Отрицательная масса

Концепция в физических моделях

В теоретической физике отрицательная масса — это гипотетический тип экзотической материи , масса которой имеет противоположный знак по отношению к массе обычной материи , например, −1 кг. ^{[1] [2]} Такая материя нарушила бы одно или несколько энергетических условий и проявляла бы странные свойства, такие как противоположно направленное ускорение для приложенной силы. Она используется в некоторых спекулятивных гипотетических технологиях, таких как путешествия во времени в прошлое и будущее, ^[3] строительство проходимых искусственных червоточин , которые также могут позволить путешествовать во времени, трубки Красникова , двигатель Алькубьерре и потенциально другие типы варп-двигателей, движущихся быстрее света . В настоящее время ближайшим известным реальным представителем такой экзотической материи является область отрицательной плотности давления, создаваемая эффектом Казимира .

В космологии

В декабре 2018 года астрофизик Джейми Фарнс из Оксфордского университета предложил теорию « темной жидкости », частично связанную с представлениями о гравитационно отталкивающих отрицательных массах, представленными ранее Альбертом Эйнштейном , которая может помочь лучше понять, проверяемым образом, значительные объемы неизвестной темной материи и темной энергии в космосе . ^{[4] [5]}

В общей теории относительности

Отрицательная масса — это любая область пространства , в которой для некоторых наблюдателей плотность массы оказывается отрицательной. Это может произойти из-за области пространства, в которой сумма трех нормальных компонент напряжения (давление по каждой из трех осей) тензора энергии-импульса Эйнштейна больше по величине, чем плотность массы. Все это является нарушением того или иного варианта условия положительной энергии общей теории относительности Эйнштейна; однако условие положительной энергии не является обязательным условием для математической согласованности теории.

Инертная и гравитационная масса

При рассмотрении отрицательной массы важно учитывать, какие из этих концепций массы являются отрицательными. С тех пор, как Ньютон впервые сформулировал свою теорию гравитации , существовало по крайней мере три концептуально различных величины, называемых массой :

• инертная масса – масса m , которая появляется во втором законе движения Ньютона, F  =  m  a
• «активная» гравитационная масса – масса, создающая гравитационное поле, на которое реагируют другие массы.
• «Пассивная» гравитационная масса – масса, которая реагирует на внешнее гравитационное поле ускорением.

Закон сохранения импульса требует, чтобы активная и пассивная гравитационная масса были идентичны. Принцип эквивалентности Эйнштейна постулирует, что инертная масса должна быть равна пассивной гравитационной массе, и все экспериментальные данные на сегодняшний день показывают, что они действительно всегда одинаковы.

В большинстве анализов отрицательной массы предполагается, что принцип эквивалентности и сохранение импульса продолжают применяться без использования какой-либо материи в процессе, и поэтому все три формы массы остаются теми же, что приводит к изучению «отрицательной массы». Но принцип эквивалентности — это просто наблюдательный факт, и он не обязательно действителен. Если провести такое различие, то «отрицательная масса» может быть трех видов: инертная масса отрицательна, гравитационная масса или обе.

В своем эссе, получившем 4-ю премию на конкурсе Фонда исследований гравитации 1951 года , Хоакин Маздак Латтинжер рассмотрел возможность существования отрицательной массы и ее поведение под действием гравитационных и других сил. ^[6]

В 1957 году, следуя идее Латтинжера, Герман Бонди предположил в статье в Reviews of Modern Physics , что масса может быть как отрицательной, так и положительной. ^[7] Он указал, что это не влечет за собой логического противоречия, пока все три формы массы отрицательны, но что предположение об отрицательной массе подразумевает некоторую контринтуитивную форму движения. Например, можно было бы ожидать, что объект с отрицательной инертной массой будет ускоряться в направлении, противоположном тому, в котором его толкали (негравитационно).

