. arXiv : 1701.06257 . Бибкод : 2017arXiv170106257S. дои : 10.4064/aa170217-4-8. S2CID  119130467.
8. М. Мерка и Шмидт, доктор медицины (2017). «Новые пары факторов для факторизации производящих функций ряда Ламберта». arXiv : 1706.02359 [math.CO].
9. Шмидт, Макси Д. (2017). «Комбинаторные суммы и тождества, включающие функции обобщенных делителей с ограниченными делителями». arXiv : 1704.05595 [math.NT].
10. Шмидт, Макси Д. (2017). «Теоремы факторизации для произведений Адамара и производных высших порядков производящих функций рядов Ламберта». arXiv : 1712.00608 [math.NT].

• Берри, Майкл В. (2010). Функции теории чисел. ПРЕССА КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. стр. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5.
• Ламберт, Престон А. (1904). «Разложения алгебраических функций в особых точках». Учеб. Являюсь. Филос. Соц . 43 (176): 164–172. JSTOR  983503.
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МР  0434929, Збл  0335.10001
• «Ряд Ламберта», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Ламберта». Математический мир .
• Шмидт, Макси Дион (06 апреля 2020 г.). «Каталог интересных и полезных тождеств из серии Ламберта». arXiv : 2004.02976 [math.NT].