Палимпсест Архимеда — это пергаментный кодекс палимпсест , изначально византийская греческая копия сборника Архимеда и других авторов. Он содержит два труда Архимеда, которые считались утерянными (Остомахион и Метод механических теорем ), и единственное сохранившееся оригинальное греческое издание его труда О плавающих телах . [1] Считается, что первая версия сборника была создана Исидором Милетским , архитектором геометрически сложного собора Святой Софии в Константинополе , где-то около 530 г. н. э. [2] Копия, найденная в палимпсесте, была создана с этого оригинала, также в Константинополе, во времена Македонского Возрождения (ок. 950 г. н. э.), когда математика в столице возрождалась бывшим греческим православным епископом Салоник Львом Геометром , двоюродным братом Патриарха . [ 3]
После разграбления Константинополя западными крестоносцами в 1204 году рукопись была доставлена в изолированный греческий монастырь в Палестине , возможно, чтобы защитить ее от оккупантов-крестоносцев, которые часто приравнивали греческий шрифт к ереси против своей латинской церкви и либо сжигали, либо разграбляли многие такие тексты (включая по крайней мере две дополнительные копии сочинения Архимеда ). [4] [5] Сложная рукопись не была оценена по достоинству в этом отдаленном монастыре и вскоре была перезаписана (1229) религиозным текстом. [6] В 1899 году, через девятьсот лет после ее написания, рукопись все еще находилась во владении греческой церкви и вернулась в Стамбул, где ее каталогизировал греческий ученый Пападопулос-Керамеус , что привлекло внимание Йохана Хейберга . Хейберг посетил церковную библиотеку и получил разрешение сделать подробные фотографии в 1906 году. Большая часть оригинального текста все еще была видна, и Хейберг опубликовал ее в 1915 году. [7] В 1922 году рукопись пропала во время эвакуации греческой православной библиотеки в Стамбуле, в неспокойный период после Первой мировой войны . [8] Один западный бизнесмен скрывал книгу более 70 лет, и в какой-то момент поверх части текста были нарисованы поддельные картинки, чтобы увеличить стоимость перепродажи. [8] Не имея возможности продать книгу в частном порядке, в 1998 году дочь бизнесмена рискнула провести публичный аукцион в Нью-Йорке, оспариваемый греческой церковью; суд США вынес решение в пользу аукциона, и рукопись была куплена анонимным покупателем (по слухам, Джеффом Безосом ). [9] Тексты под поддельными картинками, а также ранее нечитаемые тексты были выявлены путем анализа изображений, полученных в ультрафиолетовом , инфракрасном , видимом и лучевом диапазонах , а также в рентгеновских лучах .
Все изображения и транскрипции теперь свободно доступны в Интернете на Archimedes Digital Palimpsest по лицензии Creative Commons CC BY . [10] [11] [12]
Архимед жил в 3 веке до нашей эры и записал свои доказательства в виде писем на дорическом греческом языке, адресованных современникам, включая ученых Большой Александрийской библиотеки . Эти письма были впервые собраны в полный текст Исидором Милетским , архитектором патриархальной церкви Святой Софии , где-то около 530 года нашей эры в тогдашней византийской греческой столице Константинополе. [2]
Копия издания «Архимеда» Исидора была сделана около 950 г. н. э. анонимным писцом, опять же в Византийской империи, в период, когда изучение Архимеда процветало в Константинополе в школе, основанной математиком, инженером и бывшим греческим православным архиепископом Салоник Львом Геометром , двоюродным братом патриарха . [ 7]
Эта средневековая византийская рукопись затем переместилась из Константинополя в Иерусалим , вероятно, где-то после разграбления крестоносцами византийского Константинополя в 1204 году. [7] Там, в 1229 году, кодекс Архимеда был расплетен, выскоблен и вымыт, вместе с по крайней мере шестью другими частичными пергаментными рукописями, включая одну с работами Гиперида . Их листы были сложены пополам, переплетены и повторно использованы для христианского литургического текста из 177 позже пронумерованных листов, из которых 174 сохранились (каждый старый сложенный лист стал двумя листами литургической книги). Палимпсест оставался недалеко от Иерусалима по крайней мере до XVI века в изолированном греческом православном монастыре Мар Саба . В какой-то момент до 1840 года палимпсест был возвращен греческим православным патриархатом Иерусалима в его библиотеку ( подворье Гроба Господня) в Константинополе.