Было проведено несколько других анализов отрицательной массы, таких как исследования, проведенные Р. М. Прайсом ^[8], хотя ни один из них не рассматривал вопрос о том, какой вид энергии и импульса был бы необходим для описания несингулярной отрицательной массы. Действительно, решение Шварцшильда для параметра отрицательной массы имеет голую сингулярность в фиксированном пространственном положении. Сразу возникает вопрос, нельзя ли сгладить сингулярность с помощью некоторой плотности отрицательной массы. Ответ — да, но не с помощью энергии и импульса, которые удовлетворяют условию доминирующей энергии . Это потому, что если энергия и импульс удовлетворяют условию доминирующей энергии в пространстве-времени, которое является асимптотически плоским, что было бы в случае сглаживания сингулярного решения Шварцшильда с отрицательной массой, то оно должно удовлетворять теореме о положительной энергии , т. е. его масса ADM должна быть положительной, что, конечно, не так. ^{[9] [10]} Однако Беллетет и Паранджапе заметили, что поскольку теорема о положительной энергии неприменима к асимптотическому пространству-времени де Ситтера, то на самом деле можно было бы сгладить с помощью энергии-импульса, который удовлетворяет условию доминирования энергии, сингулярность соответствующего точного решения отрицательной массы Шварцшильда-де Ситтера, которое является сингулярным точным решением уравнений Эйнштейна с космологической постоянной. ^[11] В последующей статье Мбарек и Паранджапе показали, что на самом деле можно получить требуемую деформацию посредством введения энергии-импульса идеальной жидкости. ^[12]

Неконтролируемое движение

Хотя не известно ни об одной частице с отрицательной массой, физики (в первую очередь Герман Бонди в 1957 году ^{[7] ,} Уильям Б. Боннор в 1964 и 1989 годах ^{[13] [14],} затем Роберт Л. Форвард ^[15] ) смогли описать некоторые из предполагаемых свойств, которые могут иметь такие частицы. Предполагая, что все три концепции массы эквивалентны согласно принципу эквивалентности , гравитационные взаимодействия между массами произвольного знака могут быть исследованы на основе ньютоновского приближения уравнений поля Эйнштейна . Тогда законы взаимодействия таковы:

Желтым цветом обозначено «нелепое» неконтролируемое движение положительных и отрицательных масс, описанное Бонди и Боннором.

• Положительная масса притягивает как другие положительные массы, так и отрицательные массы.
• Отрицательная масса отталкивает как другие отрицательные массы, так и положительные массы.

Для двух положительных масс ничего не меняется, и есть гравитационное притяжение друг к другу, вызывающее притяжение. Две отрицательные массы отталкивались бы из-за их отрицательных инертных масс. Однако для разных знаков есть толчок, который отталкивает положительную массу от отрицательной массы, и тяга, которая притягивает отрицательную массу к положительной в то же время.

Поэтому Бонди указал, что два объекта с одинаковой и противоположной массой будут создавать постоянное ускорение системы по направлению к объекту с положительной массой ^[7] , эффект, названный Боннором «убегающим движением», который игнорировал его физическое существование, заявляя:

Я считаю неконтролируемое (или самоускоряющееся) движение […] настолько нелепым, что предпочитаю исключить его, предположив, что инертная масса либо полностью положительна, либо полностью отрицательна.

—  Уильям Б. Боннор, в книге «Отрицательная масса в общей теории относительности» . ^[14]

Такая пара объектов будет ускоряться без ограничений (кроме релятивистского); однако, общая масса, импульс и энергия системы останутся нулевыми. Такое поведение полностью противоречит здравому смыслу и ожидаемому поведению «нормальной» материи. Томас Голд даже намекнул, что неконтролируемое линейное движение можно использовать в вечном двигателе, если преобразовать его в круговое движение:

Что произойдет, если прикрепить к ободу колеса пару отрицательных и положительных масс? Это несовместимо с общей теорией относительности, поскольку устройство становится более массивным.

—  Томас Голд, в книге «Отрицательная масса в общей теории относительности» . ^[16]

Но Форвард показал, что это явление математически последовательно и не нарушает законы сохранения . ^[15] Если массы равны по величине, но противоположны по знаку, то импульс системы остается нулевым, если они оба движутся вместе и ускоряются вместе, независимо от их скорости:

${\displaystyle p_{\mathrm {sys} }=mv+(-m)v={\big (}m+(-m){\big )}v=0\times v=0.}$

И эквивалентно для кинетической энергии :

${\displaystyle E_{\mathrm {k,sys} }={\tfrac {1}{2}}mv^{2}+{\tfrac {1}{2}}(-m)v^{2}={\tfrac {1}{2}}{\big (}m+(-m){\big )}v^{2}={\tfrac {1}{2}}(0)v^{2}=0}$

Однако это, возможно, не совсем верно, если принять во внимание энергию гравитационного поля.

