Относительное изменение

Сравнения в количественных науках

В любой количественной науке термины относительное изменение и относительная разность используются для сравнения двух величин с учетом «размеров» сравниваемых вещей, т. е. делением на стандартное или опорное или начальное значение. ^[1] Сравнение выражается как отношение и является безразмерным числом . Умножая эти отношения на 100, их можно выразить в процентах, поэтому термины процентное изменение , процентная (возрастная) разница или относительная процентная разница также широко используются. Термины «изменение» и «разница» используются взаимозаменяемо. ^[2]

Относительное изменение часто используется как количественный показатель обеспечения качества и контроля качества для повторных измерений, где ожидается, что результаты будут такими же. Особый случай процентного изменения (относительное изменение, выраженное в процентах), называемый процентной ошибкой, возникает в измерительных ситуациях, когда опорное значение является принятым или фактическим значением (возможно, теоретически определенным), а сравниваемое с ним значение определяется экспериментально (путем измерения).

Формула относительного изменения не очень хорошо себя ведет во многих условиях. В литературе были предложены различные альтернативные формулы, называемые индикаторами относительного изменения . Несколько авторов обнаружили, что логарифмическое изменение и логарифмические точки являются удовлетворительными индикаторами, но они не нашли широкого применения. ^[3]

Определение

При наличии двух числовых величин, v _ref и v ref , где v _{ref —} некоторое опорное значение, их фактическое изменение , фактическая разность или абсолютное изменение равны

Δ v = v − v _ref .

Термин абсолютная разность иногда также используется, хотя абсолютное значение не берется; знак Δ обычно является однородным, например, по возрастающему ряду данных. Если отношение значения к опорному значению (то есть больше или меньше) не имеет значения в конкретном приложении, абсолютное значение может использоваться вместо фактического изменения в приведенной выше формуле для получения значения относительного изменения, которое всегда неотрицательно. Фактическая разность обычно не является хорошим способом сравнения чисел, в частности, потому что она зависит от единицы измерения. Например,1  м то же самое, что100  см , но абсолютная разница между2 и 1 м составляет 1, тогда как абсолютная разница между200 и 100 см — это 100, что создает впечатление большей разницы. ^[4] Но даже при постоянных единицах относительное изменение помогает судить о важности соответствующего изменения. Например, увеличение цены100 долларов ценности считаются большими, если изменение от50–150 долларов , но это довольно мало при переходе сОт 10 000 до 10 100 долларов США .

Мы можем скорректировать сравнение, чтобы учесть «размер» задействованных величин, определив для положительных значений v _ref :

$${\displaystyle {\text{relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {\text{actual change}}{\text{reference value}}}={\frac {\Delta v}{v_{\text{ref}}}}={\frac {v}{v_{\text{ref}}}}-1.}$$

Относительное изменение не зависит от используемой единицы измерения; например, относительное изменение от2 к 1  м это−50% , то же самое, что и для200–100 см . Относительное изменение не определяется, если опорное значение ( v _ref ) равно нулю, и дает отрицательные значения для положительных увеличений, если v _ref отрицательно, поэтому оно обычно не определяется и для отрицательных опорных значений. Например, мы можем захотеть рассчитать относительное изменение от −10 до −6. Вышеуказанная формула дает ⁠(−6) − (−10)/−10⁠ = ⁠4/−10⁠ = −0,4 , что указывает на уменьшение, хотя на самом деле показания увеличились.

Меры относительного изменения — это безразмерные числа, выраженные в виде дроби . Соответствующие значения процентного изменения можно получить, умножив эти значения на 100 (и добавив знак %, чтобы указать, что значение является процентом).

Домен

Ограничение области относительного изменения положительными числами часто создает ограничение. Чтобы избежать этой проблемы, обычно берут абсолютное значение, так что формула относительного изменения работает правильно для всех ненулевых значений v _ref :

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {v-v_{\text{ref}}}{|v_{\text{ref}}|}}.}$$

Это все еще не решает проблему, когда ссылка равна нулю. Обычно вместо этого используют индикатор относительного изменения и берут абсолютные значения как v, так и . Тогда единственным проблемным случаем является , который обычно можно решить, соответствующим образом расширив индикатор. Например, для среднего арифметического можно использовать следующую формулу: ^[5] ${\displaystyle v_{\text{reference}}}$ ${\displaystyle v=v_{\text{reference}}=0}$ $${\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|x-y|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0}$$

Процент ошибки

Процентная погрешность представляет собой частный случай процентной формы относительного изменения, вычисляемого путем деления абсолютного изменения между экспериментальным (измеренным) и теоретическим (принятым) значениями на теоретическое (принятое) значение.

$${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {|{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}|}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$$

Термины «Экспериментальный» и «Теоретический», используемые в уравнении выше, обычно заменяются похожими терминами. Другие термины, используемые для экспериментального, могут быть «измеренный», «вычисленный» или «фактический», а другой термин, используемый для теоретического, может быть «принятый». Экспериментальное значение — это то, что было получено с помощью расчета и/или измерения и имеет свою точность, проверенную по сравнению с теоретическим значением, значением, которое принято научным сообществом или значением, которое может рассматриваться как цель для успешного результата.

