Параболоид

Квадрикическая поверхность с одной осью симметрии и без центра симметрии.

Параболоид революции

В геометрии параболоид — это квадрика , имеющая ровно одну ось симметрии и не имеющая центра симметрии . Термин «параболоид» происходит от слова парабола , которое относится к коническому сечению , имеющему аналогичное свойство симметрии.

Каждое плоское сечение параболоида плоскостью, параллельной оси симметрии, является параболой. Параболоид является гиперболическим, если каждое второе плоское сечение является либо гиперболой , либо двумя пересекающимися прямыми (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид является эллиптическим, если любое другое непустое плоское сечение представляет собой либо эллипс , либо одну точку (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид бывает эллиптическим или гиперболическим.

Эквивалентно, параболоид может быть определен как квадратичная поверхность, которая не является цилиндром и имеет неявное уравнение , часть второй степени которого может быть разложена по комплексным числам на два разных линейных фактора. Параболоид является гиперболическим, если факторы действительны; эллиптический, если множители комплексно сопряжены .

Эллиптический параболоид имеет форму овальной чашки и имеет точку максимума или минимума, когда его ось вертикальна. В подходящей системе координат с тремя осями x , y и z это можно представить уравнением ^[1]

$${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

abxzyz

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид (не путать с гиперболоидом ) — двулинейчатая поверхность , имеющая форму седла . В подходящей системе координат гиперболический параболоид можно представить уравнением ^{[2] [3]}

$${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$$

xyx = 0y = 0

Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является поверхностью перемещения , так как он может быть порожден движущейся параболой, направляемой второй параболой.

Свойства и применение

Эллиптический параболоид

Полигональная сетка круглого параболоида

Круглый параболоид

В подходящей декартовой системе координат эллиптический параболоид имеет уравнение

$${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

Если a = b , эллиптический параболоид является круговым параболоидом или параболоидом вращения . Это поверхность вращения , полученная вращением параболы вокруг своей оси.

Круглый параболоид содержит круги. Это справедливо и в общем случае (см. раздел «Циркуляр »).

С точки зрения проективной геометрии эллиптический параболоид — это эллипсоид , касающийся плоскости на бесконечности .

Плоские сечения

Плоские сечения эллиптического параболоида могут быть:

• парабола , если плоскость параллельна оси,
• точка , если плоскость является касательной .
• в противном случае эллипс или пустое значение .

Параболический отражатель

На оси круглого параболоида есть точка, называемая фокусом (или фокальной точкой ), такая, что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч. , параллельно оси параболоида. Это работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокусной точке. Доказательство см. в разделе Парабола § Доказательство отражательного свойства .

Поэтому форма кругового параболоида широко используется в астрономии для параболических рефлекторов и параболических антенн.

Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круглый параболоид. Он используется в телескопах с жидкими зеркалами и при изготовлении зеркал телескопов с твердыми частицами (см. Вращающуюся печь ).

• 
  Параллельные лучи, попадающие в круглое параболоидное зеркало, отражаются в фокусную точку F или наоборот.
• 
  Параболический отражатель
• Вращающаяся вода в стакане

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид с содержащимися в нем прямыми.

Жареные закуски Pringles имеют форму гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид представляет собой двулинейчатую поверхность : он содержит два семейства взаимно скошенных линий . Линии в каждом семействе параллельны общей плоскости, но не друг другу. Следовательно, гиперболический параболоид является коноидом .

Эти свойства характеризуют гиперболические параболоиды и используются в одном из старейших определений гиперболических параболоидов: гиперболический параболоид — это поверхность, которая может быть образована движущейся линией, параллельной фиксированной плоскости и пересекающей две фиксированные наклонные линии .

Это свойство позволяет легко изготовить гиперболический параболоид из самых разных материалов и для самых разных целей: от бетонных крыш до закусок. В частности, жареные закуски Pringles напоминают усеченный гиперболический параболоид. ^[4]

Гиперболический параболоид является седловой поверхностью , так как его гауссовая кривизна в каждой точке отрицательна. Поэтому, хотя это и линейчатая поверхность, она не развертывается .

С точки зрения проективной геометрии , гиперболический параболоид — это однополостный гиперболоид , касающийся плоскости на бесконечности .

Гиперболический параболоид уравнения или (это то же самое с точностью до вращения осей ) можно назвать прямоугольным гиперболическим параболоидом по аналогии с прямоугольными гиперболами . ${\displaystyle z=axy}$ ${\displaystyle z={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}$

Плоские сечения

Гиперболический параболоид с гиперболами и параболами.

Плоское сечение гиперболического параболоида с уравнением

$${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$

• линия , если плоскость параллельна оси z и имеет уравнение вида , ${\displaystyle bx\pm ay+b=0}$
• парабола , если плоскость параллельна оси z , а сечение не является прямой,
• пара пересекающихся прямых , если плоскость является касательной ,
• гипербола , иначе.

