Параметризованный постньютоновский формализм

В физике , а именно при изучении теории общей относительности и многих альтернатив ей , постньютоновский формализм представляет собой вычислительный инструмент, выражающий (нелинейные) уравнения гравитации Эйнштейна через отклонения низшего порядка от закона всемирного тяготения Ньютона. гравитация . Это позволяет делать аппроксимации уравнений Эйнштейна в случае слабых полей. Для повышения точности можно добавить члены более высокого порядка, но для сильных полей может быть предпочтительнее решать полные уравнения численно. Некоторые из этих постньютоновских приближений представляют собой разложения по малому параметру, который представляет собой отношение скорости материи, образующей гравитационное поле, к скорости света , которую в данном случае лучше называть скоростью гравитации . В пределе, когда фундаментальная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к закону гравитации Ньютона .

Параметризованный постньютоновский формализм или формализм PPN — это версия этой формулировки, которая явно детализирует параметры, по которым общая теория гравитации может отличаться от ньютоновской гравитации. Он используется как инструмент для сравнения ньютоновской и эйнштейновской гравитации в пределе, в котором гравитационное поле слабое и создается объектами, движущимися медленно по сравнению со скоростью света. В общем, формализм PPN можно применять ко всем метрическим теориям гравитации, в которых все тела удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна (EEP). Скорость света остается постоянной в формализме PPN, и предполагается, что метрический тензор всегда симметричен.

История

Самые ранние параметризации постньютоновского приближения были выполнены сэром Артуром Стэнли Эддингтоном в 1922 году. Однако они имели дело исключительно с вакуумным гравитационным полем вне изолированного сферического тела. Кен Нордтведт (1968, 1969) расширил это, включив в него семь параметров в статьях, опубликованных в 1968 и 1969 годах. Клиффорд Мартин Уилл представил описание небесных тел с напряженным непрерывным веществом в 1971 году.

Описанные здесь версии основаны на Wei-Tou Ni (1972), Will and Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973) (см. «Гравитация» (книга) ), и Уилл (1981, 1993) и имеют десять параметров.

Обозначение бета-дельта

Десять постньютоновских параметров полностью характеризуют поведение теории в слабом поле. Этот формализм оказался ценным инструментом в тестах общей теории относительности . В обозначениях Уилла (1971), Ни (1972) и Миснера и др. (1973) они имеют следующие значения:

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$представляет собой симметричный метрический тензор размером 4 на 4 с индексами , изменяющимися от 0 до 3. Ниже индекс 0 будет указывать направление времени и индексы , а (переход от 1 до 3) будет указывать пространственные направления. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

В теории Эйнштейна значения этих параметров выбираются (1) для соответствия Закону гравитации Ньютона в пределе скоростей и массы, приближающихся к нулю, (2) для обеспечения сохранения энергии , массы , импульса и углового момента , и (3 ), чтобы сделать уравнения независимыми от системы отсчета . В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN и ${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ ${\displaystyle \zeta =\eta =0.}$

Альфа-дзета-нотация

В более поздних обозначениях Will & Nordtvedt (1972) и Will (1981, 1993, 2006) используется другой набор из десяти параметров PPN.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \beta =\beta }$

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$

${\displaystyle \xi }$рассчитывается из ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$

Смысл их в том , что и измеряют степень эффектов предпочтительного кадра . , , , и измерить нарушение сохранения энергии, импульса и момента импульса. ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{1}}$ ${\displaystyle \zeta _{2}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{4}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$

В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN.

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$и ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$

Математическая связь между метрикой, метрическими потенциалами и параметрами PPN для этой записи такова:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})}$

где суммируются повторяющиеся индексы. имеет порядок таких потенциалов, как , квадрат величины координатных скоростей материи и т. д. является вектором скорости системы координат PPN относительно средней системы покоя Вселенной. есть квадрат величины этой скорости. тогда и только тогда , когда в противном случае. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle w^{i}}$ ${\displaystyle w^{2}=\delta _{ij}w^{i}w^{j}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle 0}$

Существует десять метрических потенциалов, , , , , , , , , и , по одному для каждого параметра PPN, чтобы обеспечить уникальное решение. 10 линейных уравнений с 10 неизвестными решаются путем обращения матрицы 10 на 10. Эти метрические потенциалы имеют такие формы, как: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{ij}}$ ${\displaystyle \Phi _{W}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{1}}$ ${\displaystyle \Phi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{3}}$ ${\displaystyle \Phi _{4}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

