Основной пакет

Пучок волокон, волокна которого являются групповыми торсорами

В математике главное расслоение [ ^{1] [2] [3] [4]} — это математический объект, который формализует некоторые существенные черты декартова произведения пространства с группой . Так же, как и в случае с декартовым произведением, главное расслоение снабжено ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

1. Действие на , аналогичное для пространства произведений . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x,g)h=(x,gh)}$
2. Проекция на . Для пространства произведений это просто проекция на первый фактор, . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,g)\mapsto x}$

Если это не пространство произведений , то у главного расслоения отсутствует предпочтительный выбор сечения тождества; у него нет предпочтительного аналога . Аналогично, в общем случае не существует проекции на , обобщающей проекцию на второй фактор, которая существует для декартова произведения. Они также могут иметь сложную топологию , которая не позволяет реализовать их как пространство произведений, даже если делается ряд произвольных выборов, чтобы попытаться определить такую ​​структуру, определяя ее на меньших частях пространства. ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,e)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\times G\to G}$

Распространенным примером главного расслоения является расслоение фрейма векторного расслоения , которое состоит из всех упорядоченных базисов векторного пространства, прикрепленных к каждой точке. Группа в этом случае является общей линейной группой , которая действует справа обычным образом : путем изменения базиса . Поскольку нет естественного способа выбрать упорядоченный базис векторного пространства, расслоение фрейма не имеет канонического выбора тождественного поперечного сечения. ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G,}$

Главные расслоения имеют важные приложения в топологии и дифференциальной геометрии и математической теории калибровки . Они также нашли применение в физике , где они образуют часть фундаментальной структуры физических теорий калибровки .

Формальное определение

Главное -расслоение, где обозначает любую топологическую группу , является расслоением вместе с непрерывным правым действием таким, что сохраняет слои (т.е. если , то для всех ) и действует свободно и транзитивно (то есть каждое волокно является G-торсором ) на них таким образом, что для каждого и , отображение, отправляющее в , является гомеоморфизмом. В частности, каждое волокно расслоения гомеоморфно самой группе . Часто требуется, чтобы базовое пространство было хаусдорфовым и, возможно, паракомпактным . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle P\times G\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle yg\in P_{x}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle G\to P_{x}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle yg}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Поскольку групповое действие сохраняет слои и действует транзитивно, то следует, что орбиты -действия являются именно этими слоями, а пространство орбит гомеоморфно базовому пространству . Поскольку действие свободно и транзитивно, слои имеют структуру G-торсоров. -Торсор — это пространство, которое гомеоморфно , но не имеет групповой структуры, поскольку нет предпочтительного выбора единичного элемента . ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Эквивалентное определение главного -расслоения - это -расслоение с волокном , где структурная группа действует на волокно левым умножением. Поскольку правое умножение на на волокне коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на на . Тогда волокна становятся правыми -торсорами для этого действия. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$

Определения выше даны для произвольных топологических пространств. Можно также определить главные -расслоения в категории гладких многообразий . Здесь требуется, чтобы было гладким отображением между гладкими многообразиями, требуется, чтобы было группой Ли , и соответствующее действие на должно быть гладким. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

Примеры

Тривиальный пучок и разделы

Над открытым шаром или , с индуцированными координатами , любое главное -расслоение изоморфно тривиальному расслоению ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

и гладкое сечение эквивалентно задается (гладкой) функцией , поскольку ${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$ ${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

для некоторой гладкой функции. Например, если , группа Ли унитарных матриц , то сечение можно построить, рассматривая четыре действительные функции ${\displaystyle G=U(2)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

и применяя их к параметризации

$${\displaystyle {\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$Эта же процедура справедлива, если взять параметризацию набора матриц, определяющих группу Ли , и рассмотреть набор функций из фрагмента базового пространства и вставить их в параметризацию. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другие примеры

Нетривиальное главное расслоение Z /2 Z над окружностью. Не существует четко определенного способа определить, какая точка соответствует +1 или -1 в каждом слое. Это расслоение нетривиально, поскольку не существует глобально определенного сечения проекции π .