Библеист Константин фон Тишендорф посетил Константинополь в 1840-х годах и, заинтригованный греческой математикой, видимой на палимпсесте, который он нашел в греческой православной библиотеке, извлек из него лист (который сейчас находится в библиотеке Кембриджского университета). В 1899 году греческий ученый Пападопулос-Керамеус составил каталог рукописей библиотеки и включил в него транскрипцию нескольких строк частично видимого основного текста. [7] Увидев эти строки, Иоган Хейберг , мировой авторитет по Архимеду, понял, что эта работа принадлежит Архимеду. Когда Хейберг изучал палимпсест в Константинополе в 1906 году, он подтвердил, что палимпсест включал работы Архимеда, которые считались утерянными. Греческая православная церковь разрешила Хейбергу сделать тщательные фотографии страниц палимпсеста, и с них он сделал транскрипции, опубликованные между 1910 и 1915 годами в полном собрании сочинений Архимеда. Вскоре после этого греческий текст Архимеда был переведен на английский язык Т. Л. Хитом . До этого он не был широко известен среди математиков, физиков и историков.
В 1920 году рукопись все еще находилась в библиотеке Греческого православного патриархата Иерусалима (подворье Гроба Господня) в Константинополе. [8] Вскоре после этого, в неспокойный период для греческой общины в Турции, когда Турция одержала победу в греко-турецкой войне (1919–1922 гг.), а также произошел геноцид греков и насильственный обмен населением между Грецией и Турцией , палимпсест исчез из библиотеки Греческой церкви в Стамбуле.
Где-то между 1923 и 1930 годами палимпсест был приобретен Мари Луи Сириекс, «бизнесменом и путешественником по Востоку, который жил в Париже». [8] Хотя Сириекс утверждал, что купил рукопись у монаха, который в любом случае не имел бы полномочий продавать ее, у Сириекса не было чека или документации о продаже ценной рукописи. Хранившийся Сириексом в тайне в течение многих лет в своем подвале, палимпсест пострадал от воды и плесени. Кроме того, после его исчезновения из библиотеки Греческого православного патриархата, фальсификатор добавил копии средневековых евангельских портретов в листовом золоте на четыре страницы книги, чтобы увеличить ее продажную стоимость, что еще больше повредило текст. [13] Эти поддельные портреты из листового золота почти стерли текст под ними, и для его обнаружения позже потребовалась рентгенофлуоресцентная съемка в Стэнфордском центре линейного ускорителя . [14]
Сириекс умер в 1956 году, а в 1970 году его дочь начала пытаться тихо продать ценную рукопись. Не имея возможности продать ее в частном порядке, в 1998 году она наконец обратилась в Christie's , чтобы продать ее на открытом аукционе, рискуя при этом возникнуть спор о праве собственности. [8] Право собственности на палимпсест было немедленно оспорено в федеральном суде в Нью-Йорке в деле Греческого православного патриархата Иерусалима против Christie's , Inc. Греческая церковь утверждала, что палимпсест был украден из ее библиотеки в Константинополе в 1920-х годах в период экстремальных преследований. Судья Кимба Вуд вынесла решение в пользу аукционного дома Christie's по основаниям laches , и палимпсест был куплен за 2 миллиона долларов анонимным американским покупателем. Адвокат, представлявший анонимного покупателя, заявил, что покупатель был «частным американцем», который работал в «высокотехнологичной отрасли», но не был Биллом Гейтсом . [9]
В Художественном музее Уолтерса в Балтиморе палимпсест был предметом обширного исследования изображений с 1999 по 2008 год и консервации (так как он значительно пострадал от плесени, находясь в подвале Сириекса). Руководил этим д-р Уилл Ноэль, куратор рукописей в Художественном музее Уолтерса, и управлял Майкл Б. Тот из RB Toth Associates, а д-р Эбигейл Квандт выполняла консервацию рукописи.