это просто другой способ записи ньютоновского гравитационного потенциала,

${\displaystyle U_{ij}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)(x-x')_{i}(x-x')_{j} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{W}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\rho (\mathbf {x} '',t)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}\left({(x'-x'')^{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}-{(x-x'')^{i} \over |\mathbf {x} '-\mathbf {x} ''|}\right)d^{3}x'd^{3}x''}$

${\displaystyle A=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{1}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{2}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)U(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{3}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\Pi (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{4}=\int {p(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle V_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)v(\mathbf {x} ',t)_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle W_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

где – плотность массы покоя, – внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы покоя, – давление, измеренное в локальной свободно падающей системе отсчета, мгновенно сопровождающей вещество, – координатная скорость вещества. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Тензор энергии-напряжения для идеальной жидкости принимает вид

${\displaystyle T^{00}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U)}$

${\displaystyle T^{0i}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}}$

${\displaystyle T^{ij}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}(1-2\gamma U)}$

Как подать заявку на ППН

Примеры применения формализма PPN к альтернативным теориям гравитации можно найти в Will (1981, 1993). Это девятиэтапный процесс:

• Шаг 1: Определите переменные, которые могут включать в себя: (а) динамические гравитационные переменные, такие как метрика , скалярное поле , векторное поле , тензорное поле и т. д.; (б) априорно-геометрические переменные, такие как метрика плоского фона , функция космического времени и т. д.; (в) материя и переменные негравитационного поля. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle t}$
• Шаг 2: Установите космологические граничные условия. Предположим однородную изотропную космологию с изотропными координатами в системе покоя Вселенной. Полное космологическое решение может потребоваться, а может и не потребоваться. Назовите результаты , , , . ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• Шаг 3: Получите новые переменные из , с помощью или , если необходимо. ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$ ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$ ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• Шаг 4: Подставьте эти формы в уравнения поля, сохраняя только те члены, которые необходимы для получения окончательного непротиворечивого решения для . Замените источники вещества идеальным тензором напряжений жидкости. ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$
• Шаг 5: Решите от до . Предполагая, что оно стремится к нулю вдали от системы, можно получить форму где – ньютоновский гравитационный потенциал, который может представлять собой сложную функцию, включающую гравитационную «константу» . Метрика Ньютона имеет вид , , . Работайте в единицах, где гравитационная «постоянная», измеряемая сегодня вдали от гравитирующей материи, равна единице, установленной таким образом . ${\displaystyle h_{00}}$ ${\displaystyle O(2)}$ ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$ ${\displaystyle g_{0j}=0}$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$ ${\displaystyle G_{\mathrm {today} }=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$
• Шаг 6: На основе линеаризованных версий уравнений поля определите to и to . ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle O(2)}$ ${\displaystyle h_{0j}}$ ${\displaystyle O(3)}$
• Шаг 7: Решите от до . Это самый запутанный шаг, включающий все нелинейности в уравнениях поля. Тензор энергии-импульса также необходимо разложить до достаточного порядка. ${\displaystyle h_{00}}$ ${\displaystyle O(4)}$
• Шаг 8: Преобразование в локальные квазидекартовы координаты и в стандартную шкалу PPN.
• Шаг 9: Сравнивая результат с уравнениями, представленными в PPN, с альфа-дзета-параметрами, считайте значения параметров PPN. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Сравнение теорий гравитации

Таблицу, сравнивающую параметры PPN для 23 теорий гравитации, можно найти в разделе Альтернативы общей теории относительности#Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий .

Большинство метрических теорий гравитации можно разделить на категории. Скалярные теории гравитации включают конформно плоские теории и стратифицированные теории с ортогональными по времени срезами пространства.

