Остаток (комплексный анализ)

Атрибут математической функции

В математике , а точнее в комплексном анализе , вычет — это комплексное число, пропорциональное контурному интегралу мероморфной функции вдоль пути, охватывающего одну из ее особенностей . (В более общем смысле вычеты можно вычислить для любой функции , которая является голоморфной, за исключением дискретных точек { ak } _k , даже если некоторые из них являются существенными особенностями .) Вычеты можно вычислить довольно легко, и, будучи известными, они позволяют определить общие контурные интегралы с помощью теоремы _о вычетах . ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \smallsetminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }$

Определение

Вычет мероморфной функции в изолированной особой точке , часто обозначаемый , , или , является единственным значением , имеющим аналитическую первообразную в проколотом диске . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$ ${\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle \mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ ${\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }$

Альтернативно, остатки можно вычислить путем нахождения разложений в ряд Лорана , и можно определить остаток как коэффициент a ₋₁ ряда Лорана.

Эта концепция может быть использована для предоставления значений контурной интеграции определенных контурных интегральных задач, рассматриваемых в теореме о вычетах . Согласно теореме о вычетах , для мероморфной функции вычет в точке задается как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.}$

где — положительно ориентированная простая замкнутая кривая вокруг и не включающая никаких других особенностей на или внутри кривой. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a_{k}}$

Определение вычета можно обобщить на произвольные римановы поверхности . Предположим, что есть 1-форма на римановой поверхности. Пусть будет мероморфна в некоторой точке , так что в локальных координатах мы можем записать как . Тогда вычет в определяется как вычет в точке, соответствующей . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f(z)\;dz}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle x}$

Контурная интеграция

Контурный интеграл монома

Вычисление остатка одночлена

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}$

делает большинство вычислений остатков простыми. Поскольку вычисления интегралов по траектории гомотопически инвариантны, мы допустим, что будет окружностью с радиусом, идущим против часовой стрелки. Затем, используя изменение координат, мы находим, что ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z\to e^{i\theta }}$

${\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }$

следовательно, наш интеграл теперь читается как

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Таким образом, остаток равен 1, если число целое , и 0 в противном случае. ${\displaystyle z^{k}}$ ${\displaystyle k=-1}$

Обобщение до ряда Лорана

Если функция выражена в виде ряда Лорана вокруг c следующим образом: Тогда остаток в точке c вычисляется как: используя результаты контурного интеграла монома для контурного интеграла против часовой стрелки вокруг точки c. Следовательно, если представление функции в виде ряда Лорана вокруг c существует, то ее остаток вокруг c известен по коэффициенту члена . $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Применение в теореме о вычетах

Для мероморфной функции с конечным набором особенностей внутри положительно ориентированной простой замкнутой кривой , которая не проходит ни через одну особенность, значение контурного интеграла определяется согласно теореме о вычетах следующим образом: где , число оборотов, равно , если находится внутри , а если нет, то упрощая до: где — все изолированные особенности внутри контура . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$ ${\displaystyle \operatorname {I} (C,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$

Расчет остатков

Предположим, что задан проколотый диск D = { z  : 0 < | z − c | < R } в комплексной плоскости, а f — голоморфная функция , определенная (по крайней мере) на D . Вычет Res( f , c ) функции f в точке c является коэффициентом a ₋₁ функции ( z − c ) ⁻¹ в разложении ряда Лорана функции f вокруг точки c . Существуют различные методы вычисления этого значения, и выбор метода зависит от рассматриваемой функции и характера сингулярности.

Согласно теореме о вычетах имеем:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

где γ описывает окружность вокруг c против часовой стрелки и не проходит через другие сингулярности или не содержит их внутри. Мы можем выбрать путь γ как окружность радиуса ε вокруг c. Поскольку ε может быть сколь угодно малым, его можно сделать содержащим только сингулярность c из-за природы изолированных сингулярностей. Это может быть использовано для вычисления в случаях, когда интеграл может быть вычислен напрямую, но обычно вычеты используются для упрощения вычисления интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функцию f можно продолжить до голоморфной функции на всем круге , то Res( f ,  c ) = 0. Обратное утверждение, как правило, неверно. ${\displaystyle |y-c|<R}$

Простые столбы

Если c — простой полюс f , то остаток f определяется по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Если этот предел не существует, то f вместо этого имеет существенную особенность в c . Если предел равен 0, то f либо аналитична в c , либо имеет там устранимую особенность. Если предел равен бесконечности, то порядок полюса выше 1.