Целевой аудиторией для оцифровки являются греческие ученые, историки математики, люди, создающие приложения, библиотеки, архивы и ученые, заинтересованные в создании изображений. [15]
Команда ученых, занимающихся визуализацией, в том числе доктор Роджер Л. Истон-младший из Рочестерского технологического института , доктор Уильям А. Кристенс-Барри из Equipoise Imaging и доктор Кейт Нокс (тогда работавший в Boeing LTS, а теперь вышедший на пенсию из Исследовательской лаборатории ВВС США) использовали компьютерную обработку цифровых изображений из различных спектральных диапазонов, включая ультрафиолетовые, видимые и инфракрасные длины волн, чтобы выявить большую часть основного текста, включая Архимеда. После визуализации и цифровой обработки всего палимпсеста в трех спектральных диапазонах до 2006 года, в 2007 году они повторно визуализировали весь палимпсест в 12 спектральных диапазонах, плюс граблинный свет : УФ: 365 нанометров; Видимый свет: 445, 470, 505, 530, 570, 617 и 625 нм; Инфракрасный: 700, 735 и 870 нм; и Raking Light: 910 и 470 нм. Команда провела цифровую обработку этих изображений, чтобы раскрыть больше текста с помощью псевдоцвета. Они также оцифровали оригинальные изображения Хейберга. Доктор Ревиэль Нец из Стэнфордского университета и Найджел Уилсон создали дипломатическую транскрипцию текста, заполнив пробелы в рассказе Хейберга этими изображениями. [16]
Где-то после 1938 года фальсификатор поместил в рукопись четыре религиозных изображения в византийском стиле , чтобы увеличить ее продажную стоимость. Казалось, что они сделали основной текст навсегда нечитаемым. Однако в мае 2005 года высокосфокусированные рентгеновские лучи, полученные в Стэнфордском линейном ускорительном центре в Менло-Парке, Калифорния, были использованы докторами Уве Бергманном и Бобом Мортоном, чтобы начать расшифровку частей 174-страничного текста, которые еще не были раскрыты. Производство рентгеновской флуоресценции было описано Кейтом Ходжсоном , директором SSRL:
Синхротронный свет создается, когда электроны, движущиеся со скоростью, близкой к скорости света, движутся по изогнутой траектории вокруг накопительного кольца, испуская электромагнитный свет в рентгеновском диапазоне через инфракрасные длины волн. Полученный световой луч обладает характеристиками, которые делают его идеальным для раскрытия сложной архитектуры и полезности многих видов материи — в данном случае ранее скрытой работы одного из отцов-основателей всей науки. [17]
В апреле 2007 года было объявлено, что в палимпсесте был найден новый текст, комментарий к «Категориям » Аристотеля , насчитывающий около 9 000 слов. Большая часть этого текста была восстановлена в начале 2009 года путем применения анализа главных компонент к трем цветовым полосам (красному, зеленому и синему) флуоресцентного света, генерируемого ультрафиолетовым освещением. Доктор Уилл Ноэль сказал в интервью:
Вы начинаете думать, что удар по одному палимпсесту — это золото, а удар по двум — это совершенно удивительно. Но затем произошло нечто еще более необычное.
Это относится к предыдущему открытию текста Гиперида , афинского политика из четвертого века до нашей эры, который также был найден в палимпсесте. [1] Это из его речи Против Диондаса , и был опубликован в 2008 году в академическом журнале Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik , т. 165, став первым новым текстом из палимпсеста, опубликованным в научном журнале. [18]
Транскрипции книги были закодированы в цифровом виде с использованием руководящих принципов Text Encoding Initiative , а метаданные для изображений и транскрипций включали идентификационную и каталогизирующую информацию на основе Dublin Core Metadata Elements. Метаданные и данные были обработаны Дугом Эмери из Emery IT.