Форвард расширил анализ Бонди на дополнительные случаи и показал, что даже если две массы m ⁽⁻⁾ и m ⁽⁺⁾ не одинаковы, законы сохранения остаются ненарушенными. Это верно даже при рассмотрении релятивистских эффектов, пока инертная масса, а не масса покоя, равна гравитационной массе.

Такое поведение может приводить к странным результатам: например, в газе, содержащем смесь положительных и отрицательных частиц материи, положительная часть материи будет неограниченно увеличивать температуру . ^{[ требуется ссылка ]} Однако отрицательная часть материи приобретает отрицательную температуру с той же скоростью, снова уравновешивая. Джеффри А. Лэндис указал на другие следствия анализа Форварда ^[17] , в том числе отметив, что хотя частицы с отрицательной массой будут отталкивать друг друга гравитационно, электростатическая сила будет притягивать одноименные заряды и отталкивать противоположные.

Форвард использовал свойства материи с отрицательной массой для создания концепции диаметрального двигателя — конструкции для движения космического корабля с использованием отрицательной массы, не требующей подвода энергии и реактивной массы для достижения произвольно высокого ускорения.

Форвард также ввел термин «аннулирование», чтобы описать, что происходит, когда встречается обычная материя и отрицательная материя: ожидается, что они смогут отменить или аннулировать существование друг друга. Взаимодействие между равными количествами положительной массы материи (следовательно, положительной энергии E = mc ² ) и отрицательной массы материи (отрицательной энергии − E = − mc ² ) не выделит никакой энергии, но поскольку единственная конфигурация таких частиц, которая имеет нулевой импульс (обе частицы движутся с одинаковой скоростью в одном направлении), не приводит к столкновению, такие взаимодействия оставят избыток импульса.

Стрела времени и инверсия энергии

В общей теории относительности вселенная описывается как риманово многообразие , связанное с метрическим тензорным решением уравнений поля Эйнштейна. В такой структуре убегающее движение запрещает существование отрицательной материи. ^{[7] [14]}

Некоторые биметрические теории вселенной предполагают, что вместо одной могут существовать две параллельные вселенные с противоположной стрелой времени, связанные вместе Большим взрывом и взаимодействующие только посредством гравитации . ^{[18] [19]} Затем вселенная описывается как многообразие, связанное с двумя римановыми метриками (одна с положительной массой материи, а другая с отрицательной массой материи). Согласно теории групп, материя сопряженной метрики будет казаться материи другой метрики имеющей противоположную массу и стрелу времени (хотя ее собственное время останется положительным). Связанные метрики имеют свои собственные геодезические и являются решениями двух связанных уравнений поля. ^[20]

Отрицательная материя связанной метрики, взаимодействующая с материей другой метрики посредством гравитации, могла бы быть альтернативным кандидатом для объяснения темной материи , темной энергии , космической инфляции и ускоряющейся Вселенной . ^[20]

Гравитационное взаимодействие антиматерии

Гравитационное взаимодействие антиматерии с материей наблюдалось физиками. ^[21] Как и было единодушно установлено среди физиков ранее, экспериментально подтверждено, что гравитация притягивает как материю, так и антиматерию с одинаковой скоростью в пределах экспериментальной погрешности.

Эксперименты с пузырьковой камерой предоставляют дополнительные доказательства того, что античастицы имеют ту же инерционную массу, что и их обычные аналоги. В этих экспериментах камера подвергается воздействию постоянного магнитного поля, которое заставляет заряженные частицы двигаться по спиральным траекториям, радиус и направление которых соответствуют отношению электрического заряда к инерционной массе. Видно, что пары частица-античастица движутся по спиралям с противоположными направлениями, но одинаковыми радиусами, что подразумевает, что отношения отличаются только знаком; но это не указывает на то, инвертируется ли заряд или инерционная масса. Однако наблюдается, что пары частица-античастица электрически притягиваются друг к другу. Такое поведение подразумевает, что обе имеют положительную инерционную массу и противоположные заряды; если бы было верно обратное, то частица с положительной инерционной массой отталкивалась бы от своего партнера-античастицы.

В квантовой механике

В 1928 году теория элементарных частиц Поля Дирака , которая теперь является частью Стандартной модели , уже включала отрицательные решения. ^[22] Стандартная модель является обобщением квантовой электродинамики (КЭД), и отрицательная масса уже встроена в теорию.

