Относительный интерьер

Обобщение топологического интерьера

В математике относительная внутренность множества является уточнением концепции внутренней части , которая часто более полезна при работе с низкоразмерными множествами, помещенными в многомерные пространства .

Формально, относительная внутренность множества (обозначаемая ) определяется как его внутренность внутри аффинной оболочки [ ^1] Другими словами, где — аффинная оболочка , а — шар радиуса с центром в . Для построения шара может быть использована любая метрика; все метрики определяют то же множество, что и относительная внутренность. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {relint} (S)}$ ${\displaystyle S.}$ $${\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ there exists }}\epsilon >0{\text{ such that }}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},}$$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$

Множество относительно открыто , если оно равно своей относительной внутренней части. Обратите внимание, что когда является замкнутым подпространством полного векторного пространства (всегда, когда полное векторное пространство конечномерно), то быть относительно замкнутым эквивалентно быть замкнутым. ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$

Для любого выпуклого множества относительная внутренность эквивалентно определяется как ^{[2] [3],} где означает, что существует некоторое такое, что . ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ for all }}y\in C,{\text{ there exists some }}\lambda >1{\text{ such that }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ for all }}y\neq x\in C,{\text{ there exists some }}z\in C{\text{ such that }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x\in (y,z)}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ ${\displaystyle x=\lambda z+(1-\lambda )y}$

Сравнение с интерьером

• Внутренняя часть точки в хотя бы одномерном окружающем пространстве пуста, но ее относительная внутренняя часть — это сама точка.

• Внутренняя часть отрезка прямой в по крайней мере двумерном окружающем пространстве пуста, но ее относительная внутренняя часть представляет собой отрезок прямой без его конечных точек.

• Внутренняя часть диска в окружающем пространстве, по крайней мере, трехмерном, пуста, но его относительная внутренняя часть представляет собой тот же диск, но без круглого края.

Характеристики

Теорема  —  Если непусто и выпукло, то его относительная внутренность является объединением вложенной последовательности непустых компактных выпуклых подмножеств . ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {relint} (A)}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots \subset \mathrm {relint} (A)}$

Доказательство

Поскольку мы всегда можем спуститься до аффинной области , WLOG, относительная внутренняя область имеет размерность . Теперь пусть . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{j}\equiv [-j,j]^{n}\cap \left\{x\in {\text{int}}(K):\mathrm {dist} (x,({\text{int}}(K))^{c})\geq {\frac {1}{j}}\right\}}$

Теорема ^[4]  —  Здесь «+» обозначает сумму Минковского .

• ${\displaystyle \mathrm {relint} (S_{1})+\mathrm {relint} (S_{2})\subset \mathrm {relint} (S_{1}+S_{2})}$для общих множеств. Они равны, если оба также выпуклы. ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

• Если — выпуклые и относительно открытые множества, то — выпуклое и относительно открытое. ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}+S_{2}}$

Теорема ^[5]  —  Здесь обозначает положительный конус . То есть . ${\displaystyle \mathrm {Cone} }$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (S)=\{rx:x\in S,r>0\}}$

• ${\displaystyle \mathrm {Cone} (\mathrm {relint} (S))\subset \mathrm {relint} (\mathrm {Cone} (S))}$. Они равны, если выпукло. ${\displaystyle S}$

Смотрите также

• Интерьер (топология)  – наибольшее открытое подмножество некоторого заданного множества.
• Алгебраическая внутренность  – Обобщение топологической внутренности
• Квазиотносительная внутренность  – Обобщение алгебраической внутренности

Ссылки

1. Залинеску 2002, стр. 2–3.
2. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Впервые опубликовано в 1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . стр. 47. ISBN 978-0-691-01586-6.
3. Димитрий Берцекас (1999). Нелинейное программирование (2-е изд.). Белмонт, Массачусетс: Athena Scientific. стр. 697. ISBN 978-1-886529-14-4.
4. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Впервые опубликовано в 1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . Следствие 6.6.2. ISBN 978-0-691-01586-6.
5. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Впервые опубликовано в 1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . Теорема 6.9. ISBN 978-0-691-01586-6.

• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .

Дальнейшее чтение

• Бойд, Стивен; Ливен Ванденберг (2004). Выпуклая оптимизация. Кембридж: Cambridge University Press . стр. 23. ISBN 0-521-83378-7.