Каждое плоское сечение параболоида плоскостью, параллельной оси симметрии, является параболой. Параболоид является гиперболическим, если каждое второе плоское сечение является либо гиперболой , либо двумя пересекающимися прямыми (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид является эллиптическим, если любое другое непустое плоское сечение представляет собой либо эллипс , либо одну точку (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид бывает эллиптическим или гиперболическим.
Эквивалентно, параболоид может быть определен как квадратичная поверхность, которая не является цилиндром и имеет неявное уравнение , часть второй степени которого может быть разложена по комплексным числам на два разных линейных фактора. Параболоид является гиперболическим, если факторы действительны; эллиптический, если множители комплексно сопряжены .
Эллиптический параболоид имеет форму овальной чашки и имеет точку максимума или минимума, когда его ось вертикальна. В подходящей системе координат с тремя осями x , y и z это можно представить уравнением [1]
abxzyz
Гиперболический параболоид (не путать с гиперболоидом ) — двулинейчатая поверхность , имеющая форму седла . В подходящей системе координат гиперболический параболоид можно представить уравнением [2] [3]
xyx = 0y = 0
Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является поверхностью перемещения , так как он может быть порожден движущейся параболой, направляемой второй параболой.
Если a = b , эллиптический параболоид является круговым параболоидом или параболоидом вращения . Это поверхность вращения , полученная вращением параболы вокруг своей оси.
Круглый параболоид содержит круги. Это справедливо и в общем случае (см. раздел «Циркуляр »).
На оси круглого параболоида есть точка, называемая фокусом (или фокальной точкой ), такая, что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч. , параллельно оси параболоида. Это работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокусной точке. Доказательство см. в разделе Парабола § Доказательство отражательного свойства .
Поэтому форма кругового параболоида широко используется в астрономии для параболических рефлекторов и параболических антенн.
Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круглый параболоид. Он используется в телескопах с жидкими зеркалами и при изготовлении зеркал телескопов с твердыми частицами (см. Вращающуюся печь ).
Параллельные лучи, попадающие в круглое параболоидное зеркало, отражаются в фокусную точку F или наоборот.
Параболический отражатель
Вращающаяся вода в стакане
Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид представляет собой двулинейчатую поверхность : он содержит два семейства взаимно скошенных линий . Линии в каждом семействе параллельны общей плоскости, но не друг другу. Следовательно, гиперболический параболоид является коноидом .
Эти свойства характеризуют гиперболические параболоиды и используются в одном из старейших определений гиперболических параболоидов: гиперболический параболоид — это поверхность, которая может быть образована движущейся линией, параллельной фиксированной плоскости и пересекающей две фиксированные наклонные линии .
Это свойство позволяет легко изготовить гиперболический параболоид из самых разных материалов и для самых разных целей: от бетонных крыш до закусок. В частности, жареные закуски Pringles напоминают усеченный гиперболический параболоид. [4]
Гиперболический параболоид уравнения или (это то же самое с точностью до вращения осей ) можно назвать прямоугольным гиперболическим параболоидом по аналогии с прямоугольными гиперболами .
Плоские сечения
Плоское сечение гиперболического параболоида с уравнением
линия , если плоскость параллельна оси z и имеет уравнение вида ,
парабола , если плоскость параллельна оси z , а сечение не является прямой,
пара пересекающихся прямых , если плоскость является касательной ,
гипербола , иначе.
Примеры в архитектуре
Двухскатные крыши часто представляют собой гиперболические параболоиды, поскольку их легко построить из прямых участков материала. Некоторые примеры:
Более сложный расчет необходим для нахождения диаметра тарелки, измеренного по ее поверхности . Иногда его называют «линейным диаметром», и он равен диаметру плоского круглого листа материала, обычно металла, подходящего размера, который можно разрезать и согнуть для изготовления блюда. При расчете полезны два промежуточных результата: P = 2 F (или эквивалент: P =Р 2/2 Д) и Q = √ P 2 + R 2 , где F , D и R определены, как указано выше. Тогда диаметр тарелки, измеренный вдоль поверхности, определяется выражением
Объем блюда, количество жидкости, которое оно могло бы вместить, если бы край был горизонтальным, а вершина находилась внизу (например, емкость параболоидного вока ) , определяется выражением
^ Томас, Джордж Б.; Морис Д. Вейр; Джоэл Хасс ; Фрэнк Р. Джордиано (2005). Исчисление Томаса, 11-е изд . Pearson Education, Inc. с. 892. ИСБН 0-321-18558-7.
^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический параболоид». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
^ Томас, Джордж Б.; Морис Д. Вейр; Джоэл Хасс; Фрэнк Р. Джордиано (2005). Исчисление Томаса, 11-е изд . Pearson Education, Inc. с. 896. ИСБН0-321-18558-7.
^ Зилл, Деннис Г.; Райт, Уоррен С. (2011), Исчисление: ранние трансценденталии, Jones & Bartlett Publishers, стр. 649, ISBN9781449644482.