• Прототипическим примером гладкого главного расслоения является расслоение фреймов гладкого многообразия , часто обозначаемое или . Здесь волокно над точкой — это множество всех фреймов (т.е. упорядоченных базисов) для касательного пространства . Общая линейная группа действует свободно и транзитивно на этих фреймах. Эти волокна можно склеить естественным образом, чтобы получить главное расслоение над . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle GL(M)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• Вариации приведенного выше примера включают ортонормированное расслоение рамок риманова многообразия . Здесь рамы должны быть ортонормальными относительно метрики . Структурная группа — это ортогональная группа . Пример также работает для расслоений, отличных от касательного расслоения; если — любое векторное расслоение ранга над , то расслоение рамок является главным -расслоением, иногда обозначаемым . ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$
• Нормальное (регулярное) накрывающее пространство — это главное расслоение, в котором структурная группа ${\displaystyle p:C\to X}$

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

действует на слои через действие монодромии . В частности, универсальное накрытие является главным расслоением над со структурной группой (поскольку универсальное накрытие односвязно и, таким образом , тривиально). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(C)}$

• Пусть будет группой Ли и пусть будет замкнутой подгруппой (не обязательно нормальной ). Тогда является главным -расслоением над (левым) смежным пространством . Здесь действие на - это просто правое умножение. Слои - это левые смежные классы (в этом случае есть выделенное волокно, содержащее единицу, которое естественно изоморфно ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$
• Рассмотрим проекцию, заданную . Это главное -расслоение является ассоциированным расслоением ленты Мёбиуса . Помимо тривиального расслоения, это единственное главное -расслоение над . ${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Проективные пространства предоставляют несколько более интересных примеров главных расслоений. Напомним, что - сфера является двукратным накрывающим пространством вещественного проективного пространства . Естественное действие на придает ей структуру главного -расслоения над . Аналогично, является главным -расслоением над комплексным проективным пространством и является главным -расслоением над кватернионным проективным пространством . Тогда у нас есть ряд главных расслоений для каждого положительного : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle Sp(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Здесь обозначает единичную сферу в (оснащенную евклидовой метрикой). Для всех этих примеров случаи дают так называемые расслоения Хопфа . ${\displaystyle S(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=1}$

Основные свойства

Тривиализации и поперечные сечения

Один из самых важных вопросов относительно любого расслоения волокон заключается в том, является ли оно тривиальным , т.е. изоморфным произведению расслоений. Для главных расслоений существует удобная характеристика тривиальности:

Предложение . Главное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно допускает глобальное сечение .

В общем случае это не относится к другим расслоениям волокон. Например, векторные расслоения всегда имеют нулевое сечение, независимо от того, являются ли они тривиальными или нет, а сферические расслоения могут допускать множество глобальных сечений, не будучи тривиальными.

Тот же факт применим к локальным тривиализациям главных расслоений. Пусть π  : P → X — главное G -расслоение. Открытое множество U в X допускает локальную тривиализацию тогда и только тогда, когда существует локальное сечение на U . При наличии локальной тривиализации

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

можно определить связанный локальный раздел

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

где e — единица в G. Наоборот, для заданного сечения s можно определить тривиализацию Φ следующим образом:

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

Простая транзитивность действия G на слоях P гарантирует, что это отображение является биекцией , оно также является гомеоморфизмом . Локальные тривиализации, определяемые локальными сечениями, являются G - эквивариантными в следующем смысле. Если мы запишем

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

в форме

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

затем карта

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

удовлетворяет

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

Эквивариантные тривиализации, следовательно, сохраняют структуру G -торсора волокон. В терминах ассоциированного локального сечения s отображение φ задается как

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

Локальная версия теоремы о поперечном сечении утверждает, что эквивариантные локальные тривиализации главного расслоения находятся во взаимно-однозначном соответствии с локальными сечениями.