Моррис , Торн и Юртсевер ^[23] указали, что квантовая механика эффекта Казимира может быть использована для создания локально энергетически отрицательной области пространства-времени. В этой статье и последующих работах других авторов они показали, что отрицательная материя может быть использована для стабилизации червоточины . Крамер и др. утверждают, что такие червоточины могли быть созданы в ранней Вселенной, стабилизированные петлями космической струны с отрицательной массой . ^[24] Стивен Хокинг утверждал, что отрицательная энергия является необходимым условием для создания замкнутой времениподобной кривой путем манипулирования гравитационными полями в конечной области пространства; ^[25] это подразумевает, например, что конечный цилиндр Типлера не может быть использован в качестве машины времени .

Уравнение Шредингера

Для энергетических собственных состояний уравнения Шредингера волновая функция волнообразна везде, где энергия частицы больше локального потенциала, и экспоненциально подобна (затухающая) везде, где она меньше. Наивно это означало бы, что кинетическая энергия отрицательна в затухающих областях (чтобы отменить локальный потенциал). Однако кинетическая энергия является оператором в квантовой механике , и ее математическое ожидание всегда положительно, суммируясь с математическим ожиданием потенциальной энергии, чтобы получить собственное значение энергии.

Для волновых функций частиц с нулевой массой покоя (таких как фотоны ) это означает, что любые исчезающие части волновой функции будут связаны с локальной отрицательной массой-энергией. Однако уравнение Шредингера не применимо к безмассовым частицам; вместо этого требуется уравнение Клейна-Гордона .

В теории колебаний и метаматериалов

Рисунок 1. Сердечник с массой соединен внутри через пружину с  оболочкой с массой . Система подвергается воздействию синусоидальной силы F ( t ). ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$

Механическая модель, приводящая к отрицательному эффекту эффективной массы, изображена на рисунке 1. Ядро с массой соединено изнутри через пружину с постоянной  с оболочкой с массой . Система подвергается воздействию внешней синусоидальной силы . Если мы решим уравнения движения для масс  и  и заменим всю систему одной эффективной массой,  то получим: ^{[26] [27] [28] [29]} где . ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle F(t)=F_{0}\sin \omega t}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{\text{eff}}}$ $${\displaystyle m_{\text{eff}}=m_{1}+{{m_{2}\omega _{0}^{2}} \over {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}},}$$ ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k_{2} \over m_{2}}}}$

Рисунок 2. Газ свободных электронов  внедрен в ионную решетку ;   - плазменная частота (левый рисунок). Эквивалентная механическая схема системы (правый рисунок). ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$

Когда частота  приближается  сверху, эффективная масса  будет отрицательной. ^{[26] [27] [28] [29]} ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle m_{\text{eff}}}$

Отрицательная эффективная масса (плотность) становится возможной также на основе электромеханической связи, эксплуатирующей плазменные колебания свободного электронного газа (см. Рисунок 2 ). ^{[30] [31]} Отрицательная масса возникает в результате вибрации металлической частицы с частотой, близкой к частоте плазменных колебаний электронного газа  относительно ионной решетки . Плазменные колебания представлены упругой пружиной , где  - плазменная частота. ^{[30] [31]} Таким образом, металлическая частица, колеблющаяся с внешней частотой ω, описывается эффективной массой ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}=\omega _{p}^{2}m_{2}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$

${\displaystyle m_{\text{eff}}=m_{1}+{{m_{2}\omega _{p}^{2}} \over {\omega _{p}^{2}-\omega ^{2}}}}$,

которая отрицательна, когда частота ω  приближается  сверху. Сообщалось о метаматериалах, использующих эффект отрицательной массы вблизи плазменной частоты. ^{[30] [31]} ${\displaystyle \omega _{p}}$