Хотя общепринятой практикой является использование версии абсолютного значения относительного изменения при обсуждении процентной погрешности, в некоторых ситуациях может быть полезно удалить абсолютные значения, чтобы предоставить больше информации о результате. Таким образом, если экспериментальное значение меньше теоретического значения, процентная погрешность будет отрицательной. Этот отрицательный результат предоставляет дополнительную информацию об экспериментальном результате. Например, экспериментальный расчет скорости света и получение отрицательной процентной погрешности говорит о том, что экспериментальное значение представляет собой скорость, которая меньше скорости света. Это существенно отличается от получения положительной процентной погрешности, которая означает, что экспериментальное значение представляет собой скорость, которая больше скорости света (нарушая теорию относительности ), и является результатом, заслуживающим освещения в печати.

Уравнение процентной погрешности, если переписать его, удалив абсолютные значения, принимает вид: $${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$$

Важно отметить, что два значения в числителе не коммутируют . Поэтому крайне важно сохранить порядок, как указано выше: вычесть теоретическое значение из экспериментального, а не наоборот.

Процентное изменение

Процентное изменение — это способ выразить изменение переменной. Оно представляет собой относительное изменение между старым значением и новым. ^[6]

Например, если сегодня дом стоит 100 000 долларов, а через год его стоимость вырастет до 110 000 долларов, процентное изменение его стоимости можно выразить как $${\displaystyle {\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.}$$

Тогда можно сказать, что стоимость дома выросла на 10%.

В более общем смысле, если V ₁ представляет старое значение, а V ₂ — новое, $${\displaystyle {\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.}$$

Некоторые калькуляторы напрямую поддерживают это через функцию %CHили .Δ%

Когда рассматриваемая переменная сама по себе является процентом, лучше говорить о ее изменении, используя процентные пункты , чтобы избежать путаницы между относительной разницей и абсолютной разницей .

Пример процентов от процентов

Если бы банк поднял процентную ставку по сберегательному счету с 3% до 4%, утверждение, что «процентная ставка была увеличена на 1%», было бы неверным и вводящим в заблуждение. Абсолютное изменение в этой ситуации составляет 1 процентный пункт (4% − 3%), но относительное изменение процентной ставки составляет: $${\displaystyle {\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.}$$

В целом термин «процентный пункт(ы)» указывает на абсолютное изменение или разницу в процентах, тогда как знак процента или слово «процент» относится к относительному изменению или разнице. ^[7]

Примеры

Сравнения

Автомобиль M стоит 50 000 долларов, а автомобиль L стоит 40 000 долларов. Мы хотим сравнить эти затраты. ^[8] Что касается автомобиля L , абсолютная разница составляет 10 000 долларов = 50 000 долларов − 40 000 долларов . То есть, автомобиль M стоит на 10 000 долларов больше, чем автомобиль L. Относительная разница составляет , и мы говорим, что автомобиль M стоит на 25% больше, чем автомобиль L. Также принято выражать сравнение в виде отношения, которое в этом примере составляет , и мы говорим, что автомобиль M стоит 125% от стоимости автомобиля L. $${\displaystyle {\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,}$$ $${\displaystyle {\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,}$$

В этом примере стоимость автомобиля L считалась эталонным значением, но мы могли бы сделать другой выбор и рассмотреть стоимость автомобиля M как эталонное значение. Абсолютная разница теперь составляет −$10,000 = $40,000 − $50,000 , поскольку автомобиль L стоит на $10,000 меньше, чем автомобиль M. Относительная разница также отрицательна, поскольку автомобиль L стоит на 20% меньше, чем автомобиль M. Пропорциональная форма сравнения говорит, что автомобиль L стоит 80% от того, что стоит автомобиль M. $${\displaystyle {\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%}$$ $${\displaystyle {\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%}$$

Именно использование слов «из» и «меньше/больше, чем» позволяет различать соотношения и относительные разницы. ^[9]

Показатели относительного изменения

(Классическое) относительное изменение выше является лишь одной из возможных мер/индикаторов относительного изменения. Индикатор относительного изменения от x (начального или опорного значения) до y (нового значения) представляет собой бинарную функцию с действительным значением, определенную для интересующей области, которая удовлетворяет следующим свойствам: ^[10] ${\displaystyle R(x,y)}$