29 октября 2008 года (десятая годовщина покупки палимпсеста на аукционе) все данные, включая изображения и транскрипции, были размещены на веб-странице цифрового палимпсеста для свободного использования по лицензии Creative Commons , [19] а обработанные изображения палимпсеста в исходном порядке страниц были опубликованы как Google Book. [20] В 2011 году он стал предметом выставки в Художественном музее Уолтерса «Потерянные и найденные: секреты Архимеда». В 2015 году в ходе эксперимента по сохранению цифровых данных швейцарские ученые закодировали текст из палимпсеста Архимеда в ДНК. [21] Благодаря его расшифровке некоторые математики предполагают, что Архимед, возможно, изобрел интеграцию .
Источник: [1]
Палимпсест содержит единственный известный экземпляр «Метода механических теорем» .
В других своих работах Архимед часто доказывает равенство двух площадей или объемов методом исчерпывания Евдокса , древнегреческим аналогом современного метода пределов. Поскольку греки знали, что некоторые числа иррациональны, их понятие действительного числа было величиной Q, приближенной двумя последовательностями, одна из которых давала верхнюю границу, а другая — нижнюю. Если найти две последовательности U и L, и U всегда больше Q, а L всегда меньше Q, и если две последовательности в конечном итоге сблизятся, чем любая заранее заданная величина, то Q будет найдено или исчерпано U и L.
Архимед использовал исчерпывание для доказательства своих теорем. Это включало аппроксимацию фигуры, площадь которой он хотел вычислить, в части известной площади, которые дают верхнюю и нижнюю границы для площади фигуры. Затем он доказал, что две границы становятся равными, когда подразделение становится произвольно мелким. Эти доказательства, которые по-прежнему считаются строгими и правильными, использовали геометрию с редким блеском. Более поздние авторы часто критиковали Архимеда за то, что он не объяснил, как он пришел к своим результатам в первую очередь. Это объяснение содержится в Методе . [ необходима цитата ]
Метод, который описывает Архимед, был основан на его исследованиях физики , на центре масс и законе рычага . Он сравнивал площадь или объем фигуры, полную массу и центр масс которой он знал, с площадью или объемом другой фигуры, о которой он ничего не знал. Он рассматривал плоские фигуры как сделанные из бесконечного множества линий, как в более позднем методе неделимых , и уравновешивал каждую линию или ломтик одной фигуры против соответствующего ломтика второй фигуры на рычаге. Существенным моментом является то, что две фигуры ориентированы по-разному, так что соответствующие ломтики находятся на разных расстояниях от точки опоры, и условие, что ломтики уравновешены, не то же самое, что условие, что фигуры равны.
Как только он показывает, что каждый кусочек одной фигуры уравновешивает каждый кусочек другой фигуры, он приходит к выводу, что две фигуры уравновешивают друг друга. Но центр масс одной фигуры известен, и общая масса может быть помещена в этот центр, и она все равно будет уравновешиваться. Вторая фигура имеет неизвестную массу, но положение ее центра масс может быть ограничено нахождением на определенном расстоянии от точки опоры геометрическим аргументом, симметрией. Условие, что две фигуры уравновешиваются, теперь позволяет ему вычислить общую массу другой фигуры. Он считал этот метод полезной эвристикой , но всегда убеждался, что доказывает полученные им результаты с помощью исчерпания, поскольку метод не давал верхних и нижних границ.
Используя этот метод, Архимед смог решить несколько задач, которые сейчас рассматриваются с помощью интегрального исчисления , которое получило свою современную форму в семнадцатом веке благодаря Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу . Среди этих задач были вычисление центра тяжести сплошной полусферы , центра тяжести усеченного конуса кругового параболоида и площади области, ограниченной параболой и одной из ее секущих . (Для получения подробных сведений см. Использование Архимедом бесконечно малых величин .)