Смотрите также

• Физический портал

• Темная жидкость
• Мнимая масса
• Зеркальная материя

Ссылки

1. Гриффин, Эндрю (20 апреля 2017 г.). «Ученые наблюдают жидкость с «отрицательной массой», которая полностью переворачивает физику» . The Independent . Архивировано из оригинала 18 июня 2022 г. . Получено 11 декабря 2020 г. .
2. Мортилларо, Николь (20 апреля 2017 г.). «Ученые создали жидкость, которая, кажется, бросает вызов физике: «Отрицательная масса» реагирует противоположно любому известному нам физическому свойству». CBC News . Получено 11 декабря 2020 г.
3. Кханна, Гаурав (28 января 2019 г.). «Путешествие во времени возможно, но только если у вас есть объект с бесконечной массой». The Conversation . Получено 11 декабря 2020 г.
4. Оксфордский университет (5 декабря 2018 г.). «Возвращение баланса Вселенной: новая теория может объяснить исчезновение 95 процентов космоса». EurekAlert! . Получено 6 декабря 2018 г. .
5. Farnes, JS (2018). "Объединяющая теория темной энергии и темной материи: отрицательные массы и создание материи в рамках модифицированной модели ΛCDM". Астрономия и астрофизика . 620 : A92. arXiv : 1712.07962 . Bibcode : 2018A&A...620A..92F. doi : 10.1051/0004-6361/201832898. S2CID  53600834.
6. Латтингер, Дж. М. (1951). «Об «отрицательной» массе в теории гравитации» (PDF) . Gravity Research Foundation.
7. Bondi, H. (1957). "Отрицательная масса в общей теории относительности" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 29 (3): 423–428. Bibcode : 1957RvMP...29..423B. doi : 10.1103/RevModPhys.29.423.
8. Прайс, Р. М. (1993). «Отрицательная масса может быть положительно забавной» (PDF) . Am. J. Phys . 61 (3): 216. Bibcode : 1993AmJPh..61..216P. doi : 10.1119/1.17293.
9. Shoen, R.; Yao, S.-T. (1979). «О доказательстве гипотезы о положительной массе в общей теории относительности» (PDF) . Commun. Math. Phys . 65 (1): 45–76. Bibcode :1979CMaPh..65...45S. doi :10.1007/BF01940959. S2CID  54217085. Архивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2017 г. . Получено 20 декабря 2014 г. .
10. Виттен, Эдвард (1981). «Новое доказательство теоремы о положительной энергии». Comm. Math. Phys . 80 (3): 381–402. Bibcode :1981CMaPh..80..381W. doi :10.1007/bf01208277. S2CID  1035111.
11. Belletête, Jonathan; Paranjape, Manu (2013). "On Negative Mass". Int. J. Mod. Phys. D . 22 (12): 1341017. arXiv : 1304.1566 . Bibcode : 2013IJMPD..2241017B. doi : 10.1142/S0218271813410174. S2CID  119258256.
12. Мбарек, Соуссен; Паранджапе, Ману (2014). «Пузыри отрицательной массы в пространстве-времени Де Ситтера». Phys. Rev. D. 90 ( 10): 101502. arXiv : 1407.1457 . Bibcode : 2014PhRvD..90j1502M. doi : 10.1103/PhysRevD.90.101502. S2CID  119167780.
13. Боннор, ВБ; Сваминараян, Н.С. (июнь 1964 г.). «Точное решение для равномерно ускоренных частиц в общей теории относительности». Zeitschrift für Physik . 177 (3): 240–256. Бибкод : 1964ZPhy..177..240B. дои : 10.1007/BF01375497. S2CID  122830231.
14. Bonnor, WB (1989). «Отрицательная масса в общей теории относительности». Общая теория относительности и гравитация . 21 (11): 1143–1157. Bibcode :1989GReGr..21.1143B. doi :10.1007/BF00763458. S2CID  121243887.
15. Forward, RL (1990). «Движение отрицательной материи». Journal of Propulsion and Power . 6 : 28–37. doi : 10.2514/3.23219.
16. Бонди, Х.; Бергманн, П.; Голд, Т.; Пирани, Ф. (январь 1957 г.). "Отрицательная масса в общей теории относительности". В М. ДеВитт, Сесиль ; Риклз, Дин (ред.). Роль гравитации в физике: Отчет с конференции в Чапел-Хилле 1957 г. Открытый доступ Epubli 2011. ISBN 978-3869319636. Получено 21 декабря 2018 г.
17. Лэндис, Г. (1991). «Комментарии о движении с отрицательной массой». J. Propulsion and Power . 7 (2): 304. doi :10.2514/3.23327.
