Парадокс береговой линии — это противоречивое наблюдение о том, что береговая линия суши не имеет четко определенной длины. Это является результатом фрактальных кривых свойств береговых линий; т.е. тот факт, что береговая линия обычно имеет фрактальную размерность . Хотя «парадокс длины» ранее был отмечен Хьюго Штейнхаусом , [1] первое систематическое исследование этого явления было проведено Льюисом Фраем Ричардсоном , [2] [3] , и оно было расширено Бенуа Мандельбротом . [4] [5]
Измеренная длина береговой линии зависит от метода ее измерения и степени картографического обобщения . Поскольку массив суши имеет особенности во всех масштабах, от сотен километров до крошечных долей миллиметра и ниже, не существует очевидного размера наименьшего объекта, который следует принимать во внимание при измерении, и, следовательно, не существует единого четко определенного периметра. на сушу. Существуют различные приближения , когда делаются конкретные предположения о минимальном размере объекта.
Задача принципиально отличается от измерения других, более простых ребер. Например, можно точно измерить длину прямого идеализированного металлического стержня, используя измерительное устройство, чтобы определить, что длина меньше определенной величины и больше другой величины, то есть измерить ее в пределах определенной величины. степень неопределенности . Чем точнее измерительное устройство, тем ближе результаты будут к истинной длине кромки. Однако при измерении береговой линии более близкое измерение не приводит к увеличению точности — измерение только увеличивает длину; в отличие от металлического стержня, здесь невозможно получить точное значение длины береговой линии.
В трехмерном пространстве парадокс береговой линии легко расширить до концепции фрактальных поверхностей , согласно которой площадь поверхности варьируется в зависимости от разрешения измерения.
Незадолго до 1951 года Льюис Фрай Ричардсон , исследуя возможное влияние длины границы на вероятность войны, заметил, что португальцы сообщили, что их измеренная граница с Испанией составляет 987 км (613 миль), но испанцы сообщили, что она составляет 1214 км ( 754 миль). Это положило начало проблеме береговой линии, которая представляет собой математическую неопределенность, присущую измерению нерегулярных границ. [6]
Преобладающим методом оценки длины границы (или береговой линии) было размещение на карте или аэрофотоснимке n равных прямолинейных отрезков длиной l с разделителями . Каждый конец сегмента должен находиться на границе. Исследуя расхождения в оценке границ, Ричардсон обнаружил то, что сейчас называют «эффектом Ричардсона»: сумма отрезков монотонно увеличивается, когда общая длина отрезков уменьшается. Фактически, чем короче линейка, тем длиннее измеряемая граница; испанские и португальские географы просто использовали линейки разной длины.
Результат, наиболее поразительный для Ричардсона, заключается в том, что при определенных обстоятельствах, когда l приближается к нулю, длина береговой линии приближается к бесконечности . Ричардсон полагал, основываясь на евклидовой геометрии, что береговая линия будет приближаться к фиксированной длине, как и аналогичные оценки правильных геометрических фигур. Например, периметр правильного многоугольника , вписанного в окружность, приближается к окружности с увеличением числа сторон (и уменьшением длины одной стороны). В геометрической теории меры такую гладкую кривую, как окружность, которую можно аппроксимировать небольшими прямыми отрезками с определенным пределом, называют спрямляемой кривой . [7] Бенуа Мандельброт показал, что D не зависит от ε .
Основное понятие длины берет свое начало из евклидова расстояния . В евклидовой геометрии прямая линия представляет собой кратчайшее расстояние между двумя точками . Эта линия имеет только одну длину. На поверхности сферы это заменяется геодезической длиной (также называемой длиной большого круга ), которая измеряется вдоль кривой поверхности, существующей в плоскости, содержащей как конечные точки, так и центр сферы. Длина основных кривых более сложна, но ее также можно рассчитать. Измеряя линейками, можно приблизительно определить длину кривой, сложив сумму прямых линий, соединяющих точки:
Использование нескольких прямых линий для аппроксимации длины кривой приведет к получению оценки ниже истинной длины; когда используются все более короткие (и, следовательно, более многочисленные) линии, сумма приближается к истинной длине кривой. Точное значение этой длины можно найти с помощью исчисления — раздела математики, позволяющего рассчитывать бесконечно малые расстояния. Следующая анимация иллюстрирует, как плавной кривой можно присвоить точную длину:
Не все кривые можно измерить таким способом. Фрактал по определению — это кривая, воспринимаемая сложность которой меняется в зависимости от масштаба измерения . В то время как аппроксимации плавной кривой стремятся к единому значению по мере увеличения точности измерения, измеренное значение для фрактала не сходится.