• Соответствующий знак: ${\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}$
• R является возрастающей функцией y при фиксированном x .
• R непрерывен.
• Независимо от единицы измерения: для всех , . ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}$
• Нормализовано: ${\displaystyle \left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1}$

Условие нормализации мотивировано наблюдением, что R , масштабированное константой , все еще удовлетворяет другим условиям, помимо нормализации. Более того, из-за условия независимости каждое R может быть записано как функция одного аргумента H отношения . ^[11] Условие нормализации тогда таково, что . Это подразумевает, что все индикаторы ведут себя как классические, когда близко к ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle y/x}$ ${\displaystyle H'(1)=1}$ ${\displaystyle y/x}$1 .

Обычно показатель относительного изменения представляется как фактическое изменение Δ, масштабированное некоторой функцией значений x и y , например f ( x , y ) . ^[2]

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}$$

Как и в случае с классическим относительным изменением, общее относительное изменение не определено, если f ( x , y ) равно нулю. Были предложены различные варианты для функции f ( x , y ) : ^[12]

Как видно из таблицы, все индикаторы, кроме первых двух, имеют в качестве знаменателя среднее значение . Одним из свойств функции среднего является: ^[12] , что означает, что все такие индикаторы обладают свойством «симметрии», которого нет у классического относительного изменения: . Это согласуется с интуицией, что относительное изменение от x до y должно иметь ту же величину, что и относительное изменение в противоположном направлении, от y до x , как и предполагает соотношение . ${\displaystyle m(x,y)}$ ${\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}$ ${\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{\frac {x}{y}}}}$

Максимальное среднее изменение было рекомендовано при сравнении значений с плавающей точкой в ​​языках программирования на предмет равенства с определенным допуском. ^[13] Другое применение — вычисление ошибок аппроксимации , когда требуется относительная погрешность измерения. ^{[ требуется ссылка ]} Минимальное среднее изменение было рекомендовано для использования в эконометрике. ^{[14] [15]} Логарифмическое изменение было рекомендовано в качестве универсальной замены относительного изменения и более подробно обсуждается ниже.

Тенхунен определяет общую функцию относительной разности от L (опорное значение) до K : ^[16] $${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}$$

что приводит к

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}$$

В частности, для особых случаев , ${\displaystyle c=\pm 1}$

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}$$

Логарифмическое изменение

Из этих показателей относительного изменения наиболее естественным, пожалуй, является натуральный логарифм (ln) отношения двух чисел (конечного и начального), называемый логарифмом изменения . ^[2] Действительно, когда , справедливо следующее приближение: ${\displaystyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}$ $${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}={\text{classical relative change}}}$$

Точно так же, как относительное изменение масштабируется на 100 для получения процентов, можно масштабировать на 100 для получения того, что обычно называется логарифмическими точками . ^[17] Логарифмические точки эквивалентны единице сантинеперс (cNp) при измерении для величин с корнем в степени. ^{[18] [19]} Эта величина также упоминается как логарифмический процент и обозначается L% . ^[2] Поскольку производная натурального логарифма при 1 равна 1, логарифмические точки приблизительно равны процентному изменению для небольших различий — например, увеличение на 1% равно увеличению на 0,995 cNp, а увеличение на 5% дает увеличение на 4,88 cNp. Это свойство аппроксимации не выполняется для других вариантов выбора основания логарифма, которые вводят коэффициент масштабирования из-за того, что производная не равна 1. Таким образом, логарифмические точки можно использовать в качестве замены процентного изменения. ^{[20] [18]} ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}$

Аддитивность

Использование логарифмического изменения имеет преимущества аддитивности по сравнению с относительным изменением. ^{[2] [18]} В частности, при использовании логарифмического изменения общее изменение после серии изменений равно сумме изменений. С процентами суммирование изменений является лишь приближением, с большей ошибкой для больших изменений. ^[18] Например:

Обратите внимание, что в приведенной выше таблице, поскольку относительное изменение 0 (соответственно относительное изменение 1 ) имеет то же численное значение, что и логарифмическое изменение 0 (соответственно логарифмическое изменение 1 ), оно не соответствует той же вариации. Преобразование между относительными и логарифмическими изменениями может быть вычислено как . ${\displaystyle {\text{log change}}=\ln(1+{\text{relative change}})}$

По аддитивности, , и, следовательно, аддитивность подразумевает своего рода свойство симметрии, а именно и, таким образом, величина изменения, выраженная в логарифмическом изменении, одинакова, независимо от того, выбрано ли V ₀ или V _{1 в качестве точки отсчета.} ^[18] Напротив, для относительного изменения, , с разницей, которая становится больше, когда V ₁ или V ₀ приближается к 0, в то время как другой остается фиксированным. Например: ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}+\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}=0}$ ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=-\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\neq -{\frac {V_{0}-V_{1}}{V_{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {(V_{1}-V_{0})^{2}}{V_{0}V_{1}}}}$

Здесь 0 ⁺ означает взятие предела сверху в направлении 0.

