свертка Дирихле

Математическая операция над арифметическими функциями

Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле

В математике свертка Дирихле (или свертка делителей ) — это бинарная операция , определённая для арифметических функций ; она важна в теории чисел . Она была разработана Петером Густавом Лежёном Дирихле .

Определение

Если — две арифметические функции от положительных целых чисел до комплексных чисел , то свертка Дирихле f ∗ g — это новая арифметическая функция, определяемая формулой: ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)}$

где сумма распространяется на все положительные делители d числа  n или, что эквивалентно, на все различные пары ( a , b ) положительных целых чисел, произведение которых равно n .

Это произведение естественным образом возникает при изучении рядов Дирихле, таких как дзета-функция Римана . Оно описывает умножение двух рядов Дирихле в терминах их коэффициентов:

${\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}$

Характеристики

Множество арифметических функций образует коммутативное кольцо ,Кольцо Дирихле , припоточечном сложении, где f + g определяется как( f + g )( n ) = f ( n ) + g ( n ), и сверткой Дирихле. Мультипликативное тождество — этоединичная функция ε,определяемая как ε ( n ) = 1,если n = 1, и ε ( n ) = 0,если n > 1. Единицами( обратимыми элементами)этого кольца являются арифметические функцииfс f (1) ≠ 0.

В частности, ^[1] свертка Дирихле ассоциативна ,

${\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}$

распределительный над сложением

${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}$,

коммутативный ,

${\displaystyle f*g=g*f}$,

и имеет элемент идентичности,

${\displaystyle f*\varepsilon }$= . ${\displaystyle \varepsilon *f=f}$

Более того, для каждого , имеющего , существует арифметическая функция с , называемая ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)\neq 0}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon }$Дирихле, обратный. ${\displaystyle f}$

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна, и каждая не постоянно равная нулю мультипликативная функция имеет обратную Дирихле, которая также мультипликативна. Другими словами, мультипликативные функции образуют подгруппу группы обратимых элементов кольца Дирихле. Однако следует помнить, что сумма двух мультипликативных функций не является мультипликативной (поскольку ), поэтому подмножество мультипликативных функций не является подкольцом кольца Дирихле. В статье о мультипликативных функциях перечислены несколько соотношений свертки среди важных мультипликативных функций. ${\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}$

Другая операция над арифметическими функциями — поточечное умножение: fg определяется как ( fg )( n ) = f ( n ) g ( n ) . Для полностью мультипликативной функции поточечное умножение на распределяется по свертке Дирихле: . ^[2] Свертка двух полностью мультипликативных функций является мультипликативной, но не обязательно полностью мультипликативной. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}$

Свойства и примеры

В этих формулах мы используем следующие арифметические функции :

• ${\displaystyle \varepsilon }$является мультипликативным тождеством: , в противном случае 0 ( ). ${\displaystyle \varepsilon (1)=1}$ ${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }$
• ${\displaystyle 1}$— постоянная функция со значением 1: для всех . Имейте в виду, что это не тождество. (Некоторые авторы обозначают это как , поскольку связанный ряд Дирихле является дзета-функцией Римана .) ${\displaystyle 1(n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle 1_{C}}$for — это функция-индикатор набора : тогда и только тогда , иначе 0. ${\displaystyle C\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1_{C}(n)=1}$ ${\displaystyle n\in C}$
• ${\displaystyle {\text{Id}}}$— это функция тождества со значением n : . ${\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}$
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}}$— это функция степени k : . ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}$

Имеют место следующие соотношения:

• ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$, обратная функция Дирихле постоянной функции — это функция Мёбиуса (см. доказательство ). Следовательно: ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle g=f*1}$ тогда и только тогда, когда , формула обращения Мёбиуса ${\displaystyle f=g*\mu }$
• ${\displaystyle \sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1}$, функция суммы делителей в степени k σ _k
• ${\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}$, функция суммы делителей σ = σ ₁
• ${\displaystyle \tau =1*1}$, функция числа делителей τ ( n ) = σ ₀
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }$, путем обращения Мёбиуса формул для σ _k , σ и τ
• ${\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle 1=\tau *\mu }$
• ${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$, доказано с помощью функции Эйлера
• ${\displaystyle \phi ={\text{Id}}*\mu }$, по методу инверсии Мёбиуса
• ${\displaystyle \sigma =\phi *\tau }$  , от свертки 1 с обеих сторон ${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$
• ${\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }$  где λ — функция Лиувилля
• ${\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}$ где Sq = {1, 4, 9, ...} — множество квадратов
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }$
• ${\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}$
• ${\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}$, функция тотиента Жордана
• ${\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}$
• ${\displaystyle \Lambda *1=\log }$, где функция фон Мангольдта ${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\omega },}$где — простая омега-функция, подсчитывающая различные простые множители числа n ${\displaystyle \omega (n)}$
• ${\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}$, характеристическая функция простых степеней.
• ${\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}$где — характеристическая функция простых чисел. ${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}$

Последнее тождество показывает, что функция подсчета простых чисел задается суммирующей функцией

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}$

где — функция Мертенса , а — функция подсчета отдельных простых множителей сверху. Это разложение следует из тождества для сумм по сверткам Дирихле, приведенного на странице тождеств сумм делителей (стандартный прием для этих сумм). ^[3] ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle \omega }$

Дирихле обратный

Примеры

Для данной арифметической функции ее обратная функция Дирихле может быть вычислена рекурсивно: значение выражается через для . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{-1}}$ ${\displaystyle g(n)}$ ${\displaystyle g(m)}$ ${\displaystyle m<n}$

Для : ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle (f*g)(1)=f(1)g(1)=\varepsilon (1)=1}$, так

${\displaystyle g(1)=1/f(1)}$. Это означает, что не имеет обратного Дирихле, если . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=0}$

Для : ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle (f*g)(2)=f(1)g(2)+f(2)g(1)=\varepsilon (2)=0}$,

${\displaystyle g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)}$,

Для : ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle (f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=\varepsilon (3)=0}$,

${\displaystyle g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)}$,

Для : ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle (f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=\varepsilon (4)=0}$,

${\displaystyle g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1)}$,

и в целом для , ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle g(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$

Характеристики

Справедливы следующие свойства обратного уравнения Дирихле: ^[4]

• Функция f имеет обратную функцию Дирихле тогда и только тогда, когда f (1) ≠ 0 .
• Функция Дирихле, обратная мультипликативной функции , снова является мультипликативной.
• Обратная функция Дирихле свертки Дирихле — это свертка обратных функций каждой функции: . ${\displaystyle (f\ast g)^{-1}=f^{-1}\ast g^{-1}}$
• Мультипликативная функция f является полностью мультипликативной тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle f^{-1}(n)=\mu (n)f(n)}$
• Если f полностью мультипликативна , то когда и где обозначает поточечное умножение функций. ${\displaystyle (f\cdot g)^{-1}=f\cdot g^{-1}}$ ${\displaystyle g(1)\neq 0}$ ${\displaystyle \cdot }$

Другие формулы

Точная, нерекурсивная формула для обратной функции Дирихле любой арифметической функции f приведена в тождествах сумм делителей . Более теоретико-раздельное выражение для обратной функции Дирихле f приведено как

${\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{\Omega (n)}\left\{\sum _{{\lambda _{1}+2\lambda _{2}+\cdots +k\lambda _{k}=n} \atop {\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}|n}}{\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})!}{1!2!\cdots k!}}(-1)^{k}f(\lambda _{1})f(\lambda _{2})^{2}\cdots f(\lambda _{k})^{k}\right\}.}$

Следующая формула обеспечивает компактный способ выражения обратной функции Дирихле обратимой арифметической функции f  :

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(f(1)\varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}}$