Поскольку длина фрактальной кривой всегда стремится к бесконечности, если бы нужно было измерить береговую линию с бесконечным или почти бесконечным разрешением, длина бесконечно коротких изломов береговой линии в сумме составила бы бесконечность. [8] Однако эта цифра основана на предположении, что пространство можно разделить на бесконечно малые секции. Истинность этого предположения, которое лежит в основе евклидовой геометрии и служит полезной моделью в повседневных измерениях, является предметом философских спекуляций и может отражать, а может и не отражать изменяющиеся реальности «пространства» и «расстояния» на атомном уровне ( примерно в масштабе нанометра ) .
Береговые линии менее определенны в своей конструкции, чем идеализированные фракталы, такие как множество Мандельброта, поскольку они формируются различными природными событиями, которые создают закономерности статистически случайным образом, тогда как идеализированные фракталы формируются посредством повторяющихся итераций простых шаблонных последовательностей. [9]
Спустя более десяти лет после того, как Ричардсон завершил свою работу, Бенуа Мандельброт разработал новую ветвь математики — фрактальную геометрию — для описания именно таких неисправимых комплексов в природе, как бесконечная береговая линия. [10] Его собственное определение новой фигуры, послужившей основой для его исследования: [11]
Я придумал фрактал от латинского прилагательного fractus . Соответствующий латинский глагол frangere означает «ломать», создавать неправильные фрагменты. Поэтому разумно... что помимо слова "фрагментированный"... fractus также должен означать "нерегулярный".
В книге « Какова длина побережья Британии? Статистическая самоподобность и дробная размерность », опубликованной 5 мая 1967 года, [12] Мандельброт обсуждает самоподобные кривые, размерность Хаусдорфа которых составляет от 1 до 2. Эти кривые являются примерами фракталов . хотя Мандельброт не использует этот термин в статье, поскольку он придумал его только в 1975 году. Эта статья является одной из первых публикаций Мандельброта по теме фракталов. [13]
Эмпирические данные свидетельствуют о том, что чем меньше приращение измерения, тем длиннее становится измеряемая длина. Если бы кто-то измерил участок береговой линии с помощью линейки , результат был бы короче, чем если бы тот же участок был измерен линейкой длиной 1 фут (30 см ) . Это связано с тем, что линейку можно было бы прокладывать по более криволинейному маршруту, чем по криволинейному маршруту. Эмпирические данные подсказывают правило, которое, если его экстраполировать, показывает, что измеренная длина неограниченно увеличивается по мере уменьшения шкалы измерения до нуля. Из этой дискуссии следует, что бессмысленно говорить о длине береговой линии; необходимы некоторые другие средства количественной оценки береговых линий. Затем Мандельброт описывает различные математические кривые, связанные со снежинкой Коха , которые определяются таким образом, что они строго самоподобны. Мандельброт показывает, как вычислить размерность Хаусдорфа каждой из этих кривых, каждая из которых имеет размерность D от 1 до 2 (он также упоминает, но не приводит конструкцию заполняющей пространство кривой Пеано , размерность которой равна ровно 2). . В статье не утверждается, что какая-либо береговая линия или географическая граница на самом деле имеет дробное измерение. Вместо этого он отмечает, что эмпирический закон Ричардсона совместим с идеей о том, что географические кривые, такие как береговые линии, могут быть смоделированы случайными самоподобными фигурами дробного измерения. Ближе к концу статьи Мандельброт кратко обсуждает, как можно подойти к изучению фракталоподобных объектов в природе, которые выглядят случайными, а не регулярными. Для этого он определяет статистически самоподобные фигуры и говорит, что они встречаются в природе. Эта статья важна, потому что она является «поворотным моментом» в ранних размышлениях Мандельброта о фракталах. [14] Это пример связи математических объектов с естественными формами, который был темой большей части его более поздних работ.