В конформно плоских теориях, таких как теория гравитации Нордстрема, метрика задается выражением и для этой метрики , что резко противоречит наблюдениям. В стратифицированных теориях, таких как теория гравитации Йылмаза, метрика задается как и для этой метрики , что также резко противоречит наблюдениям. ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ ${\displaystyle \gamma =-1}$ ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$

Другой класс теорий — квазилинейные теории, такие как теория гравитации Уайтхеда . Для этих . Относительные величины гармоник земных приливов зависят от и , а измерения показывают, что квазилинейные теории не согласуются с наблюдениями за земными приливами. ${\displaystyle \xi =\beta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Другой класс метрических теорий — биметрические теории . Ибо все это не равно нулю. Из прецессии солнечного вращения мы знаем это , и это фактически исключает биметрические теории. ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

Другой класс метрических теорий — скалярно-тензорные теории , такие как теория Бранса-Дикке . Для всего этого . Предел средних значений должен быть очень большим, поэтому эти теории кажутся все менее и менее вероятными по мере повышения точности эксперимента. ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$ ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle \omega }$

Последний основной класс метрических теорий — это векторно-тензорные теории. Для всех них гравитационная «постоянная» меняется со временем и отлична от нуля. Эксперименты по лунной лазерной локации жестко ограничивают изменение гравитационной «константы» со временем и , поэтому эти теории также выглядят маловероятными. ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

Существуют некоторые метрические теории гравитации, которые не вписываются в вышеперечисленные категории, но у них есть схожие проблемы.

Точность по результатам экспериментальных испытаний

Границы параметров PPN по данным Will (2006) и Will (2014).

† Уилл, CM (10 июля 1992 г.). «Сохраняется ли импульс? Тест в двоичной системе PSR 1913 + 16». Письма астрофизического журнала . 393 (2): L59–L61. Бибкод : 1992ApJ...393L..59W. дои : 10.1086/186451. ISSN  0004-637X.

‡ На основе Уилла (1976, 2006). Теоретически возможно ^{[ необходимы разъяснения ]} для альтернативной модели гравитации, чтобы обойти эту границу, и в этом случае граница взята из Ni (1972). ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$

Смотрите также

• Физический портал

• Альтернативы общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий.
• Эффективный однотельный формализм
• Линеаризованная гравитация
• Параметр Пескина–Такеучи То же, что и PPN, но для электрослабой теории вместо гравитации.
• Тесты общей теории относительности

Рекомендации

• Эддингтон, А.С. (1922) Математическая теория относительности, издательство Кембриджского университета.
• Миснер, К.В., Торн, К.С. и Уилер, Дж.А. (1973) Гравитация, WH Freeman and Co.
• Нордтведт, Кеннет (25 мая 1968 г.). «Принцип эквивалентности массивных тел. II. Теория». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 169 (5): 1017–1025. Бибкод : 1968PhRv..169.1017N. doi : 10.1103/physrev.169.1017. ISSN  0031-899X.
• Нордтведт, К. (25 апреля 1969 г.). «Принцип эквивалентности массивных тел, включая энергию вращения и давление излучения». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 180 (5): 1293–1298. Бибкод : 1969PhRv..180.1293N. дои : 10.1103/physrev.180.1293. ISSN  0031-899X.
• Уилл, Клиффорд М. (1971). «Теоретические основы тестирования релятивистской гравитации. II. Параметризованная постньютоновская гидродинамика и эффект Нордтведта». Астрофизический журнал . Издательство ИОП. 163 : 611-628. Бибкод : 1971ApJ...163..611W. дои : 10.1086/150804. ISSN  0004-637X.
• Уилл, СМ (1976). «Активная масса в релятивистской гравитации - Теоретическая интерпретация эксперимента Крейцера». Астрофизический журнал . Издательство ИОП. 204 : 224–234. Бибкод : 1976ApJ...204..224W. дои : 10.1086/154164 . ISSN  0004-637X.
• Уилл, CM (1981, 1993) Теория и эксперимент в гравитационной физике, издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43973-6 . 
• Уилл, КМ, (2006) Противостояние общей теории относительности и эксперимента, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Уилл, Клиффорд М. (11 июня 2014 г.). «Противостояние общей теории относительности и эксперимента». Живые обзоры в теории относительности . 17 (1): 4. arXiv : 1403,7377 . Бибкод : 2014LRR....17....4W. дои : 10.12942/lrr-2014-4 . ISSN  2367-3613. ПМК  5255900 . ПМИД  28179848.
• Уилл, Клиффорд М.; Нордтведт, Кеннет младший (1972). «Законы сохранения и предпочтительные системы отсчета в релятивистской гравитации. I. Теории выделенных систем отсчета и расширенный формализм PPN». Астрофизический журнал . Издательство ИОП. 177 : 757. Бибкод : 1972ApJ...177..757W. дои : 10.1086/151754 . ISSN  0004-637X.