18. Сахаров, А.Д. (1980). " " [Космологическая модель Вселенной с инверсией вектора времени]. ЖЭТФ . 79 : 689–693.^{[ необходима полная цитата ]}
    перевод в "Космологическая модель Вселенной с инверсией вектора времени". Письма в ЖЭТФ . 52 : 349–351. 1980.^{[ необходима полная цитата ]}
19. Барбур, Джулиан ; Кословски, Тим; Меркати, Флавио (2014). «Идентификация гравитационной стрелы времени». Physical Review Letters . 113 (18): 181101. arXiv : 1409.0917 . Bibcode : 2014PhRvL.113r1101B. doi : 10.1103/PhysRevLett.113.181101. PMID  25396357. S2CID  25038135.
20. Hossenfelder, S. (15 августа 2008 г.). "Биметрическая теория с обменной симметрией". Physical Review D. 78 ( 4): 044015. arXiv : 0807.2838 . Bibcode : 2008PhRvD..78d4015H. doi : 10.1103/PhysRevD.78.044015. S2CID  119152509.
21. Андерссон, EK; Бейкер, CJ; Берче, W.; Бхатт, NM (27 сентября 2023 г.). «Наблюдение влияния гравитации на движение антиматерии». Nature . 621 (7980): 716–722. Bibcode :2023Natur.621..716A. doi :10.1038/s41586-023-06527-1. PMC 10533407 . PMID  37758891. 
22. Дирак, П. А. М. (1928). «Квантовая теория электрона». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 117 (778): 610–624. Bibcode :1928RSPSA.117..610D. doi : 10.1098/rspa.1928.0023 .
23. Моррис, Майкл С.; Торн, Кип С.; Юртсевер, Ульви (1988). «Червоточины, машины времени и слабое энергетическое состояние» (PDF) . Physical Review Letters . 61 (13): 1446–1449. Bibcode : 1988PhRvL..61.1446M. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.1446. PMID  10038800.
24. Крамер, Джон Г.; Форвард, Роберт Л.; Моррис, Майкл С.; Виссер, Мэтт; Бенфорд, Грегори; Лэндис, Джеффри А. (1995). «Естественные червоточины как гравитационные линзы». Physical Review D. 51 ( 6): 3117–3120. arXiv : astro-ph/9409051 . Bibcode : 1995PhRvD..51.3117C. doi : 10.1103/PhysRevD.51.3117. PMID  10018782. S2CID  42837620.
25. Хокинг, Стивен (2002). Будущее пространства-времени . WW Norton. стр. 96. ISBN 978-0-393-02022-9.
26. Milton, Graeme W; Willis, John R (8 марта 2007 г.). «О модификациях второго закона Ньютона и линейной континуальной эластодинамике». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 463 (2079): 855–880. Bibcode :2007RSPSA.463..855M. doi :10.1098/rspa.2006.1795. S2CID  122990527.
27. Chan, CT; Li, Jensen; Fung, KH (1 января 2006 г.). «О расширении концепции двойной отрицательности на акустические волны». Journal of Zhejiang University Science A. 7 ( 1): 24–28. Bibcode :2006JZUSA...7...24C. ​​doi :10.1631/jzus.2006.A0024. ISSN  1862-1775. S2CID  120899746.
28. Huang, HH; Sun, CT; Huang, GL (1 апреля 2009 г.). «Об отрицательной эффективной плотности массы в акустических метаматериалах». Международный журнал инженерных наук . 47 (4): 610–617. doi :10.1016/j.ijengsci.2008.12.007. ISSN  0020-7225.
29. Яо, Шаньшань; Чжоу, Сяомин; Ху, Гэнкай (14 апреля 2008 г.). «Экспериментальное исследование отрицательной эффективной массы в одномерной системе масса–пружина». New Journal of Physics . 10 (4): 043020. Bibcode : 2008NJPh...10d3020Y. doi : 10.1088/1367-2630/10/4/043020 . ISSN  1367-2630.
30. Бормашенко, Эдвард; Легченкова, Ирина (апрель 2020 г.). "Отрицательная эффективная масса в плазмонных системах". Материалы . 13 (8): 1890. Bibcode : 2020Mate...13.1890B. doi : 10.3390/ma13081890 . PMC 7215794. PMID  32316640 . 
31. Бормашенко, Эдвард; Легченкова, Ирина; Френкель, Марк (август 2020 г.). "Отрицательная эффективная масса в плазмонных системах II: выяснение оптических и акустических ветвей колебаний и возможности распространения антирезонанса". Материалы . 13 (16): 3512. Bibcode :2020Mate...13.3512B. doi : 10.3390/ma13163512 . PMC 7476018 . PMID  32784869. 

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с отрицательной массой на Wikimedia Commons