Картирование сокращений

Функция уменьшения расстояния между всеми точками

В математике сжатое отображение , или сжатие или контрактор , в метрическом пространстве ( M ,  d ) — это функция f из M в себя, обладающая тем свойством, что существует некоторое действительное число такое, что для всех x и y в M , ${\displaystyle 0\leq k<1}$

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$

Наименьшее такое значение k называется константой Липшица f . Сжимающие карты иногда называют липшицевыми картами . Если вместо этого вышеуказанное условие выполняется для k  ≤ 1, то отображение называется нерасширяющим .

В более общем смысле идею сжимающего отображения можно определить для отображений между метрическими пространствами. Таким образом, если ( M ,  d ) и ( N ,  d' ) — два метрических пространства, то это сжимающее отображение, если существует такая константа, что ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle 0\leq k<1}$

${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$

для всех x и y в M .

Каждое сжимающее отображение является липшицевым и, следовательно, равномерно непрерывным (для липшицевой непрерывной функции константа k уже не обязательно меньше 1).

Сжимающее отображение имеет не более одной фиксированной точки . Более того, теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что каждое сжимающее отображение в непустом полном метрическом пространстве имеет единственную неподвижную точку и что для любого x в M повторяющаяся последовательность функций x , f  ( x ), f  ( f  ( x )) f  ( f  ( f  ( x ))), ... сходится к неподвижной точке. Эта концепция очень полезна для итерированных функциональных систем , где часто используются сжимающие отображения . Теорема Банаха о неподвижной точке также применяется при доказательстве существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и используется в одном доказательстве теоремы об обратной функции . ^[1]

Сокращающие отображения играют важную роль в задачах динамического программирования . ^{[2] [3]}

Твердо нерасширяющее картографирование

Нерасширяющее отображение с можно обобщить до строго нерасширяющего отображения в гильбертовом пространстве , если для всех x и y в гильбертовом пространстве выполняется следующее : ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|^{2}\leq \,\langle x-y,f(x)-f(y)\rangle .}$

где

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$.

Это частный случай усредненных нерасширяющих операторов с . ^[4] Строго нерасширяющее отображение всегда нерасширяющее согласно неравенству Коши – Шварца . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

Класс твердо нерасширяющихся отображений замкнут относительно выпуклых комбинаций , но не композиций. ^[5] Этот класс включает проксимальные отображения собственных, выпуклых, полунепрерывных снизу функций, следовательно, он также включает ортогональные проекции на непустые замкнутые выпуклые множества . Класс твердо нерастягивающих операторов равен множеству резольвент максимально монотонных операторов . ^[6] Удивительно, но хотя итерация нерасширяющих карт не дает гарантии нахождения фиксированной точки (например, умножение на -1), твердой нерасширяемости достаточно, чтобы гарантировать глобальную сходимость к фиксированной точке, при условии, что фиксированная точка существует. Точнее, если , то для любой начальной точки итерация ${\displaystyle {\text{Fix}}f:=\{x\in {\mathcal {H}}\ |\ f(x)=x\}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\quad x_{n+1}=f(x_{n})}$

дает сходимость к фиксированной точке . Эта сходимость может быть слабой в бесконечномерной ситуации. ^[5] ${\displaystyle x_{n}\to z\in {\text{Fix}}f}$

Карта субподряда

Карта субсжатия или субподрядчик — это карта f в метрическом пространстве ( M ,  d ), такая что

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y);}$

${\displaystyle d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{unless}}\quad x=f(x).}$

Если образ субподрядчика f компактен , то f имеет неподвижную точку. ^[7]

Локально выпуклые пространства

В локально выпуклом пространстве ( E ,  P ) с топологией , заданной набором полунорм P , можно определить для любого p  ∈  P p - сжатие как отображение f такое, что существует некоторое k _p < 1 такое , что p ( f ( Икс ) - ж ( y )) ≤ k _п п ( Икс - y ) . Если f является p -сжатием для всех p  ∈  P и ( E ,  P ) секвенциально полно, то f имеет неподвижную точку, заданную как предел любой последовательности x _{n +1} = f ( x _n ), и если ( E ,  P ) хаусдорфова , то неподвижная точка единственна. ^[8]

Смотрите также

• Краткая карта
• Сокращение (теория операторов)
• Трансформация

Рекомендации

1. Шифрин, Теодор (2005). Многомерная математика . Уайли. стр. 244–260. ISBN 978-0-471-52638-4.
2. Денардо, Эрик В. (1967). «Отображения сокращений в теории, лежащей в основе динамического программирования». Обзор СИАМ . 9 (2): 165–177. Бибкод : 1967SIAMR...9..165D. дои : 10.1137/1009030.
3. Стоки, Нэнси Л .; Лукас, Роберт Э. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8.
4. Комбеттс, Патрик Л. (2004). «Решение монотонных включений с помощью композиций нерасширяющих усредненных операторов». Оптимизация . 53 (5–6): 475–504. дои : 10.1080/02331930412331327157. S2CID  219698493.
5. Баушке, Хайнц Х. (2017). Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах . Нью-Йорк: Спрингер.
6. Комбеттс, Патрик Л. (июль 2018 г.). «Теория монотонных операторов в выпуклой оптимизации». Математическое программирование . Б170 : 177–206. arXiv : 1802.02694 . Бибкод : 2018arXiv180202694C. дои : 10.1007/s10107-018-1303-3. S2CID  49409638.
7. Гольдштейн, А.А. (1967). Конструктивный реальный анализ . Серия Харпера по современной математике. Нью-Йорк-Эванстон-Лондон: Харпер и Роу. п. 17. Збл  0189.49703.
8. Каин, Г.Л. младший; Нашед, МЗ (1971). «Неподвижные точки и устойчивость суммы двух операторов в локально выпуклых пространствах». Тихоокеанский математический журнал . 39 (3): 581–592. дои : 10.2140/pjm.1971.39.581 .

дальнейшее чтение

• Истратеску, Василе И. (1981). Теория фиксированной точки: Введение . Голландия: Д.Рейдель. ISBN 978-90-277-1224-0.обеспечивает введение в бакалавриат.
• Гранас, Анджей; Дугунджи, Джеймс (2003). Теория фиксированной точки . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
• Кирк, Уильям А.; Симс, Брейли (2001). Справочник по метрической теории фиксированной точки . Лондон: Клювер Академик. ISBN 978-0-7923-7073-4.
• Нейлор, Арч В.; Селл, Джордж Р. (1982). Теория линейных операторов в технике и науке. Прикладные математические науки. Том. 40 (Второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 125–134. ISBN 978-0-387-90748-2.

• Булло, Франческо (2022). Теория сжатия динамических систем . Kindle Direct Publishing. ISBN 979-8-8366-4680-6.