Модель гиперболического параболоида STL

Примеры в архитектуре

Двухскатные крыши часто представляют собой гиперболические параболоиды, поскольку их легко построить из прямых участков материала. Некоторые примеры:

• Philips Pavilion Expo '58, Брюссель (1958)
• ИИТ Дели - Крыша зала Догра
• Собор Святой Марии, Токио , Япония (1964 г.)
• Собор Успения Пресвятой Богородицы , Сан-Франциско, Калифорния, США (1971 г.)
• Сэддлдоум в Калгари, Альберта, Канада (1983)
• Скандинавиум в Гетеборге, Швеция (1971)
• L'Oceanogràfic в Валенсии, Испания (2003)
• Лондонский велопарк , Англия (2011)
• Центр отдыха и развлечений Waterworld , Рексхэм , Уэльс (1970)
• Крыша станции технического обслуживания Markham Moor , A1 (южное направление), Ноттингемшир, Англия

• 
  Железнодорожная станция Варшава Охота , пример гиперболической параболоидной конструкции.
• 
  Поверхность, иллюстрирующая гиперболический параболоид
• 
  Ресторан Los Manantiales, Сочимилько, Мексика
• 
  Гиперболические параболоидные тонкостенные крыши в L'Oceanogràfic , Валенсия, Испания (снято в 2019 году)
• 
  Крыша станции технического обслуживания Markham Moor, Ноттингемшир (фото 2009 г.)

Цилиндр между пучками эллиптического и гиперболического параболоидов.

эллиптический параболоид, параболический цилиндр, гиперболический параболоид

Карандаш эллиптических параболоидов .

$${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$

$${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$

$${\displaystyle z=x^{2}}$$

параболический цилиндр ${\displaystyle b\rightarrow \infty }$

Кривизна

Эллиптический параболоид, параметризованный просто как

$${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$

гауссову кривизну

$${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$

средняя кривизна

$${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$$

Гиперболический параболоид ^[2] , параметризованный как

$${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$

$${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$$

Геометрическое представление таблицы умножения

Если гиперболический параболоид

$${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$

π/4+ zправилу правой руки

$${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$$

a = b

$${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}.}$$

a = √ 2

$${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$$

$${\displaystyle z=xy}$$

номограмму ) таблицы умножения

Две параболоидальные функции R ² → R

$${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$$

$${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$$

гармонически сопряженнымианалитическую функцию

$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$$

аналитическим продолжением→ R f ( x ) =х ²/2

Размеры параболоидной тарелки

Размеры симметричной параболоидальной тарелки связаны уравнением

$${\displaystyle 4FD=R^{2},}$$

FDRединице длины

Более сложный расчет необходим для нахождения диаметра тарелки, измеренного по ее поверхности . Иногда его называют «линейным диаметром», и он равен диаметру плоского круглого листа материала, обычно металла, подходящего размера, который можно разрезать и согнуть для изготовления блюда. При расчете полезны два промежуточных результата: P = 2 F (или эквивалент: P =Р ²/2 Д) и Q = √ P ² + R ² , где F , D и R определены, как указано выше. Тогда диаметр тарелки, измеренный вдоль поверхности, определяется выражением

$${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$$

ln xнатуральный логарифмоснованию e

Объем блюда, количество жидкости, которое оно могло бы вместить, если бы край был горизонтальным, а вершина находилась внизу (например, емкость параболоидного вока ) , определяется выражением

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$$

(R 2 ^D )полусферы2π/3R ² D D = R конусπ/3Р ² Дπ R ² вращения

$${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$$

Смотрите также

• Математический портал

• Эллипсоид  - поверхность квадрики, похожая на деформированную сферу.
• Гиперболоид  - неограниченная квадратичная поверхность.
• Параболический громкоговоритель  - динамик параболической формы, создающий когерентные плоские волны.
• Параболический отражатель  - отражатель, имеющий форму параболоида.

Рекомендации

1. Томас, Джордж Б.; Морис Д. Вейр; Джоэл Хасс ; Фрэнк Р. Джордиано (2005). Исчисление Томаса, 11-е изд . Pearson Education, Inc. с. 892. ИСБН 0-321-18558-7.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический параболоид». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
3. Томас, Джордж Б.; Морис Д. Вейр; Джоэл Хасс; Фрэнк Р. Джордиано (2005). Исчисление Томаса, 11-е изд . Pearson Education, Inc. с. 896. ИСБН 0-321-18558-7.
4. Зилл, Деннис Г.; Райт, Уоррен С. (2011), Исчисление: ранние трансценденталии, Jones & Bartlett Publishers, стр. 649, ISBN 9781449644482.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с параболоидом, на Викискладе?