где выражение обозначает арифметическую функцию, свёрнутую с собой k раз. Обратите внимание, что для фиксированного положительного целого числа , если то , это так, потому что и каждый способ выражения n как произведения k положительных целых чисел должен включать 1, поэтому ряд в правой части сходится для каждого фиксированного положительного целого числа n. ${\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}}$ ${\displaystyle f(1)\varepsilon -f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k>\Omega (n)}$ ${\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}(n)=0}$ ${\displaystyle f(1)\varepsilon (1)-f(1)=0}$

ряд Дирихле

Если f — арифметическая функция, то производящая функция ряда Дирихле определяется как

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

для тех комплексных аргументов s , для которых ряд сходится (если таковые имеются). Умножение рядов Дирихле совместимо со сверткой Дирихле в следующем смысле:

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$

для всех s, для которых оба ряда левой части сходятся, один из них по крайней мере сходится абсолютно (обратите внимание, что простая сходимость обоих рядов левой части не подразумевает сходимости правой части!). Это похоже на теорему о свертке , если рассматривать ряд Дирихле как преобразование Фурье .

Связанные концепции

Ограничение делителей в свертке до унитарных , биунитарных или бесконечных делителей определяет аналогичные коммутативные операции, которые имеют много общих черт со сверткой Дирихле (существование инверсии Мёбиуса, сохранение мультипликативности, определения тотиентов, формулы произведения типа Эйлера по связанным простым числам и т. д.).

Свертка Дирихле является частным случаем умножения свертки для алгебры инцидентности частично упорядоченного множества , в данном случае частично упорядоченного множества положительных целых чисел, упорядоченных по делимости.

Метод гиперболы Дирихле вычисляет сумму свертки в терминах ее функций и их функций суммирования.

Смотрите также

• Арифметическая функция
• Тождества суммы делителей
• Формула обращения Мёбиуса

Ссылки

1. Доказательства см. в Чане, гл. 2.
2. Доказательство см. в статье Полностью мультипликативная функция#Доказательство распределительного свойства .
3. Шмидт, Макси. Введение Апостола в аналитическую теорию чисел .Эта идентичность — нечто особенное, что я называю «сухариками». Она следует из нескольких глав упражнений в классической книге Апостола.
4. Снова см. Апостол, главу 2, и упражнения в конце главы.
5. См. Апостол, глава 2.

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Бакалаврские тексты по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Чан, Хэн Хуат (2009). Аналитическая теория чисел для студентов бакалавриата . Монографии по теории чисел. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4271-36-3.
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Т. 97. Кембридж: Cambridge Univ. Press. С. 38. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Коэн, Экфорд (1959). «Класс систем вычетов (mod r) и связанных с ними арифметических функций. I. Обобщение инверсии Мёбиуса». Pacific J. Math . Т. 9, № 1. С. 13–23. MR  0109806.
• Коэн, Экфорд (1960). «Арифметические функции, связанные с унитарными делителями целого числа». Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. doi :10.1007/BF01180473. MR  0112861.
• Коэн, Экфорд (1960). «Число унитарных делителей целого числа». American Mathematical Monthly . Т. 67, № 9. С. 879–880. MR  0122790.
• Коэн, Грэм Л. (1990). «О бесконечных делителях целых чисел». Math. Comp . 54 (189): 395–411. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR  0993927.
• Коэн, Грэм Л. (1993). «Арифметические функции, связанные с бесконечными делителями целого числа». Int. J. Math. Math. Sci . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• Хаукканен, Пентти (2000). «Выражения для обратных функций Дирихле для арифметических функций». Заметки по теории чисел и дискретной математике . 6 (4): 118–124.
• Шандор, Йожеф; Берге, Антал (2003). «Функция Мёбиуса: обобщения и расширения». Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) . 6 (2): 77–128. MR  1962765.
• Финч, Стивен (2004). "Унитаризм и инфинитаризм" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2015-02-22.

Внешние ссылки

• «Свертка Дирихле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]