Ключевое свойство некоторых фракталов — самоподобие ; то есть в любом масштабе появляется одна и та же общая конфигурация. Береговая линия воспринимается как бухты, чередующиеся с мысами. В гипотетической ситуации, когда данная береговая линия обладает свойством самоподобия, то, как бы сильно ни увеличивался какой-либо небольшой участок береговой линии, возникает аналогичная картина из более мелких заливов и мысов, наложенных на более крупные заливы и мысы, вплоть до песчинки. В этом масштабе береговая линия выглядит как мгновенно меняющаяся, потенциально бесконечно длинная нить со случайным расположением заливов и мысов, образованных из находящихся под рукой мелких объектов. В такой среде (в отличие от плавных кривых), как утверждает Мандельброт [10], «длина береговой линии оказывается неуловимым понятием, которое ускользает между пальцами тех, кто хочет ее уловить».
Существуют различные виды фракталов. Береговая линия с указанным свойством относится к «первой категории фракталов, а именно к кривым, фрактальная размерность которых больше 1». Это последнее утверждение представляет собой развитие Мандельбротом мысли Ричардсона. Формулировка Мандельброта об эффекте Ричардсона такова: [15]
где L , длина береговой линии, являющаяся функцией единицы измерения ε , аппроксимируется выражением. F — константа, а D — параметр, который, как обнаружил Ричардсон, зависит от береговой линии, аппроксимируемой L. Он не дал теоретического объяснения, но Мандельброт отождествил D с нецелой формой измерения Хаусдорфа , позже фрактального измерения. Перестановка выражения дает
где Fε − D должно быть количеством единиц ε, необходимых для получения L . Ломаная линия, измеряющая побережье, не простирается в одном направлении и не представляет собой территорию, а является промежуточной между ними и может рассматриваться как полоса шириной 2 ε . D — его фрактальная размерность, варьирующаяся от 1 до 2 (обычно менее 1,5). Более изрезанные береговые линии имеют больший D , и, следовательно, L длиннее при том же ε . D составляет примерно 1,02 для береговой линии Южной Африки и примерно 1,25 для западного побережья Великобритании. [5] Для береговой линии озера типичное значение D составляет 1,28. [16]
Парадокс береговой линии описывает проблему реальных приложений. Для решения этой проблемы было предложено несколько решений. [17] Эти решения решают практические проблемы, связанные с этой проблемой, устанавливая определение «береговой линии», устанавливая практические физические границы береговой линии и используя математические целые числа в пределах этих практических ограничений для расчета длины с значимым уровнем точности. [17] Эти практические решения проблемы могут решить проблему для всех практических приложений, пока она сохраняется как теоретическая/математическая концепция в наших моделях. [18]
Парадокс береговой линии часто подвергается критике, поскольку береговые линии по своей сути являются конечными, реальными объектами в пространстве, и, следовательно, существует количественный ответ на их длину. [17] [19] Сравнение с фракталами, хотя и полезно в качестве метафоры для объяснения проблемы, критикуется как не совсем точное, поскольку береговые линии не являются самоповторяющимися и принципиально конечны. [17]
Источник парадокса основан на том, как мы измеряем реальность, и он наиболее актуален при попытке использовать эти измерения для создания картографических моделей побережий. [19] Современные технологии, такие как LiDAR , системы глобального позиционирования и географические информационные системы , значительно облегчили решение этого парадокса; однако ограничения геодезических измерений и векторного программного обеспечения сохраняются. [17] Критики утверждают, что эти проблемы являются скорее теоретическими, а не практическими соображениями для планировщиков. [17]
Левый берег Вислы, если его измерить с большей точностью, даст длину в десять, сотни и даже тысячи раз большую, чем длина, указанная на школьной карте. Утверждением, почти адекватным реальности, было бы назвать большинство дуг, встречающихся в природе, неисправимыми.