Строго доказывая теоремы, связанные с объемом , Архимед использовал форму принципа Кавальери , что два объема с равными поперечными сечениями равны; тот же принцип лежит в основе сумм Римана . В работе «О сфере и цилиндре» он дает верхнюю и нижнюю границы для площади поверхности сферы, разрезая сферу на секции равной ширины. Затем он ограничивает площадь каждой секции площадью вписанного и описанного конуса, которые, как он доказывает, имеют большую и меньшую площадь соответственно.
Но между методом Архимеда и методами XIX века есть два существенных различия:
Задача, решаемая исключительно в этом методе , — вычисление объема цилиндрического клина, результат которого вновь появляется как теорема XVII (схема XIX) «Стереометрии » Кеплера .
Некоторые страницы Метода остались неиспользованными автором палимпсеста и, таким образом, до сих пор утеряны. Между ними был объявлен результат, касающийся объема пересечения двух цилиндров, фигуры, которую Апостол и Мнацаканян переименовали в n = 4 Архимедов шар (и его половину, n = 4 Архимедов купол), объем которого относится к n -многоугольной пирамиде.
Во времена Хейберга большое внимание уделялось блестящему использованию Архимедом неделимых для решения задач о площадях, объемах и центрах тяжести. Меньше внимания уделялось Ostomachion , задаче, рассматриваемой в палимпсесте, которая, по-видимому, имеет дело с детской головоломкой. Ревиел Нец из Стэнфордского университета утверждал, что Архимед обсуждал количество способов решения головоломки, то есть, как положить части обратно в коробку. Ни одна часть не была идентифицирована как таковая; правила размещения, например, разрешено ли переворачивать части, неизвестны; и есть сомнения относительно доски.
Доска, проиллюстрированная здесь, как и у Неца, предложена Генрихом Зютером при переводе неточечного арабского текста, в котором дважды и равно легко спутать; Зютер делает, по крайней мере, типографскую ошибку в решающем месте, приравнивая длины стороны и диагонали, в этом случае доска не может быть прямоугольником. Но, поскольку диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, наличие прямоугольных треугольников делает первое предложение Остомахиона Архимеда немедленным . Скорее, первое предложение устанавливает доску, состоящую из двух квадратов, расположенных бок о бок (как в Танграме ). Согласование доски Зютера с этой доской Кодекса было опубликовано Ричардом Диксоном Олдхэмом , FRS, в Nature в марте 1926 года, вызвав помешательство на Остомахионе в том же году.
Современная комбинаторика показывает, что количество способов размещения фигур на доске Сутера для восстановления их квадрата, позволяющего их переворачивать, составляет 17 152; это число значительно меньше – 64 – если фигуры не разрешается переворачивать. Острота некоторых углов на доске Сутера затрудняет изготовление, в то время как игра может быть неудобной, если фигуры с острыми концами переворачиваются. Для доски Кодекса (опять же, как и в Танграме) есть три способа упаковать фигуры: как два единичных квадрата рядом; как два единичных квадрата один поверх другого; и как один квадрат со стороной квадратного корня из двух. Но ключ к этим упаковкам – формирование равнобедренных прямоугольных треугольников, точно так же, как Сократ заставляет мальчика-раба рассматривать в «Меноне » Платона – Сократ приводил доводы в пользу знания посредством воспоминания, и здесь распознавание образов и память кажутся более уместными, чем подсчет решений. Доску Кодекса можно рассматривать как продолжение рассуждений Сократа в сетке размером семь на семь клеток, предполагающей итеративное построение чисел диаметра стороны, которые дают рациональные приближения квадратного корня из двух.
Фрагментарное состояние палимпсеста оставляет много сомнений. Но это, безусловно, добавило бы таинственности, если бы Архимед использовал доску Сутера вместо доски Кодекса. Однако, если Нец прав, это, возможно, была самая сложная работа в области комбинаторики в греческой античности. Либо Архимед использовал доску Сутера, фигуры которой разрешалось переворачивать, либо статистика доски Сутера не имеет значения.
Все материалы на OPenn находятся в
общественном достоянии
или выпущены по
лицензиям Creative Commons
как
Free Cultural Works
Эти данные выпущены для использования по лицензии Creative Commons с указанием авторства