Уникальность и расширения

Логарифмическое изменение — это уникальная функция двух переменных, которая является аддитивной, и линеаризация которой соответствует относительному изменению. Существует семейство аддитивных функций разности для любого , такое, что абсолютное изменение равно , а логарифмическое изменение равно . ^[21] ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Смотрите также

• Ошибка аппроксимации
• Ошибки и остатки в статистике
• Относительное стандартное отклонение
• Логарифмическая шкала

Примечания

1. "IEC 60050 — Подробности для номера IEV 112-03-07: "относительный"". Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Получено 24.09.2023 .
2. Торнквист, Vartia & Vartia 1985.
3. Törnqvist, Vartia & Vartia 1985, стр. 11: «Мы предлагаем использовать этот показатель более широко».
4. Вартия 1976, стр. 9.
5. Миллер, Х. Рональд (29 марта 2011 г.). Оптимизация: основы и приложения. Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03118-6.
6. Казми, Кумейл (26 марта 2021 г.). «Калькулятор процентного увеличения». Smadent — лучший образовательный сайт Пакистана . Smadent Publishing . Получено 26 марта 2021 г.
7. Беннетт и Бриггс 2005, стр. 141
8. Беннетт и Бриггс 2005, стр. 137–139
9. Беннетт и Бриггс 2005, стр.140
10. Вартия 1976, стр. 10.
11. Вартия 1976, стр. 14.
12. Торнквист, Vartia & Vartia 1985, стр. 5.
13. Какой хороший способ проверить достаточно близкое равенство чисел с плавающей точкой?
14. Рао, Потлури; Миллер, Роджер Лерой (1971). Прикладная эконометрика. Белмонт, Калифорния, Wadsworth Pub. Co. стр. 17. ISBN 978-0-534-00031-8.
15. Вартия 1976, стр. 17–18.
16. Тенхунен 1990, стр. 20.
17. Бекеш, Габор; Кезди, Габор (6 мая 2021 г.). Анализ данных для бизнеса, экономики и политики. Издательство Кембриджского университета. п. 203. ИСБН 978-1-108-48301-8.
18. Карьюс, Андрес; Блайт, Ричард А.; Кирби, Саймон; Смит, Кенни (10 февраля 2020 г.). «Количественная оценка динамики тематических колебаний в языке». Динамика и изменение языка . 10 (1). Раздел A.3.1. arXiv : 1806.00699 . doi : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID  46928080.
19. Роу, Джон; деФорест, Расс; Джамшиди, Сара (26 апреля 2018 г.). Математика для устойчивого развития. Springer. стр. 190. doi :10.1007/978-3-319-76660-7_4. ISBN 978-3-319-76660-7.
20. Дойл, Патрик (24.08.2016). «Дело в пользу логарифмической метрики производительности». Vena Solutions .
21. Браун, Сильван; Эрпф, Филипп; Васем, Миха (2020). «Об абсолютных и относительных изменениях». Электронный журнал ССРН . arXiv : 2011.14807 . дои : 10.2139/ssrn.3739890. S2CID  227228720.

Ссылки

• Беннетт, Джеффри; Бриггс, Уильям (2005), Использование и понимание математики: количественный подход к рассуждениям (3-е изд.), Бостон: Pearson, ISBN 0-321-22773-5
• "Понимание измерений и построения графиков" (PDF) . Университет штата Северная Каролина . 2008-08-20. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-15 . Получено 2010-05-05 .
• "Percent Difference – Percent Error" (PDF) . Университет штата Иллинойс, кафедра физики. 2004-07-20. Архивировано из оригинала (PDF) 2019-07-13 . Получено 2010-05-05 .
• Торнквист, Лео; Вартиа, Пентти; Вартиа, Юрьё (1985), «Как следует измерять относительные изменения?» (PDF) , Американский статистик , 39 (1): 43–46, номер документа : 10.2307/2683905, JSTOR  2683905.
• Тенхунен, Лаури (1990). Методы CES и паритетного производства, распределение доходов и неоклассическая теория производства (PhD). A. Vol. 290. Университет Тампере.
• Vartia, Yrjö O. (1976). Относительные изменения и индексные числа (PDF) . ETLA A 4. Хельсинки: Научно-исследовательский институт экономики Финляндии. ISBN 951-9205-24-1. Получено 20 ноября 2022 г. .