Возможно, что функция f может быть выражена как частное двух функций , где g и h являются голоморфными функциями в окрестности c , причем h ( c ) = 0 и  h' ( c ) ≠ 0. В таком случае можно использовать правило Лопиталя для упрощения приведенной выше формулы до: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Предельная формула для полюсов высшего порядка

В более общем случае, если c — полюс порядка n , то вычет f относительно z = c можно найти по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Эта формула может быть очень полезна при определении остатков для полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка вычисления могут стать неуправляемыми, и разложение в ряд обычно проще. Для существенных сингулярностей такой простой формулы не существует, и остатки обычно должны быть взяты непосредственно из разложений в ряд.

Остаток на бесконечности

В общем случае остаток на бесконечности определяется как:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Если выполняется следующее условие:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

тогда остаток на бесконечности можно вычислить по следующей формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

Если вместо этого

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

тогда остаток на бесконечности равен

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Для функций, мероморфных на всей комплексной плоскости с конечным числом особенностей, сумма вычетов в (обязательно) изолированных особенностях плюс вычет на бесконечности равна нулю, что дает:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}$

Методы серий

Если части или всю функцию можно разложить в ряд Тейлора или ряд Лорана , что может быть возможным, если части или всю функцию можно разложить в стандартный ряд, то вычисление остатка значительно проще, чем другими методами. Остаток функции просто задается коэффициентом в разложении функции в ряд Лорана . ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Примеры

Остаток от расширения ряда

Пример 1

В качестве примера рассмотрим контурный интеграл

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

где C — некоторая простая замкнутая кривая около 0.

Давайте оценим этот интеграл, используя стандартный результат сходимости об интегрировании с помощью ряда. Мы можем подставить ряд Тейлора в подынтегральное выражение. Тогда интеграл становится ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

Привнесем в ряд множитель 1/ z ^5. Тогда контурный интеграл ряда запишется как

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

Поскольку ряд сходится равномерно на носителе пути интегрирования, нам разрешено поменять местами интегрирование и суммирование. Затем ряд интегралов по путям схлопывается до гораздо более простой формы из-за предыдущего вычисления. Так что теперь интеграл вокруг C каждого другого члена, не входящего в форму cz ⁻¹ , равен нулю, и интеграл сводится к

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

Значение 1/4! является остатком e z / z ⁵ при z = 0 ^и обозначается

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

Пример 2

В качестве второго примера рассмотрим вычисление вычетов в сингулярностях функции , которые могут быть использованы для вычисления определенных контурных интегралов. Эта функция, по-видимому, имеет сингулярность при z = 0, но если разложить знаменатель на множители и таким образом записать функцию так, как очевидно, что сингулярность при z = 0 является устранимой сингулярностью , и тогда вычет при z = 0, следовательно, равен 0. Единственная другая сингулярность находится при z = 1. Вспомним выражение для ряда Тейлора для функции g ( z ) относительно z = a : Итак, для g ( z ) = sin  z и a = 1 мы имеем и для g ( z ) = 1/ z и a = 1 мы имеем Умножение этих двух рядов и введение 1/( z  − 1) дает нам Таким образом, вычет f ( z ) при z = 1 равен sin 1. $${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$$ $${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$$ $${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }$$ $${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$$ $${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$

Пример 3

Следующий пример показывает, что при вычислении остатка путем разложения в ряд большую роль играет теорема обращения Лагранжа . Пусть будет целой функцией , и пусть с положительным радиусом сходимости, и с . Так что имеет локальную обратную в 0, и является мероморфной в 0. Тогда мы имеем: Действительно, поскольку первый ряд сходится равномерно на любой малой окружности вокруг 0. Используя теорему обращения Лагранжа и , мы получаем приведенное выше выражение. Например, если и также , то и Первый член вносит 1 в остаток, а второй член вносит 2, поскольку он асимптотически равен . $${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$$ $${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$$ ${\textstyle v_{1}\neq 0}$ ${\textstyle v(z)}$ ${\textstyle V(z)}$ ${\textstyle u(1/V(z))}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$$ ${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$ ${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$ $${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$$ $${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$$ ${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$

Обратите внимание, что при соответствующих более сильных симметричных предположениях относительно и также следует, что где является локальной инверсией в точке 0. ${\textstyle u(z)}$ ${\textstyle v(z)}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$ ${\textstyle U(z)}$ ${\textstyle u(z)}$

Смотрите также

• Теорема о вычетах связывает контурный интеграл вокруг некоторых полюсов функции с суммой их вычетов.
• Интегральная формула Коши
• Интегральная теорема Коши
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Методы контурной интеграции
• Теорема Мореры
• Простейшие дроби в комплексном анализе

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . McGraw Hill.
• Марсден, Джерролд Э.; Хоффман, Майкл Дж. (1998). Базовый комплексный анализ (3-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

Внешние ссылки

• «Вычет аналитической функции», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Комплексный остаток». MathWorld .