При наличии эквивариантной локальной тривиализации ({ U _i }, {Φ _i }) P мы имеем локальные сечения s _i на каждом U _i . На перекрытиях они должны быть связаны действием структурной группы G . Фактически , связь обеспечивается функциями перехода

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

Склеивая локальные тривиализации вместе с помощью этих функций перехода, можно восстановить исходное главное расслоение. Это пример теоремы о построении расслоения волокон . Для любого x ∈ U _i ∩ U _j имеем

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

Характеристика гладких главных расслоений

Если является гладким главным -расслоением, то действует свободно и правильно на так, что пространство орбит диффеоморфно базовому пространству . Оказывается, эти свойства полностью характеризуют гладкие главные расслоения. То есть, если является гладким многообразием, группой Ли и гладким, свободным и правильным правым действием , то ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$

• ${\displaystyle P/G}$представляет собой гладкое многообразие,
• естественная проекция - плавное погружение , и ${\displaystyle \pi :P\to P/G}$
• ${\displaystyle P}$является гладким главным -расслоением над . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$

Использование понятия

Сокращение структурной группы

Если задана подгруппа H группы G, можно рассмотреть расслоение, слои которого гомеоморфны пространству смежных классов . Если новое расслоение допускает глобальное сечение, то говорят, что сечение является редукцией структурной группы от до . Причина такого названия в том, что (послойный) обратный образ значений этого сечения образует подрасслоение , которое является главным -расслоением. Если - тождество, то сечение само по себе является редукцией структурной группы к тождеству. Редукций структурной группы в общем случае не существует. ${\displaystyle P/H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

Многие топологические вопросы о структуре многообразия или о структуре расслоений над ним, которые связаны с главным -расслоением, можно перефразировать как вопросы о допустимости редукции структурной группы (от к ). Например: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Рамочное расслоение ленты Мёбиуса является нетривиальным главным -расслоением над окружностью. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

• -мерное вещественное многообразие допускает почти комплексную структуру, если расслоение реперов на многообразии, слои которого , можно свести к группе . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$
• -мерное вещественное многообразие допускает -плоскостное поле, если расслоение фрейма можно свести к структурной группе . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его расслоение реперов можно свести к специальной ортогональной группе , . ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Многообразие имеет спиновую структуру тогда и только тогда, когда его расслоение фреймов может быть далее сведено к группе Spin , которая отображается в как двойное покрытие. ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

Также обратите внимание: -мерное многообразие допускает векторные поля, которые линейно независимы в каждой точке, тогда и только тогда, когда его расслоение фрейма допускает глобальное сечение. В этом случае многообразие называется параллелизуемым . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ассоциированные векторные пучки и рамки

Если является главным -расслоением и является линейным представлением , то можно построить векторное расслоение со слоем , как частное произведения × по диагональному действию . Это особый случай конструкции ассоциированного расслоения , и называется ассоциированным векторным расслоением к . Если представление на является точным , так что является подгруппой общей линейной группы GL( ), то является -расслоением и обеспечивает редукцию структурной группы расслоения фреймов из к . В этом смысле главные расслоения обеспечивают абстрактную формулировку теории расслоений фреймов. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=P\times _{G}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle G}$

Классификация основных пучков

Любая топологическая группа G допускает классифицирующее пространство BG : фактор по действию G некоторого слабо стягиваемого пространства, например , топологического пространства с исчезающими гомотопическими группами . Классифицирующее пространство обладает тем свойством, что любое главное расслоение G над паракомпактным многообразием B изоморфно обратному прообразу главного расслоения EG → BG . ^[5] На самом деле, верно большее, поскольку множество классов изоморфизма главных расслоений G над базой B отождествляется с множеством гомотопических классов отображений B → BG .

Смотрите также

• Связанный пакет
• Векторный пакет
• G-структура
• Сокращение структурной группы
• Калибровочная теория
• Подключение (основной пучок)
• G-волокнистость

Ссылки

1. Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Princeton University Press . ISBN 0-691-00548-6.страница 35
2. Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.страница 42
3. Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-94732-9.страница 37
4. Лоусон, Х. Блейн ; Михельсон, Мари-Луиза (1989). Геометрия спина . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.страница 370
5. Сташефф, Джеймс Д. (1971), " H -пространства и классифицирующие пространства: основы и недавние разработки", Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 247–272, Теорема 2

Источники

• Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы . Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1.
• Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ ((4-е изд.) ред.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 3-540-